[摘要] 博弈論是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。其中，非合作博弈是現(xiàn)代博弈理論中的核心內(nèi)容和重要基礎(chǔ)。本文重點(diǎn)介紹了非合作博弈中最核心的部分即Nash均衡。給出了純戰(zhàn)略納什均衡的相關(guān)定義，并同時(shí)得到了在經(jīng)濟(jì)決策中行為人的最優(yōu)決策。在此基礎(chǔ)上，以納什均衡作為理論支撐點(diǎn)，結(jié)合得益矩陣分析解決了經(jīng)濟(jì)生活中的一些實(shí)際問(wèn)題。例如：針對(duì)偷水問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞] 均衡點(diǎn) 得益矩陣 Nash均衡

博弈論是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，是研究決策主體的行為發(fā)生直接相互作用時(shí)的決策，以及這種決策的均衡問(wèn)題。一個(gè)完整的博弈一般由以下幾個(gè)要素組成：博弈的參加者、各博弈方各自選擇的全部策略或行為的集合、博弈方的得益、結(jié)果、均衡等。

非合作博弈是現(xiàn)代博弈理論中的核心內(nèi)容和重要基礎(chǔ)，而Nash均衡則是非合作博弈的核心部分。用博弈論解決現(xiàn)實(shí)納什均衡是現(xiàn)代博弈論中的核心內(nèi)容和重要基礎(chǔ)。要用博弈論解決現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中的決策問(wèn)題，對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中的發(fā)展變化趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其關(guān)鍵在于如何根據(jù)行為中的支付矩陣得出納什平衡點(diǎn)，通過(guò)分析決策者的心理活動(dòng)來(lái)得到相關(guān)模型，從而依據(jù)模型來(lái)針對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題制定相關(guān)的政策以預(yù)防不良現(xiàn)象的發(fā)生。

一、非合作博弈

一般地，將不允許存在有約束力協(xié)議的博弈稱為“非合作博弈”。在該博弈中，每個(gè)博弈方的策略都是針對(duì)其他博弈方策略或策略組合的最佳對(duì)策。事實(shí)上，具有這種性質(zhì)的策略組合，正是非合作博弈理論中最重要的一個(gè)解概念“納什均衡”。

在博弈論里，有各種各樣的均衡概念，上述定義是所有均衡概念的共同特征。而在一個(gè)博弈中，可能有多個(gè)均衡存在。純戰(zhàn)略納什均衡在非合作博弈分析中具有十分關(guān)鍵的作用和地位，因此將著重介紹純戰(zhàn)略納什均衡的定義。

1.純戰(zhàn)略納什均衡

一般常用G表示一個(gè)博弈；如G有n個(gè)博弈方，每個(gè)博弈方的全部可選策略的集合稱為“策略空間”，分別用表示；表示博弈方i的第j個(gè)策略，其中j可取有限個(gè)值（有限策略博弈），也可取無(wú)限個(gè)值（無(wú)限策略博弈）；博弈方i的得益則用表示，是各博弈方策略的多元函數(shù)。n個(gè)博弈方的博弈G常寫(xiě)成。

有了博弈、博弈方的策略空間和得益的表示法，可以給出純戰(zhàn)略納什均衡的定義如下：

定義1: 在博弈中，如果由各個(gè)博弈方的每一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合中，任一博弈方i的策略，都是對(duì)其余博弈方策略組合的最佳對(duì)策，即

對(duì)任意都成立，則稱為G的一個(gè)“純戰(zhàn)略納什均衡”。純戰(zhàn)略納什均衡的求解，通?？梢圆捎玫靡婢仃嚤硎境鲈诓煌呗韵赂鞑┺姆降男б?，下面通過(guò)囚徒困境問(wèn)題可進(jìn)一步加深對(duì)純戰(zhàn)略納什均衡概念的理解。

該博弈問(wèn)題是1950年圖克提出的，它雖然非常簡(jiǎn)單，但卻很好地反映了非合作博弈的根本特征，并且該博弈模型是解釋眾多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，研究經(jīng)濟(jì)效率問(wèn)題的非常有效的基本模型和范式。其故事如下：

