[摘要] 馬氏鏈模型通常用于描述具有無后效性的,時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程,本文針對貴重奢侈品銷售貯存的特點(diǎn),構(gòu)造了馬氏鏈模型,并進(jìn)行了敏感性分析,說明模型的合理性。
[關(guān)鍵詞] 銷售貯存 馬氏鏈(Markov Chain) 泊松(Poisson)分布
一、馬氏鏈模型簡介與應(yīng)用
在考察有隨機(jī)因素影響的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí),常常碰到這樣的情況:系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的,從這個(gè)時(shí)期到下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)按照一定的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移,并且下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)只取決于這個(gè)時(shí)期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率,與以前各時(shí)期的狀態(tài)無關(guān)。這種性質(zhì)稱為無后效性,或馬爾可夫(Markov)性。具有無后效性的,時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程通常用馬氏鏈(Markov Chain)模型描述。馬氏鏈模型在經(jīng)濟(jì)、社會、生態(tài)、遺傳等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。
二、馬氏鏈及其基本方程
按照系統(tǒng)的發(fā)展,時(shí)間離散化為,對每個(gè)n,系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機(jī)變量表示,設(shè)可以取k個(gè)離散值,且記,即狀態(tài)概率,從到的概率記,即轉(zhuǎn)移概率。如果的取值只取決于的取值及轉(zhuǎn)移概率,而與,的取值無關(guān),那么這種離散狀態(tài)按照離散時(shí)間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程稱為馬氏鏈。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無后效性和全概率公式可以寫出馬氏鏈的基本方程為
(1)
并且和應(yīng)滿足
(2)
(3)
(4)
引入狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣,(3)式表明轉(zhuǎn)移矩陣P是非負(fù)陣,(4)式表示P的行和為1,稱為隨機(jī)矩陣。
定義1一個(gè)有k個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)N,使從任意狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài),則稱為正則鏈。
用下面的定理容易檢驗(yàn)一個(gè)馬氏鏈?zhǔn)欠駷檎齽t鏈。
定理1若馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為P,則它是正則鏈的充要條件是:存在正整數(shù)N使(指的每一元素大于零)。
定理2正則鏈存在惟一的極限狀態(tài)概率,使得當(dāng)時(shí)狀態(tài)概率與初始狀態(tài)概率無關(guān)。w又稱為穩(wěn)態(tài)概率,滿足
(5)
(6)
三、貴重奢侈品銷售存貯的馬氏鏈模型假設(shè)與建立
像汽車、鋼琴這樣的貴重奢侈品銷售量很小,商店里一般不會有多大的庫存量讓它積壓資金。這里通過一個(gè)簡單的實(shí)例來分析、評價(jià)一種貯存策略的效果。
一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),平均每周只能售出1架鋼琴。現(xiàn)在經(jīng)理制定的貯存策略是:每周末檢查庫存量,僅當(dāng)庫存量為零時(shí),才訂購3架供下周銷售;否則,不訂購。試估計(jì)這種策略下失去銷售機(jī)會的可能性有多大,以及每周的平均銷售量是多少?
我們對問題提出以下模型假設(shè):(1)鋼琴每周需求量服從泊松分布,均值為每周1架;(2)貯存策略是當(dāng)周末庫存量為零時(shí),訂購3架,周初到貨,否則,不訂購;(3)以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量,狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性;(4)在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算該貯存策略失去銷售機(jī)會的概率,和每周的平均銷售量。
記第n周的需求量為,由假設(shè)1,服從均值為1的泊松分布,即 (7)
記第n周初的庫存量為是這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量,由假設(shè)2,狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律為。
由(7)式和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率計(jì)算公式,得矩陣
。
記狀態(tài)概率,根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性的假設(shè),有。用定理1對照得到的轉(zhuǎn)移矩陣P,可知這是一個(gè)正則鏈,具有穩(wěn)態(tài)概率分布可由(5),(6)式得到。
該貯存策略(第n周)失去銷售機(jī)會的概率為,按照全概率公式有 其中的條件概率容易由(7)式計(jì)算。當(dāng)充分大時(shí),可以認(rèn)為
最終得到,即從長期看,失去銷售機(jī)會的可能性大約10%。
在計(jì)算該貯存策略(第n周)的平均銷售量時(shí),應(yīng)注意到,當(dāng)需求超過存量時(shí)只能銷售掉存量,于是
同樣地,當(dāng)n充分大時(shí)用穩(wěn)態(tài)概率代替,得到,即從長期看,每周的平均銷售量為0.857架。
四、模型的敏感分析和進(jìn)一步研究方向
這個(gè)模型用到的惟一一個(gè)原始數(shù)據(jù)是,平均每周售出1架鋼琴,這個(gè)數(shù)值會有波動(dòng)。為了計(jì)算當(dāng)平均需求在1附近波動(dòng)時(shí),最終結(jié)果有多大變化,設(shè)服從均值為的泊松分布,即有,由此得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為
對于不同的平均需求(在1附近),類似于上面的計(jì)算過程,記,可得到以下結(jié)果:
即當(dāng)平均需求增長(或減少)10%時(shí),失去銷售機(jī)會的概率將增長(或減少)約15%,這是可以接受的。
本文介紹的是對已經(jīng)制定的貯存策略,用兩個(gè)指標(biāo)加以評價(jià),還可以給出其他的策略和指標(biāo),做進(jìn)一步的研究。
參考文獻(xiàn):
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