昶　月

超級大難題

“今天的家庭作業(yè)——計算題一道！”下課的時候特愛布置作業(yè)的莫斯特老師宣布道。

“哇！太棒嘍！”同學(xué)們一片歡呼。

“也許是為了‘慶祝明天的愚人節(jié)，老師特別開恩的吧！”班級里的“小糊隊”隊員小小、糊糊、隊隊一陣竊笑，想起去年愚人節(jié)他們好好捉弄了莫斯特老師，現(xiàn)在依然很得意。

絕對是陰謀

“哈哈，今天終于可以痛痛快快地玩了！”

“小糊隊”隊員們邊走邊商量著放學(xué)后的計劃，他們決定先到小小家完成老師布置的那道計算題，然后痛痛快快去玩。

可是，當(dāng)他們?nèi)苏J(rèn)真看了題以后，一個個愁眉苦臉起來——“被除數(shù)有非常多的填法！除數(shù)又很大!這怎么判斷啊！”“若是一個個試，那什么時候能完成??！”“我老爸會編程，或者用計算機(jī)編程能解決，可我老爸出差不在家!”……

第二天，三個小家伙頂著一夜沒休息后的熊貓眼垂頭喪氣地來到學(xué)校，他們?nèi)瞬患s而同地達(dá)成了一個共識：這絕對是一個陰謀！

你被牽著鼻子走了嗎？

莫斯特老師笑瞇瞇地站在講臺上，微笑著問大家：“哪位同學(xué)完成了昨天的數(shù)學(xué)題呢？”

“老師，這道題目我們小學(xué)生根本就沒法解！”看見很多同學(xué)都低下了頭不吭聲，小小更堅定了自己的想法。

“哈哈！”莫斯特老師笑起來，“這道題目是Leo Moser為愚人節(jié)所作的一道趣味數(shù)學(xué)題。你那樣認(rèn)為的話，肯定是你中了出題者的圈套了。讓我們從另一個角度來考慮如何解決這個問題吧！”

下面是一個28位數(shù)，不過空缺了10個數(shù)字。把空缺的數(shù)字填上數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，每個數(shù)字只使用一次。

53838293658203

9376，問題是：這些28位數(shù)能夠被396整除的可能性是多少？

若干除數(shù)的整除性快速判斷

1. 能被2、5、3整除的數(shù)的特征

A：個位上是0、2、4、6、8的整數(shù)能夠被2整除，也就是我們所說的偶數(shù)都可以被2整除；

B：個位上是0或5的整數(shù)都可以被5整除；

C：若一個整數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

友情提醒：我們常把2和5放在一起，因為，它們只看末位，很容易。為什么呢？因為它們的乘積為10。簡單吧，也很好記！

另外，我們常把3和9放在一起，但要記住，能被9整除的一定能被3整除，能被3整除的不一定能被9整除。

2. 能被4或25整除的數(shù)的特征

如果一個自然數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4或25整除，那么這個自然數(shù)就能被4或25整除，否則這個數(shù)就不能被4或25整除。

友情提醒：想一想為什么把4和25放在一起呢？因為它們的乘積是100。

3. 能被8或125整除的數(shù)的特征

如果一個自然數(shù)的末尾三位數(shù)能被8或125整除，那么這個自然數(shù)就可以被8或125整除，否則這個自然數(shù)就不能被8或125整除。

友情提醒：想一想為什么把8和125放在一起呢？因為它們的乘積是1000。

4. 能被9整除的數(shù)的特征

如果一個自然數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和，能被9整除，那么這個自然數(shù)就可以被9整除。（這個和能被3整除的自然數(shù)的特征差不多）。

友情提醒：和3放在一起吧。記住，被9整除的特征很重要，很多題目當(dāng)你沒有頭緒的時候想到這個就會豁然開朗的！

5. 能被7、11、13整除的數(shù)的特征

一個整數(shù)的末尾三位數(shù)與末尾三位數(shù)之前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減小）能被7、11、13整除，那么這個數(shù)就能被7、11、13整除。

友情提醒：想一想為什么把7、11、13放在一起呢？這時候大家肯定會想到一點，它們的乘積唄！它們的乘積是1001。

引申：形如ABCABC這樣的六位數(shù)，不管ABC各是什么，它們都一定能被7、11、13整除！

6. 能被11整除的數(shù)的特征

如果一個自然數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么這個數(shù)便能被11整除，否則不能被11整除。

