彭偉才 趙高煜 何 锃

華中科技大學(xué)力學(xué)系，湖北武漢430074

基于混合法的內(nèi)部結(jié)構(gòu)聲分析

彭偉才 趙高煜 何 锃

華中科技大學(xué)力學(xué)系，湖北武漢430074

有限元法（FEM）是廣泛接受的分析耦合結(jié)構(gòu)聲（SA）系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的預(yù)報(bào)工具。由于隨頻率增加計(jì)算模型也增加導(dǎo)致基于單元的方法在實(shí)際中約束在低頻段。一種替代方法是基于間接Trefftz法的基于波動(dòng)方法（WBM）。但WBM的不足之處在于高計(jì)算效率只針對(duì)中度復(fù)雜的幾何模型。為了利用兩者的優(yōu)勢(shì)：FEM的廣泛應(yīng)用和WBM的高收斂特性，提出了混合FE－WB預(yù)報(bào)法（FEM－WBM）?；驹硎菍E模型中較大且?guī)缀魏?jiǎn)單的部分采用WBM代替。得到的耦合模型仍具有較少的自由度。簡(jiǎn)要描述了FEM、WBM以及混合FEM－WBM的理論基礎(chǔ)。最后將該方法應(yīng)用于一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)聲模型，理論分析結(jié)果與數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果吻合較好，該混合方法有潛力覆蓋中頻段。

結(jié)構(gòu)聲分析；直接耦合；混合方法；基于波動(dòng)方法；有限元法

1 引言

封閉空腔內(nèi)的噪聲主動(dòng)控制問題具有重要的工程應(yīng)用背景，如土木、工業(yè)和防御設(shè)施等場(chǎng)所的降噪。有源結(jié)構(gòu)聲控制（ASAC）［1－3］，來自噪聲有源控制（ANC），利用結(jié)構(gòu)的振動(dòng)作為次級(jí)聲源來消除初級(jí)聲源產(chǎn)生的聲場(chǎng)。然而封閉空腔聲場(chǎng)主動(dòng)控制的理論研究中涉及到的一個(gè)基本問題是結(jié)構(gòu)聲耦合作用。在噪聲的主動(dòng)控制中，許多工程問題如汽車駕駛室、飛機(jī)機(jī)艙等都簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單形狀的聲腔由彈性結(jié)構(gòu)包圍。耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)和聲場(chǎng)構(gòu)成振動(dòng)聲系統(tǒng)。

過去通常采用解析和實(shí)驗(yàn)的方法研究結(jié)構(gòu)聲問題。早期的研究者如 JUNGER，F(xiàn)EIT［4］和DOWELL等［5］發(fā)展了一種基于模態(tài)理論框架的內(nèi)部聲場(chǎng)預(yù)報(bào)方法。自從那以后許多研究者致力于研究結(jié)構(gòu)聲耦合問題，提出了能量法、格林函數(shù)法、聲彈性法、覆蓋域法和數(shù)值方法等。

能量法，如SEA或者EFM［6］，不適合低頻以及不能提供封閉空腔內(nèi)聲壓分布的詳細(xì)信息。

另一種方法稱之為聲彈性法［7］，該方法需要采用FEM來得到非耦合結(jié)構(gòu)的單個(gè)模態(tài)信息和剛性壁聲腔的聲場(chǎng)。然后將兩者進(jìn)行耦合最后得到結(jié)構(gòu)聲耦合方程。實(shí)驗(yàn)證明該方法計(jì)算效率比較高。雖然其也可以應(yīng)用于較復(fù)雜腔體的分析，然而得到復(fù)雜腔體的模態(tài)信息目前仍要借鑒試驗(yàn)手段或有限元法。

LUO等［8］提出了格林函數(shù)法。該方法根據(jù)模態(tài)疊加原理，從格林函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合流體的波動(dòng)方程和結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程，導(dǎo)出了系統(tǒng)的聲壓和速度響應(yīng)表達(dá)式。雖然擺脫了對(duì)模態(tài)解析解的依賴，但是模態(tài)疊加法導(dǎo)致計(jì)算收斂速度非常慢以及精度低。

