摘 要：生產(chǎn)管理要求合理使用有限的人力、物力和財力，以獲得最佳的經(jīng)濟效益。本文首先建立了這一問題及其對偶問題的線性規(guī)劃模型，結合算例給出了其最優(yōu)解（即最佳生產(chǎn)方案）的求法，在此基礎上，借助影子價格和敏感性分析對生產(chǎn)過程中的管理決策進行了解析和討論。本文提供的模型和解法具有一般性，且易于用軟件實現(xiàn)。

關鍵詞：線性規(guī)劃；最優(yōu)解；影子價格；敏感性分析

線性規(guī)劃作為運籌學（Operations Research）的一個最基本的分支，已成為現(xiàn)代管理科學研究的重要工具之一^［1，2］。自從1947年美國學者G. B. Dantzig首次提出求解線性規(guī)劃問題的單純形法（simplex method）以來，線性規(guī)劃在理論上已經(jīng)十分成熟。隨著計算機硬件性能的提高和軟件技術的發(fā)展，線性規(guī)劃問題的求解已變得極為容易和迅速，這極大地促進了線性規(guī)劃在管理科學中的應用。

在管理科學的理論研究和實踐應用中，特別是在生產(chǎn)經(jīng)營管理中，經(jīng)常遇到如何利用有限的資源來獲得最佳效果的問題。比如，企業(yè)應該如何合理使用有限的人力、物力和財力，以使經(jīng)濟效益達到最大化。

1. 問題的提出

某工廠計劃利用M種資源A\\-1，A\\-2，…，A\\-m生產(chǎn)n種產(chǎn)品B\\-1，B\\-2，…，B\\-N。資源A\\-1的供應量為b\\-i，i=1，2，…，m；產(chǎn)品B\\-J的單位售價為c\\-j，j=1，2，…，n；生產(chǎn)單位產(chǎn)品B\\-j所需消耗資源A\\-i的數(shù)量為a\\-ij，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n。

問：（1）該廠應如何安排生產(chǎn)計劃，才能使得收益最大？（2）今有一公司欲購買該工廠現(xiàn)有的全部資源，問該工廠應如何確定這種資源的價格，才能使得雙方都能接受？

2. 模型的建立

問題（1）：引入決策變量：設該工廠生產(chǎn)產(chǎn)品B\\-j的數(shù)量為x\\-j，j=1，2，…，n。

則可建立如下線性規(guī)劃模型

問題（2）：引入決策變量：設該工廠將資源A\\-i的價格定為y\\-i，y=1，2，…，m，則此公司自然希望以盡可能小的花費購進這種m資源；而該工廠亦要求將生產(chǎn)單位產(chǎn)品B\\-j所消耗的這種資源m直接售出所得的收益應不小于產(chǎn)品的單價（即利用同等數(shù)量的資源生產(chǎn)單位產(chǎn)品后，再出售產(chǎn)品所得的收益）。如此，即可使得買賣雙方都能接受。于是，可建立線性規(guī)劃模型

3. 模型的求解

(P)和(D)均為線性規(guī)劃問題，已有單純形法可用賴求解，也可用Lingo、Matlab等軟件^{［3，4，5］}來求解，將在下面的算例中加以說明，此處從略。

4. 模型的分析

顯然，(P)與(D)互為對偶問題.設利用單純形法求解(P)最終得最優(yōu)基B，最優(yōu)解為x=(x\\-1，x\\-2，…，x\\-m)T。

于是，(P)的影子價格為y=(ct\\-BB-1)T≡(y\\-1，y\\-2，…，y\\-m)T。當然，y也是(D)的最優(yōu)解。

由強對偶定理知，(P)的最優(yōu)值為Z=cTx=bTy=∑m[]i=1[DD)]b\\-iy\\-i。（*）

（1）顯然，若資源A\\-i的供應量B\\-i增加1個單位，則最大收益將增加y\\-i；而且，y\\-i越大的資源A\\-i增加1個單位，最大收益就增加得越多。

由此，y\\-i是最優(yōu)生產(chǎn)方案下的一種實際存在但又看不見的真實價值，故被稱為資源A\\-i的影子價格；同時，影子價格是資源的單位改變對最大收益產(chǎn)生的影響，故又被稱為資源的邊際收益。影子價格是針對具體生產(chǎn)而言的.同一種資源在不同的生產(chǎn)條件下可能有不同的影子價格；產(chǎn)品的市場價格發(fā)生變化時，資源的影子價格也會發(fā)生變化；資源的數(shù)量結構不同，其影子價格也不同。

(2)影子價格能定量地反映資源的利用程度。

A.由松弛互補定理知，若∑n[]j=1[DD)]a\\-ijx\\-j＜b\\-i，即b\\-i-∑n[]j=1[DD)]a\\-ijx\\-j＞0，則。即當資源A\\-i沒有被充分利用時，其影子價格為0。此時，由（*）知，即使增加資源A\\-i的供應量b\\-i，最大收益也不會增加。

B.由松弛互補定理知，若y\\-i，則∑n[]j=1[DD)]a\\-ijx\\-j=b\\-i。即當資源A\\-i的影子價格不為0時，A\\-i已被充分利用。此時，由（*）知，增加資源A\\-i的供應量b\\-i，最大收益將會增加。