友情提醒：這個經(jīng)常用在求余數(shù)的問題上，如果要求一個數(shù)除以11的余數(shù)是多少，常常用這個規(guī)律。但一定要記住，是奇數(shù)位上的數(shù)字和減去偶數(shù)位上的數(shù)字和，如果不夠減，先加上若干個11，然后再去減。直到你所求的余數(shù)是小于11大于0的數(shù)即可！

7. 能被一個合數(shù)整除的數(shù)的特征

先把這個合數(shù)分解成兩個互質(zhì)的數(shù)（不一定兩個都是質(zhì)數(shù)）。而且這兩個互質(zhì)的數(shù)一定是我們能判斷的具有整除特征的數(shù)。（例如，6就要分解成2×3，72就要分解成8×9）

超級難題妙解答

396作為除數(shù)。因為396=4×9×11，一個數(shù)要被396整除，要同時滿足3個條件：末兩位被4整除，所有數(shù)字和被9整除，奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差能被11整除。

這個28位數(shù)末兩位為76，能被4整除，所以不管其余空白處數(shù)怎么填寫，所有大數(shù)都能被4整除。

已經(jīng)給出的所有數(shù)字和能被9整除，空白數(shù)字0-9的數(shù)字和也能被9整除，所以不管空白數(shù)怎么填寫，所有大數(shù)都能被9整除。

我們發(fā)現(xiàn)，所有的空白數(shù)都出現(xiàn)在偶數(shù)位上，因此空白處無論怎樣填亦能被11整除。

綜上所述，這些28位數(shù)能夠被396整除的可能性是100%。

這題有趣吧？接下來，我們將整除問題進(jìn)行到底。

整除問題繼續(xù)探

1.四位數(shù)“3AA1”是9的倍數(shù)，那么這里的A是幾呢？

分析與解已知“四位數(shù)3AA1是9的倍數(shù)”，那么，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，各個數(shù)位上的數(shù)字之和3+A+A+1一定是9的倍數(shù)，請注意每個數(shù)位上的數(shù)字最大只能是9，因此，3+A+A+1的和可能是9的1倍或2倍，（想一想，可能是3倍或3倍以上嗎？）我們用試驗法來逐個試驗：

① 如果3+A+A+1=9，那么A=2.5，不合題意。

② 如果3+A+A+1=18，那么A=7，符合題意。

事實上，3771÷9=419。

答：這個四位數(shù)中的A是7。

２．已知一個五位數(shù)“□691□”能被55整除,試求所有符合題意的五位數(shù)。

分析與解為了敘述的方便，我們不妨設(shè)五位數(shù)“□691□”為Ａ６９１Ｂ。五位數(shù)Ａ６９１Ｂ能被55整除，因為55=5×11，且5和11是互質(zhì)數(shù)，所以說五位數(shù)既能被5整除，又能被11整除。根據(jù)這個五位數(shù)能被5整除可知：B=0或5。當(dāng)B=0時，Ａ６９１0能被11整除，所以（A+9+0）-（6+1）=A+2能被11整除，因此A=9；當(dāng)B=5時，同樣可求出A=4。所以，所求的五位數(shù)是96910或46915。

答：符合題意的五位數(shù)有96910、46915。

３．六位數(shù)“42□28□”是99的倍數(shù),這個數(shù)除以99所得的商是多少？

分析與解因為99=9×11，且9和11是互質(zhì)數(shù)，所以“42□28□”既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)。根據(jù)能被９整除的數(shù)的特點，這個數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)。“42□28□”這個六位數(shù)中已知的四個數(shù)的和是4+2+2+8=16，因此空格中兩個數(shù)字的和是2或11，（想一想，為什么？）我們把右起第一、三、五位看作奇位，那么奇位上已知兩個數(shù)字的和是2+2=4，而偶位上已知兩個數(shù)字的和是4+8=12，再根據(jù)能被１１整除的的特點，奇位上數(shù)字的和與偶位上數(shù)字的和之差是0或11的倍數(shù)，所以填入空格的兩個數(shù)應(yīng)該相差3或相差8（這里和前面的原理一樣，想通了嗎）。從以上分析可知填入的兩個數(shù)字的和不可能是2，應(yīng)該是11。顯然它們的差不可能是8，應(yīng)該是3，符合這兩個條件的數(shù)字只有7和4。填入空格時要注意7填在偶位上，4填在奇位上，即原六位數(shù)是427284，又427284÷99=4316，所以所得的商是4316。

答：這個數(shù)除以99所得的商是4316。

看來，這個愚人節(jié)的收獲真不小哦！