WU等［9］提出了可以預(yù)報(bào)任意形狀聲腔內(nèi)部聲場(chǎng)的解析法。覆蓋域法結(jié)合流體波動(dòng)方程和結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程，應(yīng)用聲學(xué)互易原理，給出了封閉腔體在外力作用下其內(nèi)的聲壓分布解析解。球諧函數(shù)展開的解析式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，收斂很慢，尤其在kR（k為波數(shù)，R為覆蓋球半徑）稍大時(shí)，需計(jì)算相當(dāng)多的級(jí)數(shù)項(xiàng)以達(dá)到較高的精度。球諧函數(shù)中（n-m）！／（n＋m）！的高階因式分解通常難以達(dá)到計(jì)算要求的精度，有時(shí)甚至得不到計(jì)算結(jié)果。ZHANG和CHEN［10］對(duì)該方法的精度和效率進(jìn)行了改進(jìn)。

現(xiàn)今廣泛應(yīng)用的有限元和邊界元（BE）也存在一些缺點(diǎn)：FE存在發(fā)散現(xiàn)象；而BE因?yàn)槠鋸?fù)數(shù)、非對(duì)稱矩陣需要大量的計(jì)算時(shí)間。

一種替代方法是由DESMET［11］提出的WBM。VAN HAL［12］提出了基于聲壓和速度連續(xù)的間接耦合方法，并且已經(jīng)成功應(yīng)用到了二維的聲問題。由于引入了自由度框架，間接耦合模型增加了額外的自由度。本文主要討論直接耦合方法。我們已經(jīng)利用該方法完成了耦合振動(dòng)聲系統(tǒng)建模分析［13－16］。

本文描述了三維耦合振動(dòng)聲系統(tǒng)建模方法的基本概念。分別討論了FEM和WBM的理論背景。最后通過混合FE－WB模型算例對(duì)該方法進(jìn)行了討論。

2 基本定義

圖1所示為3D結(jié)構(gòu)與聲耦合模型。聲域V的邊界 Ωa包括 4個(gè)部分（Ωa＝Ωp∪Ωv∪ΩZ∪Ωs）。在邊界Ωp，Ωv和ΩZ分別為壓力、法向速度和法向阻抗邊界條件，而邊界Ωs由彈性平板組成，平板的邊界為Гs。腔內(nèi)充滿密度為ρa(bǔ)和聲速為c的流體。板材料屬性為：密度為ρs，泊松比為v，彈性模量為E和材料損耗因子為η。法向集中力F作用在板的rF′（xF′，yF′）處。

域V內(nèi)任意點(diǎn)r（x，y，z）的聲壓p由赫母霍茲方程控制。

圖1 三維結(jié)構(gòu)與聲耦合模型

考慮到集中力F以及聲壓的耦合作用，板的法向位移w（x′，y′）控制方程為：

其中，p（r′）為作用在板上的腔內(nèi)聲壓。該載荷只影響板的橫向位移，所以結(jié)構(gòu)聲耦合效應(yīng)轉(zhuǎn)換成式（2）中的額外載荷項(xiàng)，它正比于“濕”表面上的聲壓。

耦合結(jié)構(gòu)與聲問題的邊界條件。

其中，p（r）為已知壓力函數(shù)，vn（r）為已知法向速度函數(shù)，Z（r）為已知法向阻抗函數(shù)以及w（r）為彈性邊界上的法向位移；n為邊界法向（規(guī)定由內(nèi)向外為正方向）。板的邊界ΓS存在兩類邊界條件：

邊界Γw上為運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件。

邊界Γt上為力學(xué)邊界條件。

其中，w（r′）和T（r′）分別為邊界上已知橫向變形分量和力分量。

3 FEM和WBM回顧

3.1 FEM分析結(jié)構(gòu)聲系統(tǒng)

考慮聲壓場(chǎng)p和位移場(chǎng)w由局部定義的基函數(shù) Na和 Ns的展開式來近似［12］。

引入的誤差通過積分的方法使其為零，將式（3）～式（8）分別轉(zhuǎn)換到聲腔和結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的加權(quán)余量公式中。

其中，Wa和Ws為加權(quán)函數(shù)。

將近似函數(shù)和加權(quán)函數(shù)代入式（11）～式（12）得到下列FE模型。

其中，Ks和Ka，Cs和 Ca，Ms和Ma分別為結(jié)構(gòu)和聲的剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣。Fs和Fa為結(jié)構(gòu)和聲的外部節(jié)點(diǎn)向量。Kc為耦合項(xiàng)。耦合剛度矩陣和質(zhì)量矩陣都是與頻率無關(guān)的，但與非耦合的模型相比，這些耦合矩陣不再是對(duì)稱矩陣。主要因?yàn)榱黧w對(duì)結(jié)構(gòu)的載荷正比于聲壓，導(dǎo)致了耦合剛度矩陣中出現(xiàn)交叉耦合矩陣Kc；而結(jié)構(gòu)對(duì)流體的載荷正比加速度，導(dǎo)致了耦合質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)交叉耦合矩陣－ρa(bǔ)KTc。

