仇利克 趙 靜 趙揚(yáng)帆

摘要:“離散數(shù)學(xué)”是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課程,學(xué)好該課程對(duì)于學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)專業(yè)的其他課程以及培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和解決問(wèn)題的能力十分重要。本文闡述如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣,強(qiáng)調(diào)了離散數(shù)學(xué)理論應(yīng)該與計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用相結(jié)合,并從多方面對(duì)離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改進(jìn)進(jìn)行分析和探討。

關(guān)鍵詞:離散數(shù)學(xué);教學(xué)方法;計(jì)算機(jī)

中圖分類號(hào):G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

“離散數(shù)學(xué)”作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課,在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它提供了許多計(jì)算機(jī)專業(yè)課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),這些課程包括數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法與分析、數(shù)據(jù)庫(kù)理論、自動(dòng)化理論和操作系統(tǒng)等。學(xué)好離散數(shù)學(xué),一方面可以為后續(xù)的課程打下基礎(chǔ);另一方面,通過(guò)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué),可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力,提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,為今后的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但由于該課程具有概念多、理論性強(qiáng)、高度抽象、枯燥等特點(diǎn),致使在教學(xué)中出現(xiàn)很多問(wèn)題。比如,學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高,學(xué)生單一的把該課程看作是一門(mén)與計(jì)算機(jī)毫無(wú)關(guān)系的數(shù)學(xué)課程來(lái)學(xué),對(duì)該課程在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的作用認(rèn)識(shí)模糊等,導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。因此,激發(fā)學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣,改進(jìn)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法是十分必要的。

1培養(yǎng)學(xué)生的興趣

在任何一門(mén)課程的講授中,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣都是非常重要的。

為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣,在教學(xué)中要特別注重前幾堂課的教學(xué),尤其是第一堂課,不能直接進(jìn)入離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)學(xué)習(xí),而是要通過(guò)一些實(shí)例來(lái)說(shuō)明離散數(shù)學(xué)的用處,如“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”、“四色問(wèn)題”等。通過(guò)前幾堂課的教學(xué),讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)其他課程之間的密切關(guān)系,從而從思想的高度認(rèn)識(shí)此門(mén)課程的關(guān)鍵性。

當(dāng)然,教師課堂教學(xué)的藝術(shù)性與感染力也是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的重要方面。因?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程的地位和作用認(rèn)識(shí)不足,學(xué)習(xí)興趣沒(méi)有學(xué)習(xí)與編程語(yǔ)言相關(guān)的課程那么高漲,上課容易走神,從而導(dǎo)致最終的考試結(jié)果不理想。教師除了對(duì)這門(mén)課程內(nèi)容要熟練掌握外,還要提高自己的教學(xué)藝術(shù)水平,正確運(yùn)用多種手段來(lái)吸引學(xué)生的注意力,充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,駕馭好課堂時(shí)間,增強(qiáng)課堂教學(xué)的藝術(shù)性和感染力,也可適當(dāng)制作一些動(dòng)畫(huà)和圖形避免視覺(jué)疲勞,達(dá)到讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)這門(mén)課程的目的。

2注重離散數(shù)學(xué)理論與它在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用相結(jié)合

在“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)過(guò)程中,我們應(yīng)該理論聯(lián)系實(shí)際,注重它在計(jì)算機(jī)學(xué)科中的應(yīng)用,來(lái)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和對(duì)該課程的重視。

數(shù)理邏輯是所有數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ),在人工智能、程序理論和數(shù)據(jù)庫(kù)理論等的研究中有著實(shí)際的應(yīng)用,如專家系統(tǒng)、機(jī)器人等都離不開(kāi)數(shù)理邏輯。集合論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用,它為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法分析奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ),如在軟件工程和數(shù)據(jù)庫(kù)中也會(huì)用到。抽象代數(shù)是關(guān)于運(yùn)算或計(jì)算規(guī)則的學(xué)科,在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用,如形式語(yǔ)言與自動(dòng)機(jī)、密碼學(xué)、網(wǎng)絡(luò)與通信理論、程序理論和形式語(yǔ)義學(xué)等方面都要用到代數(shù)結(jié)構(gòu)的知識(shí),其中格與布爾代數(shù)在通信系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用。圖論在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中都有廣泛的應(yīng)用,如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的圖和樹(shù)都是以圖論為基礎(chǔ),網(wǎng)絡(luò)中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都是用圖來(lái)表示。

通過(guò)這種關(guān)聯(lián),并對(duì)適當(dāng)?shù)闹R(shí)點(diǎn)舉例說(shuō)明來(lái)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,還應(yīng)隨時(shí)介紹所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用背景和發(fā)展方向,使學(xué)生能夠感受到學(xué)習(xí)這門(mén)課程的必要性,調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

3注重課堂教學(xué)方法的改進(jìn)

3.1找到結(jié)構(gòu),克服“散”

