楊曉光， 唐 躍， 陳 浩

(1. 長沙理工大學 金融工程與金融管理研究中心，湖南 長沙 410076；2. 中國科學院 數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院，北京 100190)

一、引言

肇始于美國的次貸危機很快演變成一場波及全球的金融危機，并且對世界經(jīng)濟造成巨大的沖擊。在這場危機中扮演主要角色的是次級貸款以及基于次級貸款的金融衍生產(chǎn)品，而這些產(chǎn)品得以能夠有市場有交易，關鍵就是能夠對它們進行定價，而金融衍生產(chǎn)品的定價，離不開相對而言高深復雜的金融數(shù)學。

次級貸款又名次級抵押貸款和次級按揭貸款。正常情況下，客戶向銀行或其他貸款機構申請貸款，定期償付本金和利息，形成貸款合約。但一部分客戶由于信用條件或其他原因未能滿足正常貸款發(fā)放的要求，貸款機構無法與他們簽署直接貸款協(xié)議，為了滿足這部分客戶的要求，貸款機構發(fā)放了對客戶信用要求寬松但貸款利率更高的貸款，這就是次級貸款。具體而言，次級貸款即為發(fā)放給信用評分在500～620貸款人的住房抵押貸款。次級貸款的特點：發(fā)放貸款時不考慮借貸人的財務狀況；首付很低或者沒有首付；初始還貸利率很低；蘊涵著巨大的違約風險，歷史違約率遠遠大于優(yōu)先級和Alt-A級貸款。以前次級貸款人是不能獲得信用貸款的。2001年以后，美國房價上漲速度加快，形成房價持續(xù)上漲預期，各類房地產(chǎn)金融機構為了獲取更高利潤，在滿足優(yōu)質客戶的信貸需求以后，開發(fā)面向次級貸款人、利率水平相對較高的次級貸款。從2001～2006年，美國抵押貸款增長30%，次貸增長200%。

根據(jù)Inside Mortgage Finance2007年報告顯示，2001年到2006年間，次級貸款占按揭貸款的比重直線上升，由2001年的9%上升到2006年的23.8%。次貸風險得以放大并貫穿整個金融系統(tǒng)的載體是基于次貸的衍生產(chǎn)品，這些衍生產(chǎn)品的高收益是促進次貸膨脹的主要原因之一。據(jù)IMF統(tǒng)計顯示，從2001年到2005年，全球信用衍生品市場呈現(xiàn)爆發(fā)式增長，截至2005年，全球信用衍生品市場規(guī)模達到17萬億美元，2006年這一數(shù)字達到35萬億美元，與全球GDP總額大致相當。

在這些衍生品繁榮的過程中，金融數(shù)學是衍生品發(fā)展的理論基礎。衍生品的交易需要有價格作為交易的基礎，與普通商品不同，衍生品看不見摸不到的特性使得衍生品的價格確定無法通過人為簡單判斷估計確定。在20世紀，隨著金融數(shù)學作為一個獨立的學科分支出現(xiàn)，特別是BS期權定價公式出現(xiàn)后，金融家們發(fā)現(xiàn)金融數(shù)學模型可以為衍生品的定價工作提供支持，實踐效果也可以接受。隨著金融衍生品的發(fā)展和繁榮，衍生品的結構越來越復雜，金融數(shù)學的工具也應用得越來越廣泛。2006年以前，利用金融數(shù)學模型為衍生品定價的方法已經(jīng)被普遍采用，金融數(shù)學專家也被業(yè)界和學術界視為天之嬌子。但是由于衍生品的大量使用是這次次貸危機主要原因之一，次貸危機發(fā)生后，社會上有一種觀點認為，復雜的金融數(shù)學模型是華爾街金融大鱷們忽悠民眾、貪婪掘金的“幫兇”。本文在簡述次貸衍生產(chǎn)品在危機中的作用之后，對次貸衍生產(chǎn)品的基本定價模型進行考察，分析這些模型運用失當之處，并討論如何正確認識金融數(shù)學的作用。

