解答有關(guān)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們?cè)跀?shù)列學(xué)習(xí)方面應(yīng)達(dá)到的目標(biāo).

例1 已知a1=3且an=Sn-1+2n，求an及Sn.

解:∵an=Sn-Sn-1，∴Sn-2Sn-1=2n，∴Sn2n-Sn-12n-1=1

設(shè)bn=Sn2n則bn是公差為1的等差數(shù)列，∴bn=b1+n-1又∵b1=S12=a12=32，

∴Sn2n=n+12，∴Sn=(2n+1)2n-1，∴當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=(2n+3)2n-2

∴an=3(2n+3)#8226;2n-2(n=1)(n≥2)，Sn=(2n+1)2n-1

注①函數(shù)思想:很多數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式都可以看作是n的函數(shù)，所以有關(guān)數(shù)列的某些問(wèn)題可以化為函數(shù)問(wèn)題求解.這一點(diǎn)在求有關(guān)遞推數(shù)列時(shí)尤為重要。

注②分類討論思想:已知Sn求an時(shí)，也要進(jìn)行分類;

例2 已知a1=1，Sn=n2an(n≥1)，求an及Sn.

解:an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1從而有an=n-1n+1an-1

∵a1=1，∴a2=13，a3=24×13，a4=35×24×13，a5=46×35×24×13，

∴an=(n-1)(n-2)#8226;…×3×2×1(n+1)n(n-1)#8226;…×4×3=2n(n+1)，∴Sn=n2an=2nn+1

數(shù)列計(jì)算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計(jì)算，是高考命題重點(diǎn)考查的內(nèi)容.數(shù)列求和的常用方法主要有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。對(duì)于性質(zhì)主要是理解(也就是說(shuō)自己能推導(dǎo)出來(lái))，具體運(yùn)用時(shí)就能靈活自如.特別是推導(dǎo)過(guò)程中運(yùn)用的方法，是我們研究其他數(shù)列的一種嘗試.如推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的“累差”法和推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的“累積”法，是我們求其他數(shù)列通項(xiàng)公式的一種經(jīng)驗(yàn).又比如推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的“倒序相加法”和推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的“錯(cuò)位相減法”都是數(shù)列求和的重要技巧.

例3 求和1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n.

解:am=112+3+…+n=2(1n-1n+1)

∴Sn=2(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1

注3:本題的關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。重點(diǎn)把握通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式

例4 求和:S=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1.

解:Sn=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1①

xSn=x+2x2+3x3+……+n-1xn-1+nxn②

①(②1-xSn=1+x+x2+……+xn-1-nxn，

當(dāng)x≠1時(shí)，1-xSn=1-xn1-x-nxn=1-xn-nxn+nxn+11-x=1-1+nxn+nxn+11-x

∴Sn=1-1+nxn+nxn+11-x2;

當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+4+……n=n1+n2

注4:用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為Sn=a1(1-qn)1-q(q≠1)及Sn=na1(q=1);

解決有關(guān)等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要注意an，Sn，d，n，a1之間的關(guān)系以及等差數(shù)列的性質(zhì)。

例5 一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32:27，求公差.

解一:設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d則12a1+12×112d=3546(a1+d)+6×52×2d6a1+6×52×2d=3217d=5

解二:S奇+S偶=354S偶S奇=3227S偶=192S奇=162由S偶-S奇=6dd=5

例6 設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S7=7，S15=75，

Tn為數(shù)列{Snn}的前n項(xiàng)和，求Tn.

法一:利用基本元素分析法

設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則S7=7a1+7×62d=7S15=15a1+15×142d=75∴a1=-2d=1

∴Sn=-2+n(n-1)2∴Snn=-2+n-12=n2-52此式為n的一次函數(shù)

∴{Snn}為等差數(shù)列∴Tn=14n2-94n

法二:{an}為等差數(shù)列，設(shè)Sn=An2+Bn∴S7=A×72+7B=7S15=A×152+15B=75

解之得:A=12B=-52∴Sn=12n2-52n，下略

注5:法二利用了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)。

解決有關(guān)等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要注意an，Sn，q，n，a1之間的關(guān)系以及等比數(shù)列的性質(zhì)。

例7 在等比數(shù)列an中，a2=-2，a5=54，求a8

解:a8=a5q3=a5#8226;a5a2=54×54-2=-1458

另解:∵a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，∴542=a8×-2∴a8=-1458

例8 三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三個(gè)數(shù)減去32，則成等差數(shù)列，若再將這等差數(shù)列的第二個(gè)數(shù)減去4，則又成等比數(shù)列，求原來(lái)三個(gè)數(shù).

解:設(shè)原來(lái)三個(gè)數(shù)為a，aq，aq2則必有2aq=a+(aq2-32)①，(aq-4)2=a(aq2-32)②

由①:q=4a+2a代入②得:a=2或a=59從而q=5或13

∴原來(lái)三個(gè)數(shù)為2，10，50或29，269，3389

利用有關(guān)數(shù)列知識(shí)和方法來(lái)解決.解答數(shù)列題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用，決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.