在離散數(shù)學(xué)中,概念多、理論性強(qiáng)、知識(shí)點(diǎn)散,抓不住重、難點(diǎn),老師講起來(lái)費(fèi)勁,學(xué)生聽(tīng)起來(lái)吃力。因此,每節(jié)課的內(nèi)容都要有一條主線,選擇本節(jié)課要講的知識(shí)點(diǎn),用一條線將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)。以命題邏輯為例,可以這樣把各知識(shí)點(diǎn)串起來(lái),如圖1所示:

每個(gè)知識(shí)單元完成后加以總結(jié),講出知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu),達(dá)到系統(tǒng)掌握命題邏輯知識(shí)的目的。

3.2有取有舍,克服“滿”

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容太多,若課時(shí)有限,那我們要有取有舍,可以選擇其中的60%～70%的內(nèi)容進(jìn)行講授,其余留給學(xué)生閱讀思考或布置作業(yè),這樣不僅可以鍛煉學(xué)生的自學(xué)能力,還節(jié)省了課堂時(shí)間。這就要求我們課堂上一定要把內(nèi)容講透,不能蜻蜓點(diǎn)水,除了要講解基礎(chǔ)性知識(shí)和本節(jié)的重難點(diǎn)外,還要著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)科方法的運(yùn)用以及解決問(wèn)題的思路,知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)也要交代清楚。而對(duì)于一些類似的方法或例子、推廣的結(jié)果、能夠自學(xué)的知識(shí)和某些繁瑣的推導(dǎo)要舍得放棄。

例如在講解代數(shù)結(jié)構(gòu)這一部分時(shí),代數(shù)系統(tǒng)、群要重點(diǎn)講授,這是后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ),環(huán)、域和格可以簡(jiǎn)單講授,課時(shí)少的話可以只把概念講授清楚,獨(dú)異點(diǎn)等可以留給學(xué)生課下閱讀和學(xué)習(xí)。再如組合數(shù)學(xué)部分,基本的組合計(jì)數(shù)、遞推方程與生成函數(shù)、容斥原理重點(diǎn)講授,鴿巢原理、Ramsey定理、Polya定理等簡(jiǎn)單講授,推廣的容斥原理、Ramsey定理的應(yīng)用、帶權(quán)的Polya定理留給學(xué)生閱讀。

掌握好取舍關(guān)系,才能讓學(xué)生把握離散數(shù)學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn),而不至于偏離方向,不至于喪失學(xué)習(xí)的信心。

3.3掌握節(jié)奏,克服“快”

離散數(shù)學(xué)概念多,理論性強(qiáng),學(xué)生上課容易走神,開(kāi)小差,因此課堂上一定要掌握好節(jié)奏,給學(xué)生喘息和思考的時(shí)間,這就要求我們?cè)诎才艑W(xué)時(shí)時(shí)要留有一定的余地。課堂上,對(duì)不同內(nèi)容的講解要穿插進(jìn)行,有張有弛,如概念、定理與應(yīng)用實(shí)例可以結(jié)合起來(lái)講解,便于學(xué)生理解,也可以適當(dāng)穿插一些解題方法的分析等,也可以在課堂上通過(guò)提出一些思考題來(lái)放慢節(jié)奏,或者是介紹一些歷史背景、相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的新進(jìn)展等。采用適度“慢”策略,是在強(qiáng)調(diào)教師的教學(xué)目的和方法的同時(shí),更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的獨(dú)立思考和綜合判斷能力,因?yàn)閷W(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體,教學(xué)活動(dòng)的中心。

3.4啟迪思路,克服“灌”

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中,我們要克服“灌”的教學(xué)習(xí)慣,采用啟發(fā)式教學(xué)。啟發(fā)是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂,因?yàn)闅w根結(jié)底數(shù)學(xué)是人類一種高度的精神活動(dòng)。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯朗(R?Courant)在《數(shù)學(xué)是什么》一書(shū)中指出,“數(shù)學(xué),作為人類思維的表達(dá)形式,反映了人們積極進(jìn)取的意志,縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求。它的基本要求是:邏輯和直觀,分析和構(gòu)造,一般性與個(gè)別性。雖然不同傳統(tǒng)可以強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面,然而這些互相對(duì)立的力量的相互作用以及它們綜合起來(lái)的努力才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、用途和高價(jià)值?！币蚨鴶?shù)學(xué)教學(xué)決不能只告訴學(xué)生現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論,或讓他們死記公式定理法則,然而要在很短的時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生理解某些數(shù)學(xué)理論及邏輯是非常困難的,必須采用啟發(fā)式教學(xué),讓學(xué)生運(yùn)用自己的智力認(rèn)真思考,這就對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了新的要求,其精髓在于“提出問(wèn)題→講解方法→推廣應(yīng)用”。首先我們通過(guò)列舉實(shí)例提出問(wèn)題;然后講解解決此問(wèn)題的思路,即建模(利用離散數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的方法和理論來(lái)求解);再通過(guò)典型實(shí)例細(xì)述此方法和理論在實(shí)際中的應(yīng)用;最后總結(jié)此方法和理論適用的條件及一般化推廣。

