【摘要】極限是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它從數(shù)量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢。極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中應(yīng)該占有一席之地，本論文希望通過對高中生極限概念的認知學(xué)習(xí)研究，了解高中生對極限的認知狀況，為實際教學(xué)中如何有針對性的幫助學(xué)生建立正確的極限概念和培養(yǎng)學(xué)生的極限思想提供參考。

【關(guān)鍵詞】極限思想方法;中學(xué)數(shù)學(xué);認知

【中圖號】G642【文獻標(biāo)示碼】A【文章編號】1005-1074(2009)01-0093-01

1現(xiàn)行高中教材中所給出的極限思想方法特征

“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”是《新課標(biāo)》所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課程的一個基本理念。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返樸歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。其后關(guān)于微積分課程的設(shè)計，《新課標(biāo)》的定位是用導(dǎo)數(shù)反映的變化率思想研究初等函數(shù)的性質(zhì)，其關(guān)鍵在于不以一般極限理論作為鋪墊，直接從變化率引入導(dǎo)數(shù)，當(dāng)需要極限時再直觀認識。避開形式化極限思想方法而突出變化率是《新課標(biāo)》微積分課程設(shè)計的核心，也是這次高中數(shù)學(xué)課程改革力度較大的地方之一，其目的在于降低形式化極限思想方法給學(xué)生帶來的學(xué)習(xí)困難。

2極限思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用策略

2.1介紹極限思想和其發(fā)展史，揭示知識的產(chǎn)生發(fā)展過程極限思想方法是高中教材中極限部分的基礎(chǔ)，也是后續(xù)內(nèi)容(微積分)的基礎(chǔ)。對高中生講極限，并不是大學(xué)極限內(nèi)容的簡單下放，而是重在講思想方法，讓學(xué)生掌握一個工具，為他們用更高的觀點、更一般的方法去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的一些問題做準(zhǔn)備。因此，在教授時，力求深入淺出，突出思想方法。

2.2采用“替代概念”，淡化概念的抽象性和嚴(yán)謹性由于高中學(xué)生比較難以嚴(yán)格地理解極限思想方法，所以定義要求比較淺易，但又要結(jié)合內(nèi)容讓學(xué)生體會其中的數(shù)學(xué)思想和方法。關(guān)于極限思想方法，在高中階段可以采取兩種方式：其一，不提及任何形式的定義，只是讓學(xué)生在具體實例中逐步體會其內(nèi)涵；其二，僅僅給出它的描述性定義。教材對極限思想方法是描述性的，即所謂的“替代概念”—一種符合高中生認知水平的、淺顯的、但是又蘊含了極限思想方法的概念形式，雖然對學(xué)生更深刻地理解極限思想方法有一定影響，但是，這樣大大降低了概念的認知難度，還可以通過這種對極限思想方法粗淺的認識，來學(xué)習(xí)極限的思想—我們認為是用一種無限的變化過程來研究有限的思想。建議教材在極限章節(jié)中可以適當(dāng)補充極限的應(yīng)用例子，例如，在講球體積和表面積公式的推導(dǎo)時，所用的“分割，求和，取極限”的方法正是極限的一個具體應(yīng)用。

2.3滲透極限思想方法于高中課程的始終，逐步消除錯誤概念極限思想的應(yīng)用實際上從小學(xué)數(shù)學(xué)中就有所體現(xiàn)，它滲透在整個中小學(xué)數(shù)學(xué)的始終，因此將極限的所有內(nèi)容集中安排在一個學(xué)期學(xué)習(xí)的做法不可取。

極限思想方法是一個特殊問題，那就是它與有限空間的思維發(fā)生沖突，教“三角形的中線交于一點”時，只要仔細作圖，學(xué)生就能從圖上并接受這一現(xiàn)實，但是教“0.9=1”時，教師就不能保證學(xué)生接受這一現(xiàn)實，這就需要留時間給學(xué)生更多的建構(gòu)和練習(xí)。

