[摘要] 討論了在一個(gè)時(shí)期內(nèi)商品的訂購(gòu)價(jià)格有折扣，而且該商品的需求量是連續(xù)型隨機(jī)變量的訂購(gòu)問題，得出了使利潤(rùn)最大化的最佳訂購(gòu)量的計(jì)算方法．

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)籌學(xué) 連續(xù)型隨機(jī)變量 折扣價(jià)格 期望

一、引言

在日常生活中，人們經(jīng)常會(huì)遇到一些時(shí)效性很強(qiáng)、更新很快、不易保存、較短時(shí)間內(nèi)就會(huì)失去貨物原有價(jià)值的商品，對(duì)于此類商品的零售商來講，該怎樣訂購(gòu)貨物，才能使銷售利潤(rùn)達(dá)到最大，同時(shí)又能盡可能地滿足顧客的需求呢？本文將給出一種解決這個(gè)問題的計(jì)算方法。

一般地，購(gòu)買數(shù)量越多，商品單價(jià)就越低，數(shù)量大的客戶可享受各種批發(fā)價(jià)，即價(jià)格是定貨量的遞減函數(shù)，即

其中。同時(shí)社會(huì)對(duì)商品的需求量r也是不確定的，它是一個(gè)隨機(jī)變量。如果訂貨量過大，那么商品不能全部賣出會(huì)造成損失，如果訂貨量太小，那么銷售商因缺貨而失去了銷售機(jī)會(huì)。所以對(duì)于銷售商來說，確定一個(gè)合理的訂購(gòu)數(shù)量，使銷售利潤(rùn)最大，是非常重要的。

在一個(gè)時(shí)間周期T內(nèi)，訂購(gòu)數(shù)量為，。設(shè)每件商品的庫(kù)存銷售成本平均為C，每件商品零售價(jià)格為P，每售出一件商品利潤(rùn)為k=P-Pi-C，若未售完，則每件過期商品的處理價(jià)或退貨價(jià)為，所以每件損失為。我們研究的目標(biāo)是：訂購(gòu)量為多大時(shí)，銷售商獲取的利潤(rùn)的期望值最大？

二、連續(xù)型訂購(gòu)問題

下面我們考慮連續(xù)型訂購(gòu)和銷售問題，即訂購(gòu)量和需求量r都取連續(xù)的非負(fù)實(shí)數(shù)。根據(jù)以往的銷售數(shù)據(jù)，我們做統(tǒng)計(jì)分析得到r的概率密度，當(dāng)r<0時(shí)=0，而且。當(dāng)銷售商的訂購(gòu)量為，實(shí)際需求量為r時(shí)，它的利潤(rùn)函數(shù)為

于是所獲得利潤(rùn)的期望值為

（1）

其中， 。

由于訂購(gòu)價(jià)格是分段函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以利潤(rùn)的期望的最大值可能在處取得，也可能在區(qū)間內(nèi)部的某駐點(diǎn)上取得。求導(dǎo)得

令，得駐點(diǎn)滿足 （2）

其中。

把滿足(1)式的記作，則利潤(rùn)的期望的最大值只能在和中取得，對(duì)它們分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的，其中的最大值對(duì)應(yīng)的訂購(gòu)量就是最佳訂購(gòu)數(shù)量*。

三、實(shí)例分析

某季節(jié)性商品的銷售價(jià)格為16元，過期后處理價(jià)為5元，而且一定可以全部處理掉。根據(jù)商店以往經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)，該商品的銷售量 服從正態(tài)分布，平均值為3000，標(biāo)準(zhǔn)差為800，每單位商品在一個(gè)周期內(nèi)的訂購(gòu)、庫(kù)存、銷售等平均成本為1元，該商品的訂購(gòu)價(jià)格為

問應(yīng)進(jìn)多少單位的該商品，才能使利潤(rùn)最大？

解 當(dāng)時(shí)，由公式（2），得。但2908不在此區(qū)間內(nèi)。

當(dāng)時(shí)，由公式（2），得。

當(dāng)時(shí)，由公式（2），得。但3484不在此區(qū)間內(nèi)。

所以最大利潤(rùn)只能在處取得，由公式（1)分別求得對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)期望值為

所以商店的最佳訂購(gòu)量為3280單位，能獲得的最大盈利為63648元。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓伯棠:管理運(yùn)籌學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2000

[2]常浩:有限計(jì)劃期內(nèi)帶有折扣的庫(kù)存系統(tǒng)的優(yōu)化及其定價(jià)．天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，26(1)