數(shù)列是高考中的熱點問題，是歷屆高考的重中之重，同學們應熟練掌握以下幾個方面.

一、明確新課標下高考大綱對數(shù)列的要求:

1、了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式);2、了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù);3、理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念;4、掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式;5、能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題;6、了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系。

二、理清數(shù)列的主要知識點:

1.an與Sn的關系:an=Sn-Sn-1(n≥2)S1(n=1)(適合任何數(shù)列)

2.等差數(shù)列

(1)定義:an+1-an=d(常數(shù))

(2)通項公式:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d

(3)前n項和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d=an2+bn(常數(shù)項為0的二次式)

(4)若m+n=p+q，那么am+an=ap+aq.特殊地，若m+n=2p，則am+an=2ap.

(5)等差中項:2A=a+b;2an=an+1+an-1(可作證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù))

(6)若an為等差數(shù)列，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k仍成等差數(shù)列

(7)等差數(shù)列中，求使前n項和最大(小)的項數(shù)的方法:

遞減數(shù)列，求Sn最大，令an≥0，求正數(shù)項;遞增數(shù)列，求Sn最小，令an≥0，求負數(shù)項.當然，解決此類型題目還可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)，但解一次不等式的方法還是最快的方法.

3.等比數(shù)列

(1)定義:an+1an=q(常數(shù))

(2)通項公式:an=a1qn-1=amqn-m

(3)前n項和公式:Sn=na1(q=1)a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1);等比數(shù)列的Sn一般是形如Sn=Aqn-A的關于n的指數(shù)式

(4)若m+n=p+q，則aman=apaq，特殊地，若m+n=2p，則a2p=am#8226;an

(5)等比中項:G2=ab;(可作證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù))

(6)若an為等比數(shù)列:則(S2k-Sk)2=Sk#8226;(S3k-S2k).

三、掌握求數(shù)列通項的常用方法

一般地，求數(shù)列通項有以下5種類型.

1.無窮型遞推數(shù)列類型——作差法

【例1】 在數(shù)列an中，已知a1=1，an=an-1+an-2+…+a1(n∈N，n≥2)，求這個數(shù)列的通項公式.

解:方法1∵an=an-1+an-2+…+a1(n∈N，n≥2)，

∴an-1=an-2+an-3+…+a1(n∈N，n≥3)，∴兩式相減得an-an-1=an-1，即anan-1=2(n≥3)，∴當n≥2時，數(shù)列an是以a2=a1=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴an=a2#8226;2n-2=2n-2.故數(shù)列an的通項公式為an=1(n=1)，2n-2(n≥2).

方法2∵an=an-1+an-2+…+a1(n∈N，n≥2)，∴Sn-Sn-1=Sn-1，∴SnSn-1=2，

∴數(shù)列Sn是以S1=a1=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴Sn=2n-1.當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2.∵a1=1不適合上式，∴數(shù)列的通項公式為an=1(n=1)，2n-2(n≥2).

2.等比型遞推公式類型——疊乘法

例2數(shù)列an，a1=3，an+1an=nn+1，求an

解:a2a1=12，a3a2=23，a4a3=34，…，anan-1=n-1n.以上各式相乘得:an=3n.

3.等差型遞推公式類型——迭加法

例3 數(shù)列an，a1=1，an=3n-1+an-1n≥2，求an

解:a2-a1=1，a3-a2=3，a4-a3=32，…，an-an-1=3n-1.以上各式相加得:an=3n+12.

4.倒數(shù)型遞推公式類型——倒數(shù)法

例4 數(shù)列an，a1=1，an+1=2anan+2，求an

解:由an+1=2anan+2得:1an+1=1an+12，即1an+1-1an=121an=1+(n-1)#8226;12.從而得an=2n+1.

5.簡單混合型:形如an+1=pan+q(p≠1)的遞歸式

對于這種類型，一般有兩種方法處理:

方法一:作差法和迭加法的混合使用

由an+1=pan+q及an=pan-1+q，兩式相減得an+1-an=p(an-an-1)，

所以an+1-an是首項為a2-a1，且公比為p的等比數(shù)列，

先求出an+1-an，再用迭加法求出an

方法二:待定系數(shù)法

設an+1=pan+q可化為an+1+x=p(an+x).即:an+1=pan+(p-1)x，所以:x=qp-1從而數(shù)列an+qp-1等比，問題得以很好解決.