因此，對極限思想方法的學(xué)習(xí)和認知要做好循序漸進，在學(xué)生原有概念的基礎(chǔ)上引出新概念，在學(xué)習(xí)新概念的同時也逐步消除錯誤概念。

3極限思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用案例

3.1球的表面積公式《全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)》第二冊（下）第九章“直線、平面、簡單幾何體”中，對球的表面積公式進行了推導(dǎo)。

3.1.1分割把球O的表面分成n個小網(wǎng)格，設(shè)它們的表面積分別是Δs1，Δs2，……，Δsn，則球的表面積S=Δs1+Δs2+……+Δsn。把球心O和各小網(wǎng)格的頂點相連，則整個球體被分割成n個“小錐體”，每個“小錐體”的底面是球面的一部分。

3.1.2求近似和設(shè)n個“小錐體”的體積分別是Δv1，Δv2，……，Δvn則球的體積V=Δv1+Δv2+……+Δvn。當(dāng)每個網(wǎng)格都很小時，“小錐體”的底面接近平面形狀，“小錐體”接近小棱錐。設(shè)這些小錐體的高分別為h1，h2，……，hn，底面積分別為Δs1'，Δs2'，……，Δsn'，則V≈ 13（h1Δs1'+ h2Δs2'+……+hnΔsn'）。①

3.1.3化為準(zhǔn)確求和使分割無限加細，即無限變大，則“小錐體”無限接近小棱錐，小棱錐的高hi(i=1，2，3，……，n)都趨向于球的半徑R，小棱錐的底面積

Δsi'分別趨向于球面積的一部分Δsi'(i=1，2，3，……，n)。這時由①式有V=13（RΔs1'+ RΔs2'+……+RΔsn'）=13R（Δs1'+ Δs2'+……+Δsn'）=13RS②由②式及體積公式有43πR3=13RS∴S=4πR2

整個推導(dǎo)過程蘊涵著許多極限的知識和思想方法，只是針對學(xué)生的知識基礎(chǔ)和接受能力，沒有把極限的相關(guān)知識展現(xiàn)出來。

3.2雙曲線的漸近線在雙曲線的幾何性質(zhì)中，用探索的方式，“由學(xué)生自己動手用幾何畫板畫雙曲線x29-y24=1，在位于第一象限的曲線上畫一點M，測量點M的橫坐標(biāo)xm以及它到直線x3-y2=0的距離d，沿曲線向右上角拖動點M，觀察xm與d的大小關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生通過操作，直觀感受，在右上角拖動點

M時，xm（無限）增大，d逐漸減小，（無限）趨于零。也即雙曲線x29-y24=1在第一象限與直線x3-y2=0隨著xm的（無限）增大而無限接近，但永不相交?！狈抡丈厦娴淖鞣?，我們就可以得到雙曲線x29-y24=1在其他三個象限與直線x3±y2=0的接近情況。這樣雙曲線的圖像就更加規(guī)范，準(zhǔn)確，而且迅速。為解題提供了方便。也使我們利用有限的圖形了解到無限。下面給出利用極限的方法求雙曲線的漸近線方程。例1求雙曲線x225-y216=1的漸近線方程。解：雙曲線方程可化為：y=±45x2-25漸近線的斜率a=limx→∞f(x)x=limx→∞±x2-25x=±45在y軸上的截距b=limx→∞[f(x)-ax]=limx→∞±45(x2-25-x)=0故所求的漸近線方程為：y=±45x

4結(jié)論

由于目前學(xué)校教學(xué)一般都偏重程序技能和算法，而忽視了起重要作用的概念的理解。通過對極限思想方法的認知的研究，有助于我們更好地理解學(xué)生們在學(xué)習(xí)中面臨的困難，理解在解決其中某些困難時遇到的阻力、以及我們的教學(xué)實踐的局限和不足。

5參考文獻

[1]張燕.關(guān)于高等數(shù)學(xué)中極限求解的若干方法[J].石家莊法商職業(yè)學(xué)院教學(xué)與研究，2008，(01)

[2]樊紅云.極限論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].長春師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，(06)

[3]張興隆.高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限概念教學(xué)淺析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版)，2008，(04)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。