警方抓到兩個(gè)盜竊犯，惜證據(jù)尚不足，遂寄希望于嫌犯自己招供。警方把兩個(gè)犯人隔離起來(lái)，分別審問(wèn)，交代政策如下：坦白從寬，抗拒從嚴(yán)！如果你招了，另一個(gè)人沒(méi)招，那么就將你釋放，另一人判10年；同樣如果你不招，另一個(gè)人招了，那么你得被判10年，另一個(gè)人被釋放。如果兩個(gè)人都招，警方證據(jù)就足了，兩人都判8年。至於兩個(gè)人都不招的情況，不用警方交代，兩個(gè)人都得判，但因證據(jù)不力，判得都要輕許多，比如1年。警方最后說(shuō)，那邊還有個(gè)警察，對(duì)你的同伙交代一模一樣的政策呢。

對(duì)于囚徒A和囚徒B來(lái)說(shuō)，其雙方想法如下：

(1)如果對(duì)方招了，我招是8年，不招是10年，還是招劃算。

(2)如果對(duì)方不招，我招是無(wú)罪釋放，不招是1年，還是招劃算。

(3)如果對(duì)方不招，我招是無(wú)罪釋放，不招是1年，還是招劃算。

下面可將雙方整個(gè)博弈過(guò)程的結(jié)果用一矩陣形式表示出來(lái)。這種矩陣稱為博弈的“得益矩陣（支付矩陣）”。

表1A與B的得益矩陣

由于法庭對(duì)罪犯分別審訊，因而該問(wèn)題還可以歸結(jié)為非合作博奕模型。

其中，局中人集合，1代表囚徒A，2代表囚徒B。兩個(gè)人具有相同的策略集合:，其中C代表坦白，D代表抗拒的策略。對(duì)于策略組合兩個(gè)局中人的支付函數(shù)如下:

由支付函數(shù)可以看出，囚徒A的策略是坦白，囚徒B的最佳策略也是坦白，故納什均衡點(diǎn)為（坦白，坦白）。

在囚徒困境中，每個(gè)參與人都能猜出對(duì)方的策略，故稱這種納什均衡為純戰(zhàn)略納什均衡。

囚徒困境反映了一個(gè)很深的問(wèn)題，這就是個(gè)人理性與集體理性的矛盾。即使兩個(gè)囚徒在被警察抓住之前建立一個(gè)攻守同盟（死不坦白），這個(gè)攻守同盟也沒(méi)有用，因?yàn)樗粯?gòu)成納什均衡，沒(méi)有個(gè)人要積極性遵守協(xié)定。

囚徒困境問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)學(xué)上也有著廣泛的應(yīng)用，例如：兩個(gè)寡頭企業(yè)選擇產(chǎn)量的博弈。如果兩企業(yè)聯(lián)合起來(lái)形成卡特爾，選擇壟斷利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，每個(gè)企業(yè)都可以得到更多的利潤(rùn)。但卡特爾協(xié)定并不是一個(gè)納什均衡，因?yàn)榻o定對(duì)方遵守協(xié)議的情況下，每個(gè)企業(yè)都想增加生產(chǎn)，結(jié)果是，每個(gè)都只能得到納什均衡產(chǎn)量的利潤(rùn)，它嚴(yán)格小于卡特爾產(chǎn)量下的利潤(rùn)。

二、純戰(zhàn)略納什均衡在經(jīng)濟(jì)生活中的具體運(yùn)用

1.偷水問(wèn)題

針對(duì)盜水現(xiàn)象，供水部門(mén)常采用罰款的手段處理那些被發(fā)現(xiàn)的盜水用戶，但隨著居民的科技文化水平的提高，盜水手段越來(lái)越高明，因此被發(fā)現(xiàn)的概率越來(lái)越小，那么采用通常的罰款手段對(duì)防止用戶盜水的作用越來(lái)越微弱，看來(lái)利用新的經(jīng)濟(jì)原理、采取新的制裁措施顯得尤為必要了。