（3）影子價格能指導企業(yè)在生產(chǎn)過程中去節(jié)約資源^［6］。

若采用新工藝后，生產(chǎn)單位產(chǎn)品B\\-j對資源A\\-i的消耗量a\\-ij被節(jié)約a%，j=1，2，…，n，則(P)中的第i個約束條件變?yōu)?/p>

∑n[]j=1[DD)](1-a%)a\\-ijx\\-j≤b\\-i→∑n[]j=1[DD)]a\\-ijx\\-j=b\\-i。即資源A\\-i的節(jié)約“相當于”A\\-i的供應量b\\-i增加了\\S]1[]1-a%\\s-1=\\S]a%[]1-a%\\s=\\S]a[]100-a\\s%。當時y\\-i＞0，由（*）知，最大收益將會增加\\S]a[]100-a\\s%b\\-i#8226;y\\-i。

由此，企業(yè)在生產(chǎn)過程中應注意對影子價格高且消耗量大的資源的節(jié)約。

（4）影子價格對企業(yè)的經(jīng)營管理而言是一種十分有價值的信息資源，它可作為企業(yè)出售或購進資源的一種客觀的定價標準，對企業(yè)進入市場有十分重要的參考意義^［6］。

A.若資源A\\-i的市場價格u\\-i大于其影子價格y\\-i，i=1，2，…，m，則該工廠出售資源的收益∑m[]i=1[DD)]b\\-iu\\-i＞∑m[]i=1[DD)]b\\-iy\\-i=∑n[]j=1[DD)]c\\-jx\\-j=z（利用資源生產(chǎn)產(chǎn)品，再出售產(chǎn)品的最大收益）。故該工廠應出售資源，而不應進行生產(chǎn)。

B.若資源A\\-i的市場價格u\\-i小于其影子價格y\\-i，i=1，2，…，m，則該工廠出售資源的收益∑m[]i=1[DD)]b\\-iu\\-i＜∑m[]i=1[DD)]b\\-iy\\-i=∑n[]j=1[DD)]c\\-jx\\-j=z（利用資源生產(chǎn)產(chǎn)品，再出售產(chǎn)品的最大收益）。故該工廠不應出售資源，而應進行生產(chǎn)。

（5）敏感性分析：討論系數(shù)或常數(shù)的變化所引起的最優(yōu)解的變化，即系數(shù)或常數(shù)在多大的范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)解不變；否則，應如何求得新的最優(yōu)解。

因此，當資源的供應量或產(chǎn)品的市場價格發(fā)生變化時，敏感性分析顯得有為必要和成功（見算例）。

5. 算例

設有如下生產(chǎn)管理問題：m=3，n=2；c\\-1=2，c\\-2=3；b\\-1=8，b\\-2=16，b\\-3=12；a\\-ij由矩陣1 24 00 4給出。

如前述分析，可建模如下

利用Lingo軟件來解。

程序：

［profit］max=2*x1+3*x2;

［A］x1+2*x2<=8;

［B］4*x1<=16;

［C］4*x2<=12;

結果：

（1）解的報告

Global optimal solution found.

Objective value:14.00000

Total solver iterations: 1

VariableValueReduced Cost

X14.0000000.000000

X2 2.0000000.000000

RowSlack or SurplusDual Price

PROFIT14.000001.000000

A0.0000001.500000

B0.0000000.1250000

C4.0000000.000000

報告表明：最佳生產(chǎn)方案為：產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為4和2，最大收益為14；資源的影子價格為1.5，這表明的供應量已被用盡，若將其供應量增加1，則最大利潤將增加1.5；資源的影子價格為0，這表明的供應量還剩余4，即使再增加其供應量，也不會使最大收益增加。

（2）敏感性分析

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

CurrentAllowableAllowable

VariableCoefficientIncreaseDecrease

X12.000000INFINITY0.5000000

X23.0000001.0000003.000000

Righthand Side Ranges

RowCurrentAllowableAllowable

RHSIncreaseDecrease

A8.0000002.0000004.000000

B16.0000016.000008.000000

C12.00000INFINITY4.000000

報告表明：當產(chǎn)品B\\-1的價格在（2-0.5，2+INFINITY）=（1.5，+∞）內(nèi)變化時，最優(yōu)生產(chǎn)方案不變；當資源A\\-3的供應量在（12-4，12+INFINITY）=（8，+∞）內(nèi)變化時，最優(yōu)生產(chǎn)方案不變。

6. 結束語

我們利用線性規(guī)劃方法建立了生產(chǎn)管理問題的模型，給出了其最優(yōu)解的算法，并對生產(chǎn)過程中的管理決策進行了解析和討論。我們的模型和解法很容易推廣到其它形式的經(jīng)濟管理問題上去。

參考文獻：

［1］韓伯棠.管理運籌學（第2版）.北京：高等教育出版社，2005年。

［2］劉順忠.管理運籌學和MATLAB軟件應用.武漢：武漢大學出版社，2007年。

［3］黃雍檢，賴明勇.MATLAB語言在運籌學中的應用.長沙：湖南大學出版社，2005年。

［4］謝金星，薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件.北京：清華大學出版社，2005年。

［5］袁新生，邵大宏，郁時煉.LINGO和EXCEL在數(shù)學建模中的應用.北京：科學出版社，2007年。

［6］張建中，許紹吉.線性規(guī)劃.北京：科學出版社，1999年。

（作者通訊地址：山東財政學院山東 濟南250014）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。