題目 一束由紅、藍(lán)兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角θ射入，穿過玻璃磚自下表面射出。已知該玻璃對紅光的折射率為1．5。設(shè)紅光與藍(lán)光穿過玻璃磚所用的時間分別為t1和t2，則在θ從0°逐漸增大至90°的過程中

A．t1始終大于t2。

B．t1始終小于t2。

C．t1先大于后小于t2。

D．t1先小于后大于t2。

分析 本題是2008年全國Ⅰ高考理科綜合試卷第21題，是一道幾何光學(xué)選擇題?？疾鞂W(xué)生對光的折射定律、光的色散基礎(chǔ)知識的掌握。解答此題的思路是正確推導(dǎo)出時間的表達(