【摘要】級數(shù)理論是數(shù)學分析的重要組成部分，而正項級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題，要想解決正項級數(shù)的求和問題必須先解決正項級數(shù)收斂性判斷。正項級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，歸納總結正項級數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點，總結出一些典型的正項級數(shù)，根據(jù)不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用典型方法，才能事半功倍。

【關鍵詞】正項級數(shù);收斂;方法;比較

【中圖號】G642【文獻標示碼】A【文章編號】1005-1074(2009)01-0076-01

1判別方法的比較

當級數(shù)含有具體數(shù)字且可化為含參數(shù)的一般式、通項為等差、等比式或通項為含二項以上根式的四則運算且通項極限無法求出時，可以選用正項級數(shù)的充要條件進行判斷。如：

1＋12+13+…1n+…

取0＜ε0＜12，n，若令p=n

Sn+p-Sn=1n+1+1n+2+…+12n＞12n＋…12n＝12＞ε0，級數(shù)發(fā)散

當級數(shù)表達式型如1f(x)，f(x)為任意函數(shù)、級數(shù)一般項如含有sinθ或cosθ等三角函數(shù)的因子可以進行適當?shù)姆趴s，并與幾何級數(shù)、P級數(shù)、調(diào)和級數(shù)進行比較、limn→+∞un+1un、limn→∞nun不易算出或limn→+∞un+1un＝1、limn→∞nun=1等此類無法判斷級數(shù)收斂性或進行有關級數(shù)的證明問題時，應選用比較判別法。

當級數(shù)含有階層、n次冪，型如a!或an或分子、分母含多個因子連乘除時，選用比式判別法。當通項含(-1)n與f(x)的函數(shù)可以選用比式判別法極限形式判斷，例：

42+4.72.6+4.7.102.6.10+…limn→∞un+1un=limn→∞3n+44n+2=34＜1

級數(shù)∑4.7.10…(3n+4)2.6.10…(4n+2)收斂

當級數(shù)含有n次冪，型如an或f(x)n或通項un=1n1npn即分母含有含1nx的函數(shù)，分子為1時，級數(shù)含有多個聚點，選用根式判別法，但需要注意若通項含∑1(1nn)n時，不能使用根式判別法，因為limn→∞11nn不存在。例如：∑∞n=1〔n2n+1〕n;limn→∞nun=limn→∞n2n+1=12級數(shù)收斂

一般來說，當選用根式判別法無法判斷時，我們也可以選用比式判別法來判斷，但有時候我們只能用根式判別法而不能使用比式判別法。例如：1+b+bc+…+bncn+…(0＜b＜c)limn→∞2n-1bn-1cn-1=bc；limn→∞2nbncn=bcbc＞1，級數(shù)發(fā)散；bc＜1，級數(shù)收斂；bc＝1，原式=1+b+1+b+…級數(shù)發(fā)散un+1un=bn為奇數(shù)

cn為偶數(shù)

lim———n→∞un+1un=c，c＞1級數(shù)收斂;limn→∞un+1un=b＞1級數(shù)發(fā)散無法判斷斂散性。

2總結

級數(shù)理論是數(shù)學分析的重要組成部分，在實際生活中運用較廣泛。而正項級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題，要想解決正項級數(shù)的求和問題必須先解決正項級數(shù)收斂性判斷。正項級數(shù)收斂判別法也可用于判定負項級數(shù)及變號級數(shù)的絕對收斂性，也可以推廣到傅立葉級數(shù)的斂散性判別，在復變函數(shù)中也可以用于判定級數(shù)在復平面上的斂散性和收斂半徑。

3參考文獻

[1]吳良森，等.數(shù)學分析習題精解[M].北京：科學出版社，2002

[2]周應.數(shù)學分析習題及解答[M].武漢：武漢大學出版社，2001

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。