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        如何學(xué)好絕對值

        2008-12-31 00:00:00陳德前
        初中生世界·七年級 2008年9期

        絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,為幫助同學(xué)們學(xué)好這一內(nèi)容,現(xiàn)將學(xué)習(xí)要求歸納為以下幾個方面:

        一、要正確理解絕對值的意義

        數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值,數(shù)a的絕對值記作|a|.求一個數(shù)a的絕對值,就是求它到原點(diǎn)的距離.因為距離不可能是負(fù)數(shù),所以任何一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù),即對于有理數(shù)a,a≥0.絕對值的意義從數(shù)軸上看更是一目了然.一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.用數(shù)學(xué)符號表示為:當(dāng)a>0時,a=a;當(dāng)a

        =0時,a=0;當(dāng)a<0時,a=-a.

        二、要熟練掌握絕對值的性質(zhì)

        1.任何一個有理數(shù)都有惟一的絕對值,且是一個非負(fù)數(shù),即a≥0.

        2. 最小的絕對值是0,但沒有最大的絕對值.

        3.絕對值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0,即若a=a,則a≥0.

        4.絕對值為某一正數(shù)的有理數(shù)有兩個,它們互為相反數(shù).

        5. 若幾個數(shù)(或代數(shù)式)的絕對值之和為0,則每個數(shù)的絕對值都為0,即每個數(shù)都為0.例如,若a+ b+c

        =0,則a=0, b=0,c=0,從而有a=b=c=0.

        6.若a>0,則==1;若a

        <0,則==-1.

        三、要靈活運(yùn)用絕對值的知識

        1.利用絕對值來理解相反數(shù)的意義

        從絕對值的角度來看,絕對值相等的兩個不同的數(shù)互為相反數(shù),0的相反數(shù)為0.結(jié)合絕對值,我們可以更深刻地理解相反數(shù)的含義:位于原點(diǎn)的兩旁,并且絕對值相等.兩個數(shù)互為相反數(shù),其絕對值必相等;若兩個數(shù)的絕對值相等,那么,這兩個數(shù)有兩種情況:相等或互為相反數(shù).

        例1判斷正誤:離開原點(diǎn)的距離是4個單位長度的點(diǎn)應(yīng)有兩個,分別在原點(diǎn)的左右兩邊,表示的數(shù)為-4和4.

        ()

        答:√.

        2.利用絕對值的性質(zhì)解決問題

        例2(2007年佛山市中考試題)如圖1,M,N,P,R分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn),其中有一點(diǎn)是原點(diǎn),并且MN=NP=PR=1.數(shù)a對應(yīng)的點(diǎn)在M與N之間,數(shù)b對應(yīng)的點(diǎn)在P與R之間,若a+ b=3,則原點(diǎn)是().

        A.M或RB.N或P

        C.M或ND.P或R

        分析:解決本題的關(guān)鍵是先分類,再運(yùn)用絕對值概念去掉絕對值符號來判斷.由于M,N,P,R分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn),并且MN=NP=PR

        =1,若M為原點(diǎn),此時a、b都是正數(shù),則a+ b= a+b,其值可能為3;若N為原點(diǎn),此時a為負(fù)數(shù),b為正數(shù),則a+ b= -a+b,其值不可能為3;若P為原點(diǎn),此時a為負(fù)數(shù),b為正數(shù),則a+ b= -a+b,其值也不可能為3;若R為原點(diǎn),此時a、b均為負(fù)數(shù),則a+ b= -a+(-b),其值可能為3.因此,選A.

        例3(哈爾濱市中考試題)若x的相反數(shù)是3,y=5,則x+y的值為().

        A.-8B.2C.8或-2D.-8或2

        分析:由相反數(shù)和絕對值的概念可知,x=-3,y=5或y=-5.因此,要分類求解:當(dāng)x=-3,y=5時,x+y=-3+5=2;當(dāng)x=-3,y=-5時,x+y=-3+(-5)=-8.應(yīng)選D.

        例4(“迎春杯”初一數(shù)學(xué)競賽題)若a=1, b=2,c=3,且a>b

        >c,則(a+b-c)2=.

        分析:由a=1, b=2,c=3,得a=±1,b=±2,c=±3.因為a>b>c,所以a=1,b=-2,c=-3或a=-1,b=-2,c=-3.因此a+b-c=2或0,即(a+b-c)2=4或0.

        3.利用絕對值的知識進(jìn)行探索

        例5已知x-1=2,求x的值.

        分析:數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值.求一個數(shù)a的絕對值,就是求它到原點(diǎn)的距離.因此求滿足x-1=2的x的值,就是求到1的距離等于2的x的值,由圖2知,這樣的x有兩個,它們分別是x=3和x=-1.

        例6設(shè)a<b<c,那么y=x-a

        +x-b+x-c的最小值是.

        分析:根據(jù)絕對值的意義及題設(shè),在數(shù)軸上作出數(shù)a,b,c對應(yīng)的點(diǎn)A、B、C,如圖3.數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)與A、B、C三點(diǎn)的距離之和不可能小于AC的長,僅當(dāng)數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)與B重合時,y取得最小值A(chǔ)C,AC=c-a=c-a,即y最小值=c-a .

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