二、衍生產(chǎn)品在次貸危機中的作用

這次次貸危機影響范圍廣，傳導鏈條長，具體過程大致概括如下。首先，購房者與放貸機構簽訂貸款合同，放貸機構為購房者提供住房貸款，購房者按期償還貸款。這種類型的貸款相當于放貸機構持有了購房者的債權，而這種債權有購房者停止償還貸款的信用風險，所以放貸機構不愿單獨承擔此類風險而希望把風險轉移出去。于是放貸機構與房利美，房地美和抵押貸款公司或銀行達成協(xié)議，放貸機構將購房者的貸款出售給上述機構。類似的，上述機構也不愿意獨自承擔所有風險，于是購房者的貸款又以MBS的形式打包出售給投資銀行，投資銀行再將這些產(chǎn)品進一步采用CDO打包出售給保險機構和對沖基金等投資者。最后投資者之間會簽訂CDS等協(xié)議進行風險轉移。在這個金融創(chuàng)新鏈條上，牽涉到了商業(yè)銀行、抵押貸款公司、投資銀行、保險機構、對沖基金等金融機構，所以在這次次貸危機中，上述金融機構都受到了不同程度的影響。

具體而言，這次次貸危機涉及的衍生產(chǎn)品主要有MBS、CDO、CDS三類。MBS(抵押貸款支持證券，即Mortgage backed security)：是將若干抵押貸款組成資產(chǎn)池,在其還本付息所產(chǎn)生的現(xiàn)金流基礎上發(fā)行的證券。MBS的金融原理第一是“打包”；第二是“分級”，即排定一個優(yōu)先償付順序；第三是“升級”，通過保險公司提供保險等多種手段，實現(xiàn)信用升級。

CDO(抵押債務債券，即Collateralized Debt Obligation)，是將若干固定收益資產(chǎn)(MBS)再次打包，重新分配現(xiàn)金流償付的優(yōu)先次序，再劃分出高層、夾層、權益層等不同層次的債券。CDO的發(fā)行人(通常是投資銀行)經(jīng)過優(yōu)先償付分級、信用升級等手段，保證高層債券從評級公司獲得AAA/Aaa評級。危機前的CDO呈現(xiàn)出兩個特點：一是高風險的次級抵押貸款經(jīng)過層層包裝后，大部分進入CDO的高層和夾層，打上了投資級甚至AAA/Aaa評級的標簽；二是CDO的年回報率大致為300%，高于同等評級的傳統(tǒng)證券，出現(xiàn)了“同風險，不同收益”怪現(xiàn)象。馬克思有句名言，“有300%的利潤，資本就敢犯任何罪行，甚至冒絞首的危險”。CDO的高回報率，使得投資機構對CDO產(chǎn)品趨之若鶩，進而創(chuàng)造出CDO2、CDO3乃至CDOn等更多名目的衍生品種,并進一步推動了對次級抵押貸款及其證券化產(chǎn)品的需求。

CDS(信用違約掉期，即Credit Default Swap)：信用違約掉期不局限于對一個實際的違約事件進行補償，它在交易條款中包含信用等級降低這樣的事件。在一個違約掉期交易中，風險保護的賣方將獲得買方提前支付或分期支付的一定費用作為回報，當信用資產(chǎn)的所有者違約或信用級別降低時，補償買方因此而承受的損失。在市場處于上升期的階段里，CDS的賣方坐收無成本的現(xiàn)金流收益，而CDS買方信用產(chǎn)品的信用等級得到很大的提高，使得這些原本風險很大的產(chǎn)品進入投資級。在次貸危機之前，由于美國房地產(chǎn)市場的一路上揚，CDS買賣雙方都從中獲利，CDS得到蓬勃發(fā)展，全球CDS存量從2004年的6萬4千億美元，激增到2007年57萬9千億美元。CDS的激增也推動了次級貸款、MBS、CDO的大幅增加。