如在講“有窮集的計(jì)數(shù)”這一小節(jié)中,我們可以通過(guò)列舉實(shí)例來(lái)提出問(wèn)題,例:求1到1000之間(包含1和1000在內(nèi))既不能被5和6,也不能被8整除的數(shù)有多少個(gè)?我們可以利用“文氏圖法”和“包含排斥原理”兩種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題,首先可以通過(guò)講解如何利用“文氏圖法”來(lái)解決此問(wèn)題的思路,為后面引出“包含排斥原理”做好鋪墊;接著可以引出“包含排斥原理”,并講解用此原理如何解決上面的問(wèn)題;最后,總結(jié)一下“包含排斥原理”的適用條件以及它的推論。

再如在講解圖論時(shí),我們可以模擬哥尼斯堡七橋問(wèn)題的實(shí)景,通過(guò)場(chǎng)景描述對(duì)比,讓學(xué)生明白七橋問(wèn)題跟橋的長(zhǎng)短、島的大小無(wú)關(guān),從而抽象到歐拉圖問(wèn)題,這也就是圖論知識(shí)的起源,同樣的方法可以應(yīng)用到哈密爾頓圖等問(wèn)題的討論。

通過(guò)這種啟發(fā)式教學(xué),讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有直觀的了解,然后再引導(dǎo)學(xué)生自己列舉類似問(wèn)題,進(jìn)一步加深對(duì)有關(guān)定義、定理以及推論的理解,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的雙重目的。

3.5適時(shí)地給學(xué)生總結(jié)

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容多而雜,課時(shí)少。講課時(shí),授重點(diǎn)解難點(diǎn),對(duì)于易懂的內(nèi)容可以一帶而過(guò)或者留作課下自學(xué)。除此之外,課堂小結(jié)是一項(xiàng)非常重要的教學(xué)技巧與授業(yè)解惑利器。鑒于離散數(shù)學(xué)的抽象性與復(fù)雜性,學(xué)生課上容易走神,如果上堂課沒(méi)聽(tīng)好則必然會(huì)影響下堂課的聽(tīng)課興趣和聽(tīng)課質(zhì)量,因此,進(jìn)行課堂小結(jié)是必要的,起著承上啟下的作用。

每次課的最后留下5分鐘左右,對(duì)本次課所講的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié),尤其是重點(diǎn)內(nèi)容。每次課開(kāi)始時(shí)對(duì)上次課講的內(nèi)容進(jìn)行回顧;每章講完后適當(dāng)進(jìn)行小結(jié),總結(jié)前后各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián),以及應(yīng)該掌握的知識(shí)點(diǎn),給學(xué)生們一個(gè)總體印象,這樣有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握及自我能力的提高,更重要的是給學(xué)生足夠的信心來(lái)學(xué)習(xí)這門(mén)課程,而不至于陷于越學(xué)越聽(tīng)不懂,越聽(tīng)不懂越不想學(xué)的惡性循環(huán)。

4結(jié)語(yǔ)

由于在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中很多地方都采用了離散數(shù)學(xué)的概念思想和方法,因此離散數(shù)學(xué)已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)學(xué)生必須掌握的理論基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)工具。本文從計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的角度論述怎樣激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性及學(xué)習(xí)興趣,注重與計(jì)算機(jī)學(xué)科的結(jié)合及注重課堂教學(xué)方法的改進(jìn)等方面探討了“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)方法的改進(jìn)。

為了提高這門(mén)課程的教學(xué)效果,還可以研究怎樣更好地利用多媒體創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境,提高課堂效果,以及如何在該門(mén)課程中引入實(shí)踐課,讓學(xué)生能將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐,提高他們的創(chuàng)新精神。我們還可研究怎樣建立該課程的教學(xué)網(wǎng)站,補(bǔ)充、整合離散數(shù)學(xué)的教學(xué)資源及網(wǎng)上答疑和討論,方便學(xué)生課外進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn):

[1] Rosen K H. 離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M]. 袁崇義,屈婉玲,譯. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002.

[2] 王元元,張桂蕓. 離散數(shù)學(xué)導(dǎo)論[M]. 北京:科學(xué)出版社,2002.

[3] 屈婉玲,耿素云,張立昂. 離散數(shù)學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,2008

Analysis of Computer Science and Technology of “Discrete Mathematics” to Improve Teaching Methods

QIU Li-ke, ZHAO Jing, ZHAO Yang-fan

(Qingdao College, Ocean University of China, Qindao 266300, China)

Abstract: The discrete mathematics is the computer science and the technical specialized compulsory specialized foundation curriculum. It is extremely important to learn this curriculum regarding to study the computer specialized other curricula as well as to raise the student abstract thinking ability and solves the question ability. This article elaborated how to trains the interest of the student to study the discrete mathematics, emphasized the discrete mathematics theory should unify with the computer in application, and has carried on the analysis and the discussion from the multi-aspects to the discrete mathematics teaching method improvement.

Key words: Discrete Mathematics; teaching method; computer