[摘 要] 我們分析了包括兩種不同的固定交易費(fèi)、不成比例的交易費(fèi)、和買賣價(jià)差及稅收等條件下的最優(yōu)消費(fèi)-投資組合無套利的情形，運(yùn)用優(yōu)化理論和凸分析方法，得到最優(yōu)消費(fèi)-投資組合無套利的一些重要性質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 交易費(fèi) 最優(yōu)消費(fèi)-投資組合 優(yōu)化理論和凸分析方法

一、基本概念和引理

Modigliani和Mille的MM理論蘊(yùn)涵著無套利均衡思想。金融理論研究中后來取得的一系列突破性成果都是無套利分析方法的杰出應(yīng)用，但它們大多數(shù)假設(shè)市場(chǎng)是無摩擦的。然而，在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，總是存在著多種形式的摩擦，一般來說，任何形式的摩擦均使問題復(fù)雜化，例如Garman和Ohlson利用狀態(tài)價(jià)格刻畫了有交易費(fèi)時(shí)的無套利條件，本文在更復(fù)雜的摩擦市場(chǎng)(包括買賣價(jià)差、稅收、不成比例的交易費(fèi)），上刻畫了無套利的一些性質(zhì)。

考慮這樣的資本市場(chǎng)，它有個(gè)資產(chǎn)和個(gè)可能的自然狀態(tài)，資產(chǎn)在期初交易，收益在期末實(shí)現(xiàn)，在期中不發(fā)生任何交易。對(duì)投資者來說，資產(chǎn)i的當(dāng)前購買價(jià)格是，出售價(jià)格是，出售價(jià)格略低于購買價(jià)格，即0，現(xiàn)在，市場(chǎng)完全可用八元數(shù)組來描述。

在實(shí)數(shù)軸上定義函數(shù)：

在維歐氏空間上定義函數(shù):，則。

投資組合調(diào)整的包括交易費(fèi)在內(nèi)的總成本則是，狀態(tài)支付向量是。若則意味著調(diào)整沒有任何成本，若，則調(diào)整在期初產(chǎn)生了正的現(xiàn)金流。本文用弱無套利分析刻畫了最優(yōu)消費(fèi)-投資組合策略問題。

定義1稱金融市場(chǎng)是弱無套利的，如果不存在投資組合調(diào)整使得和（1），這里為收益矩陣。

記為的第一卦限為分量均為正數(shù)的向量構(gòu)成的集合，定義的一個(gè)子集:。

引理1函數(shù)是次線性的，如果對(duì)任意有和

引理2費(fèi)用函數(shù)均是次線性的，因而也是凸的。

二、主要結(jié)果

為方便起見，對(duì)任何，

定義1，并記:，現(xiàn)在我們考慮如下最優(yōu)消費(fèi)-投資組合選擇問題：

其中W>0指投資者的初始財(cái)富，是投資在自然狀態(tài)下的消費(fèi)構(gòu)成的向量，是投資者在自然狀態(tài)下的稟賦構(gòu)成的向量，是投資者的效用函數(shù)，這里假定它是凹的和嚴(yán)格遞減的。投資者的預(yù)算-可行集（即的可行集解）。依Duffie的證明，我們做如下假設(shè)：

假設(shè)1存在投資組合使得其支付。

如果和稅率為0以及組合是消費(fèi)組合，現(xiàn)在得出投資組合的一些性質(zhì)：

定理1 復(fù)雜摩擦市場(chǎng)是弱無套利的當(dāng)且僅當(dāng)如下的優(yōu)化問題的最優(yōu)值為0。

證明:如果市場(chǎng)是弱無套利的，則對(duì)任意滿足且0是該問題的一個(gè)可行解，故該優(yōu)化問題的最優(yōu)值為0。另一方面，如果優(yōu)化問題的最優(yōu)值為0。因此對(duì)任意滿足，我們有，這包含不存在，滿足且，因此市場(chǎng)是弱無套利的。故該問題得證。下面定義：

由此，我們有:

定理2投資組合選擇問題有最優(yōu)解的充分條件是且。

證明:如果有最優(yōu)解。則明顯該投資組合選擇問題沒有最優(yōu)解，否則，讓滿足且滿足，由于，則是該投資組合選擇問題的可行解。對(duì)任意的因此，，這就包含了對(duì)任意，也是該投資組合選擇問題的可行解。當(dāng)，有無界并且無最優(yōu)解。若該市場(chǎng)Li已討論，故該問題得證。

本文推廣把Li和X.Chao等的結(jié)果推廣到兩種不同的固定交易費(fèi)、不成比例的交易費(fèi)和買賣價(jià)差及稅收等條件下金融市場(chǎng)情形，得出了一系列較好的結(jié)果。

參考文獻(xiàn):

[1]Allingham M.Arbitrage[M].New York:St.Marin’s Press，1991

[2]Duffie D.Dynamic Asset Pricing Theory[M]，2nd Ed. New Jersey:Princeton University Press.1996

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文