摘要：多項研究表明，幾何畫板不能在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到有效運用的主要原因在于數(shù)學(xué)教師對幾何畫板的應(yīng)用模式不熟悉，缺乏高層次的專業(yè)引導(dǎo)。為了解決此問題，文中提出了三種切實可行的幾何畫板應(yīng)用模式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何畫板；應(yīng)用模式；思想方法

中圖分類號：G633文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)30-0679-03

On the Application Pattern of Geometer's Sketchpad in Mathematics Teaching of Middle School

YAO Shu-hua1，LI Xiao-cheng2

(1.Beijing No.15 Branch Middle school， Beijing 100054， China;2.Department of Mathematics， Huaibei Coal Industry Teachers’ College， Huaibei 235000， China)

Abstract: Many researches show that the causes which Geometer’s Sketchpad can’t be used effectively in mathematics teaching are unfamiliar with application pattern of Geometer's Sketchpad and insufficiency of high-level professional guidance. In order to solve the problem， there application pattern of Geometer's Sketchpad are put forward in this paper.

Key words: mathematics teaching; geometer's sketchpad; application pattern; thinking and method

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》中強調(diào)[1]：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機整合（如把算法融入到數(shù)學(xué)課程的各個相關(guān)部分），整合的基本原則是有利于學(xué)生認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合已經(jīng)走入了數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)課堂，并取得了一定的成效。經(jīng)過調(diào)查，筆者在文[2]中指出“幾何畫板的應(yīng)用與很多教育專家的期望（幾何畫板應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主力軍）相差甚遠。在數(shù)學(xué)課件中應(yīng)起到重要作用的幾何畫板和Z＋Z智能教育平臺，對于中學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，達到熟悉和比較熟悉的人數(shù)偏少。”。文[3]指出，多年來，部分數(shù)學(xué)教師通過職前職后多層次多渠道的學(xué)習和進修，基本掌握了一些常規(guī)的公共型數(shù)學(xué)課件制作工具軟件，而對專門用于數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)專用軟件如幾何畫板、Z＋Z智能教育平臺等，要么用得不精深，要么根本就談不上用于教學(xué)?？偟乜磥?，主要原因是中學(xué)數(shù)學(xué)教師對幾何畫板等數(shù)學(xué)教學(xué)軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用模式不熟悉，缺少高層次的專業(yè)引領(lǐng)。為了提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師對幾何畫板的運用能力，對幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用模式的研究就顯得尤為重要。

2 幾何畫板應(yīng)用模式的研究

幾何畫板是以數(shù)學(xué)為根本，以“動態(tài)幾何“為特色來動態(tài)表現(xiàn)設(shè)計者的思想，供用戶探索幾何奧秘的有力工具。幾何畫板功能強大，不僅具有精確的數(shù)字化描述和動態(tài)的參數(shù)交互功能，還能夠動態(tài)表現(xiàn)相關(guān)對象的關(guān)系，可以被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論表明學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的過程并非是一個被動接受的過程，而是以原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的一個主動的建構(gòu)過程[4]。相關(guān)研究表明，基于幾何畫板的多層次的數(shù)學(xué)教學(xué)對于實現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的主動建構(gòu)是非常有利的。基于“知識分類與目標導(dǎo)向教學(xué)理論”的信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合模式認為整合數(shù)學(xué)知識特征和信息技術(shù)優(yōu)勢的模式是有效的。在上述理論指導(dǎo)下，結(jié)合實踐運用體驗，依據(jù)使用主體在教學(xué)活動中的活動度，本文認為幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要有：教師為主體的演示模式、師生合作的共探模式和學(xué)生為主體的探究模式。

2.1 教師為主體的演示模式

幾何畫板作為一個電子作圖工具，利用它提供的工具箱，可以快速而精確地進行計算和圖形處理。這些精確的、動態(tài)的表現(xiàn)，不僅可以充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)元素在運動狀態(tài)下保持的各種不變性，還可以為數(shù)學(xué)教師提供方便的動態(tài)的演示平臺。基于此平臺，數(shù)學(xué)教師可以通過化靜態(tài)為動態(tài)、化抽象為直觀、化無限為有限等途徑，使學(xué)生對無限的、抽象的數(shù)學(xué)對象理解地更深刻、記憶得更牢固。

2.1.1 化靜態(tài)為動態(tài)