三、次貸衍生產(chǎn)品定價模型與運用失當

目前，信用衍生產(chǎn)品定價主要分為兩大類，結構性模型(Structural Model)和簡約模型(Reduced-Form Model)。結構性模型由Merton首先提出。模型主要假設為公司資產(chǎn)服從對數(shù)正態(tài)分布，當公司資產(chǎn)低于某門檻時，即發(fā)生違約，結構模型從描述信用產(chǎn)品發(fā)行人本身的資本結構入手，假定違約事件是由公司內部因素造成的。簡約模型是由Jarrow等人所提出，其主要模型假設為違約是隨機發(fā)生的，且服從隨機跳躍過程。簡約模型著眼于違約或信用評級變動等事件發(fā)生的概率，并將它與市場可觀測的信用利差聯(lián)系起來，而不深究造成違約的原因。目前，多個資產(chǎn)間的違約相關性模型幾乎都是建立在這兩個模型之上，當前國際上流行的CDO定價方法主要是建立在簡約模型的基礎之上。

CDO的構造是相當復雜的，要準確理解CDO并不容易，而要對不同等級的CDO證券進行評級和定價自然就更加困難了。

CDS是部分融資合成型CDO得以構建的基礎，而CDO證券的持有者能否按期收回本金與利息，首先也取決于CDS是否違約。在次貸危機爆發(fā)后，由于很多次級抵押貸款債權(參照實體)出現(xiàn)違約，很多超優(yōu)先級投資者因為支付不起巨額的CDS賠償金而瀕臨破產(chǎn)，由于不能收到超優(yōu)先級投資者的賠付，發(fā)起人也不再向SPV 支付CDS保費，這就導致CDO證券出現(xiàn)違約，最終造成持有者CDO證券的投資者蒙受虧損。

因此，對合成型CDO的定價，首先也取決于對CDS如何定價。如何對CDS和CDO進行定價，依然是當前國際主流金融學雜志探討的熱點問題。

首先分析CDS的定價。根據(jù)資產(chǎn)定價理論，任何金融產(chǎn)品的市場價值都等于一系列未來現(xiàn)金流的折現(xiàn)價值。一份CDS合同通常面臨兩種現(xiàn)金流，一種是固定的保費支出(a fixed premium)，另一種是可能發(fā)生的賠償收入(a contingent payment)。CDS的定價實質上是設定CDS的息差(保費費率)，而息差設定的標準是使得保費支出的現(xiàn)值等于賠償收入的現(xiàn)值，即CDS 交易的凈現(xiàn)值應該等于零。

在計算CDS價格時，最重要的兩個參數(shù)P(0,t)和Q(t)需要通過歷史數(shù)據(jù)模擬計算得到。舉例而言，一種簡化的方法是假設利率和違約概率服從一定的隨機過程。例如對利率而言，可以假設利率滿足如下的隨機微分方程。

drt=a(b-rt)dt+σdzt

通過歷史數(shù)據(jù)分析，可以計算得到相關參數(shù)，然后利用這種模型趨勢可以預測未來利率走勢，再進一步通過利率和零息債券的價格關系可以計算得到未來零息債券的價格走勢p(0,t)。對違約事件而言，可以假設違約事件服從以h(t)為密度的Possion分布，h(t)滿足如下關系

dIn(ht)=a(b-In(ht))dt+σdzt

相應的Q(h,t)可以通過如下模型計算得到

此次次貸危機涉及的另一種衍生品是CDO。在CDO的定價過程中有四個關鍵要素，分別是每個借款人的違約概率(Probability of Default，PD)、每筆債權的名義價值(Notional Value，NV)、每筆債權的回收率(Recovery Rate，RR)，以及借款人之間的違約相關性(Default Correlation)。前三個因素決定了特定借款人的違約風險可能造成的損失，即PD×NV×(1-RR)。而違約相關性假定則決定了在同一個時點，CDO信用資產(chǎn)池中的所有資產(chǎn)發(fā)生違約的概率是多少，從而得出損失的潛在分布(Potential Loss Distribution)。單個借款人的違約概率和回收率可以從該借款人的信用評級(即歷史數(shù)據(jù))中獲得，每筆債券的名義價值不言自明，因此，在CDO的定價過程中，最為關鍵的是如何對借款人的違約相關性作出假定。

對CDO的定價常用的方法有蒙特卡羅模擬法、因子Copula模型法和靜態(tài)價差法，目前，因子Copula 模型法已經(jīng)成為國際上通行的CDO定價方法。本文主要介紹這種方法。