3.2WBM分析結(jié)構(gòu)聲系統(tǒng)

WBM采用滿足控制方程的近似函數(shù)。近似函數(shù)由滿足式（1）～式（2）的全局定義基函數(shù)Фa和Ψs以及考慮外部激勵(lì)的特解函數(shù)組成［12］。

其中，未知系數(shù)pa構(gòu)成向量p以及ws構(gòu)成向量w。

聲學(xué)邊界條件的加權(quán)余量公式

結(jié)構(gòu)邊界條件的加權(quán)余量公式

聯(lián)立式 （16）～式（17）得到結(jié)構(gòu)聲模型

求解式（18）中的未知系數(shù)pa和ws，然后帶入式 （14）～式（15）得到整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果。

4 耦合FEM－WBM

耦合FEM－WBM試圖結(jié)合FEM和WBM各自的優(yōu)勢(shì)，即WBM的高收斂特性和FEM對(duì)任意幾何形狀的適應(yīng)能力。在實(shí)際中通常一個(gè)簡(jiǎn)單形狀的聲腔由復(fù)雜的彈性結(jié)構(gòu)包圍。對(duì)于比較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)WBM可以處理，但是對(duì)于比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)采用FEM比較適合。而聲腔可以采用幾何形狀比較簡(jiǎn)單的一個(gè)或者多個(gè)WB子域建模。當(dāng)然也可以采用FE離散，但為了達(dá)到較好的精度在臨近濕表面的聲腔需要非常細(xì)的網(wǎng)格。本文主要討論直接耦合法，即在WB域和FE域的界面ΩH同時(shí)引入連續(xù)性邊界條件，其中Ω為界面上的FE單元域，圖2為直接耦合法的示意圖。

圖2 直接耦合法

在耦合FE－WB模型中，結(jié)構(gòu)振動(dòng)和聲壓場(chǎng)的直接耦合可以通過聲模型的強(qiáng)制速度連續(xù)性條件（6）和在結(jié)構(gòu)方程中引入聲壓載荷來實(shí)現(xiàn)。耦合FE－WB模型采用非耦合方法中結(jié)構(gòu)位移和聲壓的場(chǎng)變量展開式。在耦合方程中引入展開式可以得到一組直接聯(lián)系兩個(gè)物理域自由度的代數(shù)展開式。FE域的加權(quán)余量公式增加了作用到結(jié)構(gòu)上的聲壓載荷。在WB方程（16）中引入結(jié)構(gòu)聲耦合界面ΩH上的速度連續(xù)性條件的加權(quán)余量公式。

其中，ne為界面單元數(shù)。

聯(lián)合兩個(gè)域的加權(quán)余量公式，應(yīng)用伽遼金方法代入加權(quán)函數(shù) p~（r），最后組裝FE域就可以得到整個(gè)系統(tǒng)關(guān)于節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)位移分量w和波函數(shù)系數(shù)p的矩陣方程。

其中，Zf和ff為FE系統(tǒng)矩陣；A和b為WB系統(tǒng)矩陣。耦合矩陣Qfw定義為：

其中，Nf為FE形函數(shù)，Φ為WB波函數(shù)。

矩陣Zf是FE系統(tǒng)矩陣，它是對(duì)稱、稀疏和有限帶寬矩陣。矩陣A是WBM的系統(tǒng)矩陣，它是稠密矩陣，但一般要比矩陣Zf?。╪w＜＜nf）。因?yàn)橹挥蠪E節(jié)點(diǎn)自由度位于界面ΩH上而應(yīng)用波函數(shù)到與界面相鄰的WB域得到的是非零矩陣系數(shù)，所以耦合矩陣Qfw是稀疏的長(zhǎng)方矩陣。對(duì)于這類復(fù)雜的方程需要經(jīng)過特別處理才能求解。

5 數(shù)值算例與分析

計(jì)算模型為如圖3所示系統(tǒng)。域的特征尺寸為 Lx＝0.5 m，Ly＝0.5 m，Lz＝0.75 m，Lzm＝0.5 m，Lxm＝0.25 m。聲腔中充滿空氣，密度ρa(bǔ)＝1.225 kg／ m3，聲速c＝340 m／s。其中彈性結(jié)構(gòu)為鋁板：泊松比v＝0.3，彈性模量E＝7×1010N／m2，密度ρs＝2 790 kg／m3，材料損耗因子η＝0，厚度t＝2×10－3m。其余邊界條件為剛性壁 vn＝0 m／s。單位力F作用點(diǎn)rF′＝（0.1，0.1）m。

