如何整理自己的錯題集呢?事實上，就題論題的整理只能解決知識點上的易錯問題，而我們更需要關(guān)注的是知識面或是知識塊上的核心問題，從而既能達到糾錯的功能，又能實現(xiàn)同學們學習能力的再提高.下面就數(shù)列問題的易錯題型作一分析，并希望對其他知識單元易錯題的整理方式有所啟示.

1.理清數(shù)列知識內(nèi)部關(guān)聯(lián)，避免表層性錯誤

數(shù)列知識體系的形成無非就是源自通項與求和，以及兩者關(guān)系，這里面經(jīng)常產(chǎn)生錯誤的原因就是對數(shù)列的生成不夠重視，關(guān)注了運算，但不關(guān)注一些細節(jié)問題，缺少了細致與縝密的學習態(tài)度.

例1 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足an+2Sn#8226;Sn-1=0(n≥2)，a1=12.

(1)求an的表達式;(2)若Tn=∑2ni=1ai，求T4-T2的值.

【正確解析】(1)∵2Sn#8226;Sn-1=-an，∴2Sn#8226;Sn-1=-Sn+Sn-1(n≥2)，Sn≠0，

∴1Sn-1Sn-1=2，又1S1=1a1=2.∴1Sn=2+2(n-1)=2n，∴Sn=12n.

∴an=12，n=1，-12n(n-1)，n≥2.

(2)T4-T2=a5+a6+a7+a8=-12(14-18)=-116.

【錯因剖析】(1)解題過程中同學們利用an=Sn-Sn-1這一關(guān)系時，往往會忽略n≥2這一條件，事實上對n限制條件的產(chǎn)生源自數(shù)列的生成(即下標是用來確定項的位置或所需求和的項數(shù)，當然要求是一個正整數(shù)).(2)對于項數(shù)的確定也是較易忽略的一個問題，認真審題、讀懂題意方能確保無誤.(3)在數(shù)列知識內(nèi)部還有一些易錯點，如使用等比數(shù)列求和公式時要求q≠1;等比中項的兩解性問題;對數(shù)列an求和時的合理分類問題等等，所有這些都是一些表層性的易錯點，在此不再一一展開，只要稍加關(guān)注，在考試中完全可以避免無謂的失分.

【自測練習】(1)已知數(shù)列an的前n項和Sn=2n，則an= .

(2)若等差數(shù)列an的首項a1=21，公差d=-4，則an的前n項和Sn= .

(3)已知數(shù)列an滿足，當n=2k-1(k∈N*)時，an=n;當n=2k(k∈N*)時，an=ak.

①求a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16;

②設(shè)Sn=a1+a2+a3+…+a2n，求證:Sn=Sn-1+4n-1.

2.把握數(shù)列知識縱向延伸，避免理解性錯誤

數(shù)列知識的縱向拓展主要包括有關(guān)數(shù)陣問題及數(shù)列重構(gòu)問題，這些問題出錯的主要原因是解題過程中對題意的理解經(jīng)常會發(fā)生偏差.這些問題僅是知識的延伸、結(jié)構(gòu)的調(diào)整和形式的改變，對數(shù)列的特性、思維的方式和解題方法是一脈相承的.

例2 右表給出一個“等差數(shù)陣”，其中每行、

47( )( )…a1j…

712( )( )…a2j…

( )( )( )( )…a3j…

( )( )( )( )…a4j…

………………

ai1ai2ai3ai4…aij…

………………

每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù).

(1)寫出a45的值;

(2)寫出aij的計算公式，并確定2008在該數(shù)陣中的一個位置.

【正確解析】(1)a45=49.

(2)a1j=4+3(j-1)=3j+1，

a2j=7+5(j-1)=5j+2，

所以，第j列是以3j+1為首項，以2j+1為公差的等差數(shù)列，

故，aij=3j+1+(i-1)(2j+1)=2ij+i+j.

若2ij+i+j=2008，則j=2008-i2i+1=40172(2i+1)-12=3×13×1032(2i+1)-12.

當i=1時，j=669，所以，2008在該數(shù)陣中的一個位置是第1行第669列.

【錯因剖析】(1)數(shù)陣的本質(zhì)是將基本數(shù)列進行有機組合，解題中同學們因不善于理解題意，分解難度，回歸本質(zhì)而造成解題障礙.就該題而言，如果意識到橫向與縱向等差數(shù)列間的聯(lián)系，就能很快找到突破口，順利求出通項aij.做好解題前的分析、準備工作是正確解題的前提.(2)不能讀出試題的明確要求是錯解該題的另一個原因，題中要求“確定2008在該數(shù)陣中的一個位置”，也就是說可能不唯一，找出一個即可，那么找到4017的一個約數(shù)可能就會解決該題，而同學們往往就會忽略這一點.事實上，根據(jù)解答中的分析以及數(shù)陣的對稱性可以知道，2008可以是第1行第669列，還可以是第1列第669行、第6行第154列、第6列第154行、第19行第51列、第19列第51行.

例3 已知數(shù)列an滿足條件an=2an-1+2n-1(n≥2)，且a4=81.是否存在一個實數(shù)λ，使

得數(shù)列an+λ2n為等差數(shù)列，若存在試求出數(shù)列an的前n項和Sn;若不存在，請說明理由.