首先計算單個資產(chǎn)的違約概率。假設資產(chǎn)是否違約取決于該資產(chǎn)在特定時期(0,T)內的資產(chǎn)收益率。當資產(chǎn)收益率低于一定的閾值時，認為資產(chǎn)在T時之前已經(jīng)違約。

資產(chǎn)的收益率受兩部分因素的影響，一部分是系統(tǒng)因子，一部分是異質因子。系統(tǒng)因子部分反映了系統(tǒng)風險，也就是市場整體對資產(chǎn)回報率的影響，而異質因子則反映的是影響資產(chǎn)收益率回報的個別因素。一般假設系統(tǒng)因子和異質因子是隨機的，而且服從正態(tài)分布(也可以是其他分布，如t分布)。

那么資產(chǎn)收益率可以用單因子的高斯Copula表示成：

這里，X與Yi均服從N(0,1)分布，而且兩者相互獨立，資產(chǎn)i與資產(chǎn)j之間的相關系數(shù)為ρiρj，于是在系統(tǒng)因子X確定的情況下，資產(chǎn)i的違約概率可以表示成：

再計算資產(chǎn)池的違約概率。假設資產(chǎn)組合中的所有資產(chǎn)均是同質資產(chǎn)，因此所有資產(chǎn)收益率與市場的相關性應該相等，假設為ρ，所有的違約閥值均為c,于是所有資產(chǎn)的條件違約概率為：

假設資產(chǎn)組合中有N個資產(chǎn)，如果有n個資產(chǎn)違約，則資產(chǎn)組合的違約損失率為：

由于上式是條件概率，對(4)式進行積分，則對所有的宏觀情況有：

很顯然P(n個違約)=P(L=L(n))。

對上式進行操作時，只需要知道相關系數(shù)與違約的閥值即可。

一般來說，對違約閥值c，由于假設系統(tǒng)因子X和異質因子Y均服從正態(tài)分布，那么資產(chǎn)回報率R也服從正態(tài)分布，假設單個資產(chǎn)的違約概率為p，則違約的閥值為c=N-1(p)，因此求違約閥值即求違約概率p。因此關鍵在于違約概率和違約相關系數(shù)的確定。

接下來就可以為CDO的定價。以最常見的CDO為例，假設CDO某層債券吸收整個資產(chǎn)池Q1到Q2比率的損失，于是當組合的損失率為L時，(Q1,Q2)層債券遭受的損失為:Loss(Q1,Q2)(LGD)=max {min (LGD(n),Q2)-Q1,0}，一般來說，如果知道了資產(chǎn)組合整體的損失率分布，就可以計算出(Q1,Q2)層債券的預期損失率為：

對于CDS 產(chǎn)品來說，投資者在投資信用產(chǎn)品時承受了信用風險，當然也要相應的風險溢價作為補償，該補償就是信用互換買方向賣方定期支付的利差。對CDO產(chǎn)品來說，投資者一方面承受來自資產(chǎn)池違約帶來的違約損失，一方面也獲得較一般債券更高的收益率作為補償。在風險中性條件下，只有利差收益的補償能彌補預期損失，投資者才有動力進行CDS或CDO產(chǎn)品的投資。即：預期違約損失=信用利差收益。

對無本金交割的CDO產(chǎn)品，假設CDO某層債券吸收整個資產(chǎn)池Q1到Q2比率的損失，那么對于該層債券信用利差收益將是未來預期信用利差的現(xiàn)值。