假定用戶每家都有一個(gè)水表，而且每家實(shí)際用水沒(méi)有通過(guò)此水表。假定水表測(cè)量準(zhǔn)確無(wú)誤。

(1)設(shè)N家總水表測(cè)出的實(shí)際用水量為A。

(2)第i家水表所示用水量為，B為N家盜水總和。

不妨設(shè)每度水的單價(jià)為1元，則供水局對(duì)第i家征收水費(fèi)為即可防止用戶盜水，理由如下：

為說(shuō)明方便，不防簡(jiǎn)化為兩家用戶甲和乙，甲和乙都有兩種策略選擇：偷水和不偷水，在甲和乙之間就形成了一場(chǎng)博弈。

設(shè)甲和乙的實(shí)際用水量分別為和，偷水量分別為和，相應(yīng)的得出甲和乙的得益矩陣：

表2 甲和乙的得益矩陣

可見(jiàn):(1)對(duì)甲來(lái)說(shuō)，在不做損人而不利己的事的前提下，他會(huì)選擇不偷水，因?yàn)榧兹暨x擇偷水，則他期望乙不要偷水，此時(shí)他的最大利益為0，既然利益為0，他選擇不偷水也可以達(dá)到，又何必勞神又費(fèi)事。甲若選擇不偷水，乙必定也會(huì)選擇不偷水，因?yàn)榇藭r(shí)乙無(wú)論偷水還是不偷水，利益都為0，在不做損人而不利己的事的前提下乙必定會(huì)選擇不偷水。

(2)對(duì)乙來(lái)說(shuō)，由于同樣的道理，他也會(huì)選擇不偷水這一策略。這樣，（不偷水，不偷水）就成了一個(gè)純戰(zhàn)納什均衡點(diǎn)。甲和乙誰(shuí)改變策略都得不到好處，當(dāng)然就會(huì)維持均衡點(diǎn)，那么這個(gè)均衡就是相當(dāng)穩(wěn)定的，這樣供水部門(mén)也達(dá)到了防止用戶偷水的目的。

另外，即使有人做損人而不利己的事，供水局也有辦法對(duì)付，那就是對(duì)第i家征收水費(fèi)為，其中．即可達(dá)到目的。同樣，以兩家用戶為例，此時(shí)用戶i所收水費(fèi)，同樣地可得出甲和乙的得益矩陣。

表3 甲和乙的得益矩陣

顯然，對(duì)甲和乙來(lái)說(shuō)為了使自己得益最大，都會(huì)不約而同的選擇不偷水．對(duì)于多個(gè)用戶同樣可以進(jìn)行分析，最后所有的用戶都會(huì)選擇不偷水的策略。因此供水部門(mén)只需任意選擇一個(gè)大于1的a，宣布對(duì)用戶i征收的水費(fèi)即是防止用戶偷水的有效措施。

接下來(lái)，談?wù)剬?duì)偷水用戶進(jìn)行一次性罰款和對(duì)偷水量由N家共同分?jǐn)傋龇ǖ臒o(wú)效性．

供水局若發(fā)現(xiàn)偷水戶i則往往采取一次性罰款M，對(duì)用戶i來(lái)說(shuō)：

(1)不偷水，得益為0；

(2)偷水，若被發(fā)現(xiàn)，得益為；

(3)偷水，若被發(fā)現(xiàn)，得益為．但是用戶偷水被發(fā)現(xiàn)的概率往往是很小的。

假設(shè)被發(fā)現(xiàn)的概率為P，則用戶i偷水損益的期望值為：

因此只有，即時(shí)才能使用戶不偷水。

假設(shè)偷水被發(fā)現(xiàn)的概率為1%，用戶偷水=100，則罰款M>1000元才可能使用戶不偷水。因此一般性的罰款并沒(méi)有達(dá)到應(yīng)有的目的。

由上可知，利用純戰(zhàn)略納什均衡理論對(duì)日常生活中的一些實(shí)際現(xiàn)象確實(shí)可以進(jìn)行一定的定量分析，以此做出更好的決策安排。但是本文探討的只是博弈論的一個(gè)很小的方面，對(duì)于均衡問(wèn)題中的子博弈精煉納什均衡等問(wèn)題本文沒(méi)有討論。對(duì)于納什均衡還可以進(jìn)一步進(jìn)行推廣。如日常生活中，小到下棋打牌，大到企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)與合作，國(guó)家之間的傾銷與反傾銷、制裁和報(bào)復(fù)等，都可以歸結(jié)為博弈問(wèn)題。

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