混合模型計(jì)算平臺(tái)為MATLAB環(huán)境，數(shù)值模型計(jì)算平臺(tái)為SYSNOISE 5.5。表1給出了由FE計(jì)算得到的7階板模態(tài)和7階聲腔模態(tài)。

圖3 板與聲腔耦合模型

表1 平板和聲腔的固有頻率

為了比較耦合FEM－WBM的性能，構(gòu)造了4個(gè)模型?；旌夏Ｐ?采用50個(gè)FE單元；混合模型2為100個(gè)；混合模型3為200個(gè)；作為參考模型的數(shù)值計(jì)算模型則采用625個(gè)板有限單元和4 151個(gè)邊界單元。

圖4和圖5為板法向位移變形圖和聲腔內(nèi)y′＝0.25 m平面的聲壓分布，圖4可以看出系統(tǒng)的響應(yīng)由非耦合結(jié)構(gòu)模態(tài)控制。

圖4 336 Hz時(shí)板法向位移

圖6為板（0.2 m，0.2 m）處的位移響應(yīng)和聲腔（0.25 m，0.25 m，0.375 m）處的聲壓響應(yīng)。從響應(yīng)譜可以看出對(duì)于3種混合模型低頻段 （1～250Hz）吻合較好。

圖5 聲壓分布/Pa

圖6 板的位移響應(yīng)和聲腔的聲壓響應(yīng)

在高頻段 （250～500 Hz），除了混合模型3外，其他2個(gè)模型與參考值有較大偏離。這主要是因?yàn)榛旌夏Ｐ椭蠪E部分的數(shù)值誤差。

從圖6還可以得出：耦合模型的計(jì)算精度基本上取決于FE模型的精度，也與FE頻率響應(yīng)函數(shù)特性相似，都是向高頻偏移。所以利用FE隨網(wǎng)格細(xì)分而精度提高的特點(diǎn)進(jìn)一步細(xì)分網(wǎng)格，那么一定能得到精度非常滿意的計(jì)算結(jié)果。而傳統(tǒng)的模態(tài)疊加法一般適合低頻的分析，隨著頻率的增加越來越多的模態(tài)對(duì)系統(tǒng)的整個(gè)響應(yīng)都有貢獻(xiàn)，此時(shí)模態(tài)疊加法變得不適合。文中方法將聲腔的聲壓用滿足赫姆霍茲控制方程的波函數(shù)展開，用于分析聲腔部分的自由度大大減少，最后耦合模型的總自由度數(shù)仍少于耦合有限元和邊界元法，這有利于計(jì)算更高頻率或者更高精度的耦合問題，從圖7可以發(fā)現(xiàn)這點(diǎn)。

6 結(jié)束語

本文討論了分析三維結(jié)構(gòu)聲系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的混合方法。WBM具有計(jì)算模型小，收斂速度快，計(jì)算量比FEM少等特點(diǎn)，與FEM相比該方法提供了處理更高頻率響應(yīng)的能力。但是為了利用WBM的計(jì)算效率，分析模型只能是中度復(fù)雜的幾何模型。一個(gè)充分非必要條件是求解域必須是凸形域。對(duì)于非凸形域需要將其分解成多個(gè)子域，在界面施加連續(xù)性條件。對(duì)于實(shí)際的問題，WBM可能需要大量的子域。為了處理更加復(fù)雜的幾何模型，提出了混合FEM－WBM?；旌戏ɡ昧薟BM的高計(jì)算效率以及FEM的幾何適應(yīng)能力。

圖7 336 Hz時(shí)收斂曲線

兩種方法的近似場(chǎng)通過加權(quán)余量公式來直接耦合?；旌戏ǖ男阅芡ㄟ^一個(gè)簡(jiǎn)單的耦合模型來驗(yàn)證。由結(jié)果分析也說明了混合法的特點(diǎn)。由于混合法中存在FE部分，所以混合法也存在數(shù)值誤差。利用FEM的細(xì)分，可以得到更高精度的結(jié)果。該方法可以為有源結(jié)構(gòu)聲控制提供一定的理論基礎(chǔ)。

將來的工作將對(duì)WBM的耦合方程的高效、穩(wěn)定算法方面進(jìn)行深入研究。研究耦合WBM和BEM的可能性，以及探索流固耦合界面上存在阻尼材料的情況。

［1］ RAO Z S，LUO C，ZHAO M.The analysis of structuralacoustic coupling of an irregular enclosure under the excitation of point force and PVDF［J］.Journal of Vibration and Acoustic，2007，129：202－208.