預期違約損失通過下式計算如下：

這里，0<=t0<…

因此根據(jù)無套利原理得到所求的信用價差：

在現(xiàn)實中，當CDO到期時如果存在本金支付時，CDO各檔的債券價格可以表示為：

這里V(Q1,Q2)(0)表示債券價格，coupon為要求的票面利率。

從CDS和CDO的定價角度分析，上述定價方法主要有如下幾個問題。

1.在對CDS和CDO進行定價時，通常假設貸款者有能力償還貸款，從而有穩(wěn)定的現(xiàn)金流，這是定價的基礎，而真實情況是美國房地產(chǎn)市場的價格突然非預期的下跌，造成了大量信用違約事件。2000年到2006年的六年間，美國房地產(chǎn)市場持續(xù)繁榮，房價指數(shù)保持在10%的增長率，現(xiàn)房銷售基本保持正增長，特別在2004至2006年間，現(xiàn)房銷售同比增長率在10%附近浮動，一度曾超過20%的增長率。然而從2006年開始，美國房地產(chǎn)一路下跌，房價指數(shù)同比增長從15%的增長高位連續(xù)下跌到-10%附近。目前對違約概率和違約損失的估計有相似案例搜索，回歸和模擬等方法，無論采用哪種方法，如果采用06年以前的數(shù)據(jù)構建模型對未來預測，由于06年以前的數(shù)據(jù)都在10%以上，模型無法計算出目前房地產(chǎn)市場的負增長狀況，從而造成了模型對未來違約估計失效的情況。進一步，模型對違約相關參數(shù)的嚴重估計偏差將影響信用違約互換產(chǎn)品的定價，造成模型定價偏誤。

2.在對CDS和CDO進行定價時，對折現(xiàn)因子的計算需要用到未來的利率，這種利率通常是通過歷史數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型計算得到，無法將影響利率的重要因素，例如未來宏觀調控方向和力度等完全涵蓋。從2004年6月30日到2006年6月29日，美聯(lián)儲連續(xù)加息17次，聯(lián)邦基礎利率從40年來的最低點1.25%上升至5.25%。模型在歷史利率持續(xù)走低的情況下，很難預測得到這種持續(xù)上揚的情況，造成模型定價偏誤。

3.CDO有一個重要參數(shù)是違約相關性，目前模型對違約相關性的處理是利用歷史數(shù)據(jù)計算，但事實上違約相關性隨市場環(huán)境等不斷變化，歷史信息無法反映所有情況，當市場出現(xiàn)逆轉時，歷史的違約相關性與實際違約相關性存在著重大的偏差，導致定價存在一定偏誤。

4.從上面CDO和CDS的定價模型可以看到，模型中參數(shù)都是以其當前標底資產(chǎn)的屬性作為輸入?yún)?shù)，而卷入危機的很大一部分衍生產(chǎn)品的標底資產(chǎn)本身又是衍生產(chǎn)品。市場參與者由于無法掌握再上一層標底資產(chǎn)的狀況，無法對它們的屬性(例如違約率、違約損失率)直接進行估計，只能在一定的假設之下根據(jù)市場交易的信用價差來估計這些參數(shù)，而這種市場交易的信息價差只能反應對應層次市場參與者的判斷，不能反應該衍生產(chǎn)品所包含的完整信息。隨著衍生鏈條的加長，這種參數(shù)估計的偏差會越來越大。

5.市場參與者對于衍生鏈條上各層次衍生產(chǎn)品信息價差的判斷，主要依據(jù)相應衍生產(chǎn)產(chǎn)品的信用評級。一方面如上述而言，由于對違約率、違約損失率的估計不準確，評級機構對于衍生產(chǎn)品的信用評級難以準確；另一方面，評級結果是由人決定的，由于評級機構不受監(jiān)管，評級機構與被評級機構的利益相一致，于是就造成評級結果的高估，次貸擔保債券的90%被授予AAA級，而美國非金融企業(yè)發(fā)行的證券中只有很小很小的比例能得到AAA級，出現(xiàn)了次級債務擔保的風險和財務最健全的公司債券的風險處于同一等級這種明顯不合理的現(xiàn)象。而這些卻不是金融數(shù)學模型能夠控制的。