四、了解數(shù)列求和的類型與方法

數(shù)列求和常用的方法有以下幾方面:

1.公式法:直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和。

2.分組轉(zhuǎn)化法:此類型通項雖不是等差或等比數(shù)列，但是有等差和等比數(shù)列的和的形式，則可進行分組，分別利用基本數(shù)列的求和公式求和。

3.倒序相加法:如果一個數(shù)列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項和，可把正著寫和倒著寫兩個和式相加，得到一個常數(shù)列的和。這一求和的方法稱為倒序相加法。

4.裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項。

5.錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與等比數(shù)列對應項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法。

6.集項求和法:其基本思想是:先求局部和，再求總和.往往適用于項的符號正、負不定的數(shù)列求和.

例5 求數(shù)列(x+1x)2，(x2+1x2)2，…，(xn+1xn)2的前n項和.

分析:此題的通項公式可表示為兩個等比數(shù)列與常數(shù)列的和，因此可應用到分組轉(zhuǎn)化法求和，同時要注意，在求等比數(shù)列的前n項和時要應用到分類思想.

解:當x≠±1時，Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1xn)2

=(x2+2+1x2)+(x4+2+1x4)+…+(x2n+2+1x2n)

=(x2+x4+…+x2n)+2n+(1x2+1x4+…+1x2n)=x2(1-x2n)1-x2+x-2(1-x-2n)1-x-2+2n

=(x2n-1)(x2n+2+1)x2n(x2-1)+2n.

當x=±1時，Sn=4n.

例6 函數(shù)f(x)對任意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=12，

化簡:S=f(0)+f(1n)+f(2n)+...+f(n-1n)+f(1)

分析:此題如果用首尾相加法時，需要對n進行分類，分為奇數(shù)和偶數(shù).但如用倒序相加法時可排除此步驟，問題向簡單方向轉(zhuǎn)化.

解:由S=f(0)+f(1n)+f(2n)+...+f(n-1n)+f(1)

S=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)+…+f(1n)+f(0)

由于f(x)對任意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=12，所以2S=(n+1)f(0)+f(1)=n+1，從而S=n+12.

例7 求和Sn=12+34+58+…+2n-12n

分析:此數(shù)列的通項公式an=2n-12n可看作由一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積組成，此類型求和時可應用錯位相減法.

解:Sn=12+34+58+…+2n-12n

12Sn=14+38+516+…+2n-12n+1

兩式相減，得12Sn=12+24+28+…+2n2n-2n-12n+1=12+214+18+…+12n-2n-12n+1

所以:Sn=1+414+18+…+12n-2n-12n+1=1+4141-12n-11-12-2n-12n+1

=1+2-22n-1-2n-12n=3-2n+32n

例8 求數(shù)列(-1)n#8226;n2的前n項和Sn.

分析:用集項求和法

解:(1)當n為偶數(shù)時，an-1+an=(-1)n-1#8226;(n-1)2+(-1)n#8226;n2=2n-1，∴Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…(an-1+an)=3+7+11+…(2n-1)=n(n+1)2

(2)當n為奇數(shù)(n≥3)時，Sn=Sn-1+an=(n-1)n2-n2=-n(n+1)2.又∵S1=a1=-1也適合上式，∴Sn=-n(n+1)2(n為奇數(shù)).

綜上:對任意n∈N，有Sn=(-1)nn(n+1)2.

例9 Sn=11×2×3+12×3×4+13×4×5+…+1nn+1n+2，求Sn.

解:因為an=1nn+1n+2

=121nn+1-1n+1n+2

所以

Sn=1211×2-12×3+12×3-13×4+…+1nn+1-



1n+1n+2

=1212-1n+1n+2=nn+34n+1n+2.

五、關注數(shù)列與其它知識交匯

在解答題中，有關數(shù)列的試題出現(xiàn)在高考試卷中的頻率較高，與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、概率、應用問題等交匯處命制高考題也時常出現(xiàn).

例9 已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為f′(x)=6x-2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;

(Ⅱ)設bn=1anan+1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn

解:(Ⅰ)設這二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)，則f′(x)=2ax+b，由于f′(x)=6x-2，得

a=3，b=-2，所以f(x)=3x2-2x.

又因為點(n，Sn)(n∈N)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上，所以Sn=3n2-2n.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5.

當n=1時，a1=S1=3×12-2=6×1-5，所以，an=6n-5(n∈N)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知bn=3anan+1=3(6n-5)6(n-1)-5=12(16n-5-16n+1)，

故Tn=∑ni=1bi

=12(1-17)+(17-113)+...+(16n-5-16n+1)

=12(1-16n+1).

因此，要使12(1-16n+1)

評析:常見的拆項公式有:

(1)1nn+1=1n-1n+1;

(2)12n-12n+1=1212n-1-12n+1;

(3)1nn+1n+2=121nn+1-1n+1n+2;

(4)1a+b=1a-ba-b;(5)an=Sn-Sn-1n≥2.