數(shù)學(xué)是研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。由于數(shù)學(xué)知識認為的“過程與結(jié)果”的割裂，使得許多數(shù)學(xué)對象掩蓋了背后動態(tài)的不變的規(guī)律和性質(zhì)，外現(xiàn)為靜態(tài)的呆板的“令人厭惡”的外表。利用幾何畫板提供的豐富的工具箱和各種功能，可以有效達到化靜態(tài)為動態(tài)，促進學(xué)生快速地透過變化的外表理解和掌握不變的規(guī)律和性質(zhì)。比如平面幾何是一門研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的一門學(xué)科，它的精髓是在不斷變化的圖形中，研究其中不變的規(guī)律和性質(zhì)。我們就可以利用《幾何畫板》的提供的工具箱和自動測算、構(gòu)造等功能，可以使學(xué)生更容易的理解眾多的幾何概念、性質(zhì)和定理。

例1：“三角形中位線的性質(zhì)”的動態(tài)演示：

1）先用《幾何畫板》任意畫一個三角形，并作出其 邊上的中位線 （圖1）；

2）依次選中點A、D、E，點選“度量—角度”，測出∠ADE的度數(shù)，用同樣的方法測出∠ABC的度數(shù)。然后再選中線段DE，點選“度量—長度”，測出DE的長度，用同樣的方法測出邊BC的長度（圖2）；

3）任意拖動三角形的頂點A、B、C改變?nèi)切蔚男螤?，并改變BC邊的大小，讓學(xué)生注意觀察∠ADE、∠ABC的度數(shù)和DE、BC的長度改變的規(guī)律，學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)∠ADE等于∠ABC且DE始終是BC邊的一半。這時候再向?qū)W生講解“三角形的中位線平行且等于底邊的一半”這一定理。

2.1.2 化抽象為直觀

高度的抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科的三大特點之一。面對高度的抽象性，雖然中學(xué)數(shù)學(xué)教材依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)論和數(shù)學(xué)科學(xué)特點，做了一定的教學(xué)處理，但是給許多學(xué)生的面貌還是抽象的。利用幾何畫板提供的豐富的工具箱和各種功能，可以有效達到化抽象為直觀，促進學(xué)生快速地通過直觀的外現(xiàn)掌握抽象的規(guī)律。比如在立體幾何中，利用《幾何畫板》的工具箱和變換、移動等功能，可以將抽象的立體圖形轉(zhuǎn)化為比較直觀的圖形，方便學(xué)生的觀察。

例2： “三棱錐的體積等于它的底面積S與高的乘積的三分之一”的直觀演示

教材中采用的是將三棱柱切割成三個全等的三棱錐，圖形變化較大，學(xué)生不容易理解，可以使用《幾何畫板》向?qū)W生提供動態(tài)畫面，啟發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，培養(yǎng)和提高學(xué)生的類比能力。具體制作過程如下：

1）先用《幾何畫板》作一個三棱柱ABC-A'B'C'，連接AC'、AB'、CB'，并用“編輯—操作類按鈕—顯示/隱藏”功能設(shè)置這三條線段，將此按鈕名字更改為“連接”（圖3）；

2）用“編輯—操作類按鈕—移動”功能設(shè)置三棱錐A'-AB'C'和B-ACB'，使其達到切割的目的。并設(shè)置逆向移動，使其達到合并的目的（圖4）。

2.1.3 化無限為有限

無論是數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)定理，還是數(shù)學(xué)思想和方法，都是通過無限的特殊的個體而總結(jié)出的不變的一般的性質(zhì)和規(guī)律。面對忽略了過程的“冷酷”的結(jié)論性數(shù)學(xué)概念、定理和思想方法，學(xué)生們感到“茫然”。利用幾何畫板提供的豐富的工具箱和繪圖、變換等功能，可以通過化無限為有限還原數(shù)學(xué)對象發(fā)生和發(fā)展的過程，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的理解和記憶。

例3：“指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)”的教學(xué)處理[5]

狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)。利用幾何畫板的測量和變換功能，可以為學(xué)生提供豐富多彩的無限的函數(shù)個體供學(xué)生研究，從而得出參數(shù)y=ax的取值對指數(shù)函數(shù) 的圖象和性質(zhì)的影響。具體過程如下：

1）作線段AB，并測量其長度，則其長度|AB|既可視為指數(shù)函數(shù)的。

2）利用“圖表”的“繪制新函數(shù)”功能繪制y=ax的圖象（圖5）。

教師可以拖動B點來控制a取值的大小的變化，可以讓學(xué)生觀察(1，+∞)內(nèi)的任意函數(shù)的圖象，進而可以歸納出y=ax圖象和性質(zhì)。其中，還解決了學(xué)生的一個困惑：為什么要求a≠1（圖6）。