6.上述模型只考慮了信用風險，而實際中的流動性因素沒有被充分考慮。事實上，CDO產(chǎn)品是一種高度個性化的產(chǎn)品，一般被設計用來滿足某個機構的需求，CDO大多數(shù)只被設計給“買入持有”型的投資者，比如養(yǎng)老基金，保險公司等機構。這些機構正是看準了這種產(chǎn)品的高收益與高信用評級的特征，而低的流動性意味著，一旦這些機構在CDO火爆的時候持有了過多的CDO，以后脫手將十分困難，市場參與者的同質性又使CDO的流動性進一步降低。 因此當實體經(jīng)濟的還款拖欠也就是信用風險被CDO放大過后，CDO的價值會急劇縮水，流動性幾乎喪失殆盡，隨后，信用衍生品市場開始動蕩，而這反過來影響投資者的信心，導致投資者對風險進行重估，危機開始蔓延，投資者開始千方百計的拒絕任何高風險的固定收益品種，致使許多信貸行的對沖基金價值縮水，而這進一步加重了投資者的憂慮，引發(fā)新一輪的風險重估。

四、對金融數(shù)學發(fā)展及金融數(shù)學應用的啟示

金融數(shù)學的運用失當，在某種意義上而言，對這次次貸危機起到了一定的推波助瀾的作用。盡管相對于造成次貸危機的其他眾多因素，金融數(shù)學的作用可能是最小的，但這促使我們去思考金融數(shù)學的未來發(fā)展。

首先，人類有史以來，數(shù)學的主要應用領域是物理和工程。數(shù)學對物理與工程中問題的描述相當成熟，從天體運行到微觀粒子，從航天飛機到三峽大壩，數(shù)學已成為人類認識自然改造自然最有力的工具。但是利用數(shù)學對人類社會活動的描述，特別是金融數(shù)學，如果從BS期權定價公式開始算起，只是短短三十多年的時間。自然界的歷史悠久，幾十億年的演化，其運動規(guī)律比較穩(wěn)定，因此其數(shù)學描述也有一定的穩(wěn)定性。然而人類整個歷史不過上百萬年，人類文明史不過幾千年，人類市場經(jīng)濟歷史不過幾百年，人類的衍生品交易歷史不過幾十年，現(xiàn)代金融還處在快速演化之中，而致力于衍生產(chǎn)品定價的金融數(shù)學還只是這演化中的一部分。因此金融數(shù)學在衍生產(chǎn)品定價上出現(xiàn)偏差是再正常不過的。金融數(shù)學不是發(fā)展過度，恰恰是發(fā)展不足。次貸危機帶給我們的啟示之一是需要大力發(fā)展金融數(shù)學。

其次，要認識到金融數(shù)學的局限性。不僅要認識到金融數(shù)學本身發(fā)展階段的局限性，認識到它還不能像工程數(shù)學解決工程問題那樣可靠地解決金融問題，而且要認識到現(xiàn)在的金融數(shù)學模型本身并非萬能的局限性。衍生品定價中的金融數(shù)學模型是在已有信息集下采用某種方法對未來未知的情況做出判斷。這里有兩個關鍵因素，第一是信息集；第二是采用的方法。對于信息集而言，無論如何努力搜集整理信息，信息總是不完全的，特別是未來的信息，總是我們無法掌握的，即無法得到足夠充分的信息將所有的未知轉化為已知。這種信息的不完全性決定了模型對未知的估計總會存在偏誤。第二，采用的方法上，沒有絕對萬能的模型和方法，每一種方法都有其自身的嚴格假設和前提，當環(huán)境變化，這些假設和前提條件不再成立時，方法和模型也就出現(xiàn)了問題。

再次，如同數(shù)學可以精確地計算運載火箭的軌道，但不能決定運載火箭何時發(fā)射、目標是哪里、是裝載核彈頭還是裝載氣象衛(wèi)星一樣，金融數(shù)學模型也不能決定模型的具體運用是為了提高整個社會所有成員的福利，還是被用來謀取少數(shù)人眼前的利益。金融危機的產(chǎn)生一方面存在著其歷史必然性，另一方面也緣自人類自身的貪婪行為?？梢詳嘌?，無論金融數(shù)學如何發(fā)展，都不可能杜絕金融危機的發(fā)生。金融數(shù)學是人類認識問題和分析問題的一種工具，它拓展了人類智慧，推動著人類社會的總體進步；金融數(shù)學的發(fā)展不會因為這次危機而停步，今后有更加廣闊的空間和更好的發(fā)展前景。

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