把導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識引入中學(xué)數(shù)學(xué)是高中課程改革的一個亮點，它使得高中階段研究函數(shù)的性質(zhì)變得更加方便和簡單，尤其在討論函數(shù)的單調(diào)性、最值方面更有突出的優(yōu)勢．但是如果在利用導(dǎo)數(shù)時不注意分析和思考，可能會走入計算的誤區(qū)，筆者結(jié)合學(xué)生在解題中出現(xiàn)的一些問題談自己一些看法，希望能夠與同行交流，同時也希望對高三即將參加高考的學(xué)生提個醒.

1. 合理構(gòu)造函數(shù)是首要條件

利用導(dǎo)數(shù)知識來解決有關(guān)問題時，首先要善于從函數(shù)、方程、不等式等不同角度、用文字符號等不同語言來敘述問題，合理構(gòu)造函數(shù)，這樣才能夠起到事半功倍的作用，而構(gòu)造函數(shù)的之前可能要將式子進(jìn)行變形，主要思路有分離變量、換元等.

例1設(shè)函數(shù) ， ， 試比較 和 的大小.

分析若設(shè) 后，進(jìn)一步對 求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn) 不容易求根，也就無法判斷原函數(shù)的性質(zhì)，解題也被中止了. 注意到 ，而 是一個非負(fù)數(shù)，所以只要比較 與0的大小即可.

解因為 ，所以當(dāng) 時， = ；

當(dāng) 時，只要比較 與0的大小就可以了，設(shè) ，所以 ，

①當(dāng) 時，，所以 單調(diào)遞減；

②當(dāng) 時，，所以 單調(diào)遞增，即 的最小值為 .

綜上 .

例2已知函數(shù) ，記 ，若函數(shù) 至少有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是.

分析 本題若直接對函數(shù) 求導(dǎo)則同樣面臨著與上題一樣的困境，不容易判斷 的符號，為此我們可以構(gòu)造兩個基本的函數(shù)，分別來研究它們的性質(zhì)，達(dá)到化簡的目的.

解因為 至少有一個非負(fù)零點，即方程 至少有一個正解，構(gòu)造函數(shù) 和函數(shù) ，即 和 兩個函數(shù)在軸右側(cè)至少有一個交點，分別作出 和 草圖得到只要 即可，解得 .

例3已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實常數(shù))，若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 本題的特征是含有參變量，若根據(jù)條件直接設(shè) ，進(jìn)一步求導(dǎo) 研究單調(diào)性再求實數(shù)a的取值范圍則需要對 進(jìn)行分類，運算量比較大. 注意到本題是求參數(shù)的取值范圍，并且參數(shù)a的系數(shù)也容易判斷符號，所以可以考慮分離變量法，把a分離出來，避免分類.

解 不等式 ，可化為 ．

因為 ， 所以 且等號不能同時取，

所以 ，即 ，因而 （ ），

令 （ ），于是 ，

當(dāng) 時， ， ，

從而 （僅當(dāng)x=1時取等號），所以 在 上為增函數(shù)，

故 的最小值為 ，所以a的取值范圍是 ．

2. 運用導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)該善于觀察

例4函數(shù) 定義域為R，滿足 則不等式 的解集為 .

分析利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵是要能夠確定導(dǎo)數(shù)的符號，而本題條件 顯然不能與0比較，故考慮換元的方法構(gòu)造新的函數(shù) 是本題切入的關(guān)鍵.

解設(shè) ，這樣原問題就等價于為“已知函數(shù) 定義域為R，滿足 ， 求不等式 的解集. ”容易得到其結(jié)果為 .

例5已知函數(shù) ， ， ，，若在

[1，e]上至少存在一個 ，使得 成立，求 的取值范圍．

分析 本題的難點在于構(gòu)造函數(shù) 后沒有直接對 求導(dǎo)，而是觀察后先討論當(dāng) 時不符合題意，從而只要討論當(dāng) 時的情況，問題就變得簡單了.

解構(gòu)造函數(shù) ，即 ．

①當(dāng) 時， ， ， ，

所以在[1，e]上不存在一個 ，使得 成立．

②當(dāng) 時， ．

因為 ，所以 ， ，所以 在 恒成立．

故 在 上單調(diào)遞增， ，只要 ，

解得 ．

故 的取值范圍是 ．

3. 注重充要條件對導(dǎo)數(shù)的影響

例6若函數(shù) 在 處有極值為10，求 的值.

錯解 因為 ，由已知可以建立方程組

即 解得 或

分析 對于可導(dǎo)函數(shù)來說，若函數(shù)在某點取得極值，可以得到導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值為0，但是它的逆命題卻未必為真，所以對于這類問題一般需要通過檢驗來確定答案的正確性質(zhì). 檢驗知當(dāng) 時， ，而 恒成立，所以函數(shù) 不單調(diào)，所以只有 符合題意.

例7若函數(shù) 在 單調(diào)遞增，求 的取值范圍.

錯解因為 在 單調(diào)遞增，所以有 恒成立，

所以 .

分析因為可導(dǎo)函數(shù) 在某區(qū)間單調(diào)遞增時，有 恒成立，反之也不一定成立，

所以要檢驗 的情況，即 時， ，顯然不單調(diào). 同時若注意到定義域滿足 ，所以 ，解得 故所求 的范圍為 .

由此可見，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)雖然具有很大的優(yōu)越性，但是在應(yīng)用時應(yīng)該審視問題，圍繞條件分析比較，讓導(dǎo)數(shù)發(fā)揮出作用，為我們解題服務(wù).