2.2 師生合作的共探模式

現(xiàn)代教學(xué)論認為，數(shù)學(xué)教學(xué)活動是師生雙方協(xié)同活動完成的，是教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程[6]。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是人類浩瀚數(shù)學(xué)知識的很少的基礎(chǔ)性的部分內(nèi)容，有自己的發(fā)生發(fā)展歷程和內(nèi)在聯(lián)系。幾何畫板可以為這種有效的教學(xué)活動提供良好的共探的平臺。通過幾何畫板提供的豐富的工具箱和測量、變換等功能，教師可以為學(xué)生提供豐富的促進有效理解與記憶和良好問題解決能力形成的有效平臺。

例4：用一條長為10cm的繩子，圍成怎樣的矩形，才能使得矩形的面積最大？

分析：解決此問題有兩個不同的方法，一個是利用不等式的性質(zhì)；另一個是利用二次函數(shù)的性質(zhì)。我們還可以利用幾何畫板的動態(tài)作圖為學(xué)生順利解決這一類問題創(chuàng)設(shè)良好的探究平臺。其制作過程如下：

1）先畫一長為5cm的線段ED，在其上任取一點A；

2）定義A為旋轉(zhuǎn)中心，將點E旋轉(zhuǎn) 900到B點，作矩形ABCD ；

3）作動畫A點在線段ED上移動。

這時矩形ABCD的周長均為10cm，但面積在不斷的變化著。為了找到面積變化的規(guī)律，可以指導(dǎo)學(xué)生按下列步驟進行探究：

1）運動點A（只能在線段ED上運動），觀察矩形ABCD的周長和面積變化的規(guī)律；

2）分別度量線段AB、BC的長度，矩形ABCD的周長和面積，依次選中AB、BC、周長和面積的度量結(jié)果后，點選“圖表—制表”制得一表格，運動點A后，雙擊表格得新的一行數(shù)據(jù)……（圖7），觀察表格中矩形ABCD的周長和面積變化的規(guī)律；

3）選中表格，點選“圖表—繪制點”，并以度量AB的長度作為自變量x（橫坐標），矩形ABCD的面積作為因變量y（縱坐標），在直角坐標系中作出點p(x，y)，找出面積隨線段AB變化而變化的規(guī)律就是拋物線（圖8）。

至此，教師還可以進一步提出更深層次的探究問題：上例中如取消圍成矩形的限制，問用10cm的繩子，圍成怎樣的形狀其圍出的面積最大？

2.3 學(xué)生為主體的探究模式

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習數(shù)學(xué)的方式。熟能生巧的現(xiàn)代研究，表明數(shù)學(xué)是“做”出來的，沒有通過演練形成的基本技能，不可能有真正的發(fā)展。幾何畫板可以為學(xué)生提供一個自由的、開闊的、十分理想的“做”數(shù)學(xué)的環(huán)境。它可以作為學(xué)生研究、猜測、發(fā)現(xiàn)和驗證數(shù)學(xué)對象不變的規(guī)律和性質(zhì)的有一個電子“實驗室”。這個“實驗室”可以由教師提供。當然，如果學(xué)生可以自己構(gòu)建，那就更好了。

例5: “一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的再研究”的教學(xué)處理

為了讓學(xué)生深入理解二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c中的參數(shù)a、b、c對其圖象的影響，我們可以用幾何畫板構(gòu)建一個“實驗室”，讓學(xué)生自己去動手探索。具體制作過程如下：

1）打開《幾何畫板》，首先定義一個直角坐標系，在x軸上繪制三個點，并分別以這三個點為起點作x軸的垂線段，分別標記為a、b、c；

2）分別度量出垂線段a、b、c終點的縱坐標，并修改其標簽為a、b、c（圖9）；

3）以2中的度量結(jié)果為參數(shù)，構(gòu)造一個二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c ，并繪制出它的圖像；

（4）計算出-b/2a和(4ac-b2)/4a的值，分別以它們的值為橫坐標和縱坐標繪制點（亦即拋物線的頂點），并過這一點作x軸的垂線（亦即拋物線的對稱軸）（圖10）；

在教學(xué)時，可以讓學(xué)生來操作，學(xué)生通過移動垂線段a、b、c的終點來改變參數(shù)a、b、c的大小和符號，在改變的過程中觀察并記錄拋物線的變化情況，最后由教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)歸納出最終結(jié)果。

3 小結(jié)

本文的三個模式不是孤立的，我們是為了研究的必要才將其分門別類開來，它們應(yīng)當是相輔相成的。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，只要是為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點和教學(xué)實際，我們既可以使用其中的某一個模式，也可以綜合起來運用。幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)該得到廣泛應(yīng)用。幾何畫板的有效應(yīng)用不僅可以給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來深刻變革，而且可以使學(xué)生接受知識的被動地位得以改變，真正實現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性。幾何畫板可以作為實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的一個有效工具。

參考文獻：

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文