［2］ LUO C，RAO Z，ZHAO M.The Analysis of Responses of an Irregular Enclosure Excited by a Pair of PVDF Piezoelectric Film［J］.Journal of Vibration Engineering，2004，17（22），895－897.

［3］ LI Y Y，CHENG L.Vibro－acoustic analysis of a rectangular－like cavity with a tilted wall［J］.Applied Acoustics，2007，68（7）：739－751.

［4］ JUNGER M，F(xiàn)EIT D.Sound，structures and their interaction［M］.Cambridge：The MIT Press，1986.

［5］ DOWELL E H，VOSS H M.The effect of a cavity on pan-el vibration［J］.AIAA Journal，1963，1：476－482.

［6］ ZHANG Q J，SAINSBURY M G.The Energy Flow Method for strongly coupled systems［C］//Proceedings of the 17th International Modal Analysis Conference，Kissimee，F(xiàn)lorida，USA，1999：1839－1845.

［7］ DOWELL E H，GORMAN G F，SMITH D A.Acoustoelasticity：general theory，acoustic natural modes and forced response to sinusoidal excitation，including comparisons with experiment［J］.Journal of Sound and Vibration，1977，52（4）：519－542.

［8］ LUO C，ZHAO M，RAO Z S.The analysis of structuralacoustic coupling of an enclosure using Green＇s function method［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2005，27（3/4）：242－247.

［9］ WU J H，CHEN H L，HU X L.Method to calculate interior sound field of arbitrary-shaped closed thin shell［J］.Acta Acustica，2000，25：468－471.

［10］ ZHANG S，CHEN N.New analytical method for modeling active structure acoustic control system within an irregular enclosure［J］.Journal of Low Frequency Noise，Vibration and Active Control，2005，24（4）：265-273.

［11］ DESMET W.A wave based prediction technique for coupled vibro－acoustic analysis ［D］.Katholieke University Leunen，1998.

［12］ VAN HAL B.Automation and performance optimization of the wave based method for interior structural－acoustic problems［D］.Katholieke University Leunen，2004.

［13］ HUANG F，HE Z，PENG W C.An efficient prediction method for the two－dimensional coupled structural－acoustic analysis［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2006，19（4）：327－333.

［14］ PENG W C，HE Z，LI P，WANG J Q.A prediction technique for dynamic analysis of flat plates in the mid－frequency range［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2007，20（4）：333－341.

［15］ PENG W C，HE Z，WANG J Q.Application of domain decomposition in acoustic and structural acoustic analysis［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2007，20（6）：87－93.

［16］ 彭偉才，何锃，李鵬.耦合FE／WB法在聲分析中的應(yīng)用［J］.計(jì)算物理，2009，26（3）：396－402.

A Hybrid Method for Interior Structural－acoustic Analysis

Peng Wei－caiZhao Gao－yu He Zeng
Department of Mechanics，Huazhong University of Science＆Technology，Wuhan 430074，China

The finite element method（FEM）is a widely accepted prediction tool for the steady－state dynamic response analysis of coupled structural－acoustic（SA）systems.However，it is limited to the low frequency range due to the fast growing model size for increasing frequencies.An alternative method is the wave based method（WBM）based on the indirect Trefftz method.However，the applicability of the WBM is limited since the high computational efficiency only appears for moderate geometrical complexity.In order to take advantage of the wide application range of the FEM and the high convergence rate of the WBM，a hybrid method of the two is proposed.The basic idea is to replace parts of the FE model with simple geometrical shapes by much smaller wave models.The resulting hybrid model has fewer degrees of freedom.The theoretical background of both the FEM and the WBM is briefly discussed，followed by the mathematical description of the hybrid FE－WB method.The hybrid modeling concept is demonstrated for a structural－acoustic system.The results are shown to be in good agreement with numerical simulation results.The example illustrates that the hybrid FE－WB method has the potential to cover the mid－frequency range.

structural-acoustic analysis；direct coupling；hybrid method；WBM；FEM

O42

A

1673－3185（2009）05－14－06

2009－06－05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10872075）

彭偉才（1981－），男，博士研究生。研究方向：結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制。E-mail：pweicai＠gmail.com