【正確解析】若存在實數(shù)λ，則an+λ2n-an-1+λ2n-1=an-2an-1-λ2n=2n-1-λ2n=1-1+λ2n必為一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以，λ=-1.此時數(shù)列an+λ2n為等差數(shù)列且公差為1.

又a4-124=5，故an-12n=5+(n-4)×1=n+1，從而，an=(n+1)#8226;2n+1.

利用錯位相減法可得:Sn=n(2n+1+1).

【錯因剖析】本題常見的兩個錯誤原因是，(1)忽視數(shù)列的定義，拋開基本方法，把數(shù)列重構(gòu)這樣一種題型看的過于神秘.(2)在利用錯位相減法求和時方法不當或計算出錯.數(shù)列重構(gòu)是十分常見的題型，一般而言，立足定義是解題的關(guān)鍵，雖然知識延伸了、結(jié)構(gòu)改變了，但思維方式、解題途徑仍是常規(guī)的.就本題而言，如果能計算出三個特殊項，進而求得實數(shù)λ的值，再用定義進行驗證也不失為一個好的解題策略.

【自測練習】(1)將數(shù)列{an}中所有的項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如圖數(shù)表:記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且滿足2bnbnSn-S2n=1(n≥2).

①證明數(shù)列{1Sn}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式;

②上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個

正數(shù).當a81=-491時，求上表中第k(k≥3)行所有項的和.

(2)在數(shù)列{an}中，a1=1，2an+1=(1+1n)2an.

①求{an}的通項公式;②令bn=an+1-12an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;

③求數(shù)列{an}的前n項和Tn.

3.重視數(shù)列知識橫向交匯，避免實質(zhì)性錯誤

同學們在解決數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識相融合的試題時常會感到困難，特別是與

函數(shù)、不等式結(jié)合時.事實上，數(shù)列的通項公式、求和公式本身就是一種函數(shù)，只不過是不連續(xù)的“點函數(shù)”.如果能夠抓住數(shù)列的函數(shù)特性，就能順利的解決一些數(shù)列單調(diào)性、最值問題.

例4 設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合:

①an+an+22≤an+1;②an≤M.其中n∈N*，M是與n無關(guān)的常數(shù).

(1)若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，a3=4，S3=18，證明:{Sn}∈W;

(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項為bn=5n-2n，且{bn}∈W，求M的取值范圍;

【正確解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，由a1+2d=4，3a1+3d=18得a1=8，d=-2，

所以Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+9n

由Sn+Sn+22-Sn+1=12[(-n2+9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)]=-1

得Sn+Sn+22

所以當n=4或5時，Sn取得最大值20，即Sn≤20，適合條件②，綜上，{Sn}∈W.

(2)因為bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n，

所以，b1

因此數(shù)列{bn}中的最大項是b3=7，所以M≥7.

(3)假設(shè)存在正整數(shù)k，使得ck>ck+1成立，

由數(shù)列{cn}的各項均為正整數(shù)，可得ck≥ck+1+1，即ck+1≤ck-1，

因為ck+ck+22≤ck+1，所以ck+2≤2ck+1-ck≤2(ck-1)-ck=ck-2，

由ck+2≤2ck+1-ck及ck>ck+1，得ck+2<2ck+2-ck+1=ck+1，故ck+2≤ck+1-1，

ck+1+ck+32≤ck+2ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3……，

依次類推，可得ck+m≤ck-m(m∈N*).

設(shè)ck=p(p∈N*)，則當m=p時，有ck+p≤ck-p=0這顯然與數(shù)列{cn}的各項均為正整數(shù)矛盾!所以假設(shè)不成立，即對于任意n∈N*，都有cn≤cn+1成立.

【錯因剖析】本題在解決過程中的主要問題有:(1)忽略數(shù)列為“非連續(xù)”函數(shù)，且定義域為正整數(shù)這一特征，從而出現(xiàn)Sn=-n2+9n=-(n-92)2+814的最值為814的錯誤，同時也要注意Sn取得最大值時的n的值可能會有兩解(這一點要區(qū)別于一般二次函數(shù));(2)由于忽視數(shù)列的單調(diào)性而導致解題障礙，數(shù)列單調(diào)性的研究與常見的函數(shù)單調(diào)性的研究從本質(zhì)來講是一致的，由于把數(shù)列視作函數(shù)時，其定義域為正整數(shù)，兩個自變量間的最小變化單位為1，因此，我們主要是通過任意相鄰兩項的大小關(guān)系來判別數(shù)列的單調(diào)性;

同學們?nèi)绻嬲斫饬藬?shù)列的函數(shù)本質(zhì)，要解決一些單調(diào)性、最值、恒成立問題還是有章可循的，如果還能結(jié)合一些圖像的應用，將抽象問題直觀化，解題就更加得心應手了.

【自測練習】(1)已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且對任意n∈N*都有an=2n2+kn恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為 .

(2)已知數(shù)列{an}的通向公式為an=5×252n-2-4×25n-1(n∈N*)，{an}的最大值為第p項，最小值為第q項，則p+q= .

(3)已知數(shù)列{an}中，a1=1，且點P(an，an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上.

①求數(shù)列{an}的通項公式;

②若bn=1n+a1+2n+a2+3n+a3+…+nn+an(n∈N*，n≥2)，求數(shù)列{bn}中的最小項;

③設(shè)cn=1an，Sn表示數(shù)列{cn}的前n項和，問是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)#8226;g(n)對一切不小于2得正整數(shù)n恒成立?