必做題部分

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

1. 已知復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足 ，則 等于 .

2. 設(shè) 是集合A到B的映射，如果B={1，2}，則A∩B可能是 .

3. 若 且 則 是 的 條件.

4. 已知當(dāng)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b時(shí)，橢圓的面積是πab．請(qǐng)針對(duì)橢圓

求解下列問(wèn)題：若m，n是實(shí)數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4，則點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)

的概率是.

5. 若平面上三點(diǎn)A、B、C滿(mǎn)足 ， ， ，則

的值等于 .

6. 右圖給出了一個(gè)算法流程圖，若輸入 ，則該算法流程圖的輸出結(jié)果是.

7. 電流強(qiáng)度 （安）隨時(shí)間 （秒）變化的函數(shù)的圖象如右圖所示，則當(dāng) 秒時(shí)，電流強(qiáng)度是 安.

8. 已知數(shù)列 中， ，對(duì)任意的正整數(shù) ，任意的正偶數(shù) ，都有 ，則其前n項(xiàng)和.

9. 經(jīng)過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn)任意作弦 ，過(guò) 作橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn) ，垂足為 ，則直線(xiàn) 必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

（填寫(xiě)坐標(biāo)）.

10. 某師傅需用合板制作一個(gè)工作臺(tái)，工作臺(tái)由主體和附屬兩部分組成，主體部分全封閉，附屬部分是為了防止工件滑出臺(tái)面而

設(shè)置的護(hù)墻，其大致形狀的三視圖如右圖所示(單位長(zhǎng)度: cm)， 則

按圖中尺寸，做成的工作臺(tái)用去的合板的面積為（制

作過(guò)程合板損耗和合板厚度忽略不計(jì)）.

11. 如圖所示，面積為 的平面凸四邊形的第 條邊的邊長(zhǎng)記為 此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第 條邊的距離記為 ，若 ，類(lèi)比以上性質(zhì)，體積為V三棱錐的第 個(gè)面的面積記為 ，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第 個(gè)面的距離記為 ，若 ，則 .

12. 已知函數(shù) ，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) 、 ，0．（填：“>”、“<”或“=”之一）

13. 在一個(gè)密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是 .

14. 數(shù)學(xué)中的“猜數(shù)”游戲：給出如下的一張數(shù)表：

12 4 816

35736756791011171819

91113101114121314121314202122

151719151819152021152425232425

212325222326222328262728262728

272931273031293031293031293031

第（1）組第（2）組 第（3）組 第（4）組 第（5）組

以上數(shù)表是經(jīng)過(guò)特殊編排而成的，數(shù)表共分5組，第（1）組的16個(gè)數(shù)是從1到31中篩選給出的，其中每個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)2進(jìn)制數(shù)只能是如下形式： ；第（2）組的16個(gè)數(shù)是從1到31中篩選給出的，其中每個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)2進(jìn)制數(shù)只能是如下形式： ；其余類(lèi)推. 現(xiàn)已知某整數(shù) 出現(xiàn)且只出現(xiàn)在第（1）、（3）、（5）組，那么 （10進(jìn)制數(shù)）.

二、解答題（本大題6小題，共90分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15. 如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長(zhǎng)為 的正方形，側(cè)面底面 ，且 ，若 ， 分別為 、 的中點(diǎn). 求證:

(1)//平面 ；

(2) 平面平面 .

16. （14分）定義 ，則 具有如下運(yùn)算性質(zhì)：

① ；② ；

③ （其中 是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)）；④ ；

⑤ . 選用以上性質(zhì)完成以下兩題：

（1）若記 ，證明 .

（2）若記 ， ，證明 ；

17. 有一座圓弧形的拱橋橫跨河的兩岸，當(dāng)水面離橋頂5m時(shí)，水面寬 20m；

(1)試建立坐標(biāo)系，求圓弧所在圓的方程；

(2) 問(wèn)此時(shí)一條寬為12m，高出水面4m貨船能否安全通過(guò)圓弧形的拱橋？

18.中內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，向量 ，

， .

（1）求銳角 的大?。?/p>

（2）如果 ，求 的面積 的最大值.

19. O為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)Ｍ在直線(xiàn)x＝－p（p＞０）上移動(dòng)，點(diǎn)Ｎ在線(xiàn)段ＭO的延長(zhǎng)線(xiàn)上，滿(mǎn)足 ．求 的最小值.

20. 設(shè)數(shù)列 的所有項(xiàng)都是不等于1的正數(shù)，前n項(xiàng)和為 ，已知點(diǎn)在直線(xiàn) 上，（其中，常數(shù)k≠0，且k≠1），又 .

（1）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；

（2）如果 ，求實(shí)數(shù)k，b的值；

（3）如果存在 ，使得點(diǎn) 和 都在直線(xiàn) 上，試判斷，是否存在自然數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 恒成立？若存在，求出 的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

附加題部分

一、選做題（在A、B、C、D 四小題中選做2小題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

1. 選修4-1 幾何證明選講

如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E在BC上，CE=BE. 求證：PE是⊙O的切線(xiàn).

2. 選修4-2 不等式選講

n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率分別是 （ ），它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間組成的集合是{ }（ ，且n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間兩兩不等），求這n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程之和的最大值和最小值.

3. 選修4-4矩陣與變換選講

給定矩陣 .

（1）求A的特征值 及對(duì)應(yīng)特征向量a1，a2；

（2）求 .

4. 選修4-5坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講

已知直線(xiàn) 的參數(shù)方程： （ 為參數(shù)）和圓 的極坐標(biāo)方程： ，判斷直線(xiàn) 與圓 的位置關(guān)系.

二、必答題（本大題共2小題，第一小題8分，第二小題12分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

5. 甲從裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一張，乙從裝有編號(hào)為2，4的卡片的箱子中任意取一張，用 ， 分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字.

（1）求概率 ）；

（2）記求 的分布列與數(shù)學(xué)期望.

6. (1)證明：函數(shù)f ( x ) = 在 上是單調(diào)增函數(shù)；

(2)證明： .

【簡(jiǎn)明答案】

1. 2.或{1}3. 充要條件 4.5. -25 6.

7.8.9. 10.

11. 12. > 13.14. 21

15. 略16. 略

17. （1） ；（2）不能

18. （1）（2）

19. 當(dāng)０＜p＜２時(shí)， 的最小值是４；當(dāng)p ２時(shí)，最小值是

20. （1）略;（2） ，;

（3）即存在最小的自然數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)， 恒成立

21.A. 略

B. 最大值是 ，最小值是

C. （1） ，;（2）

D. 相交

22. （1）

（2）分布列是

2345

P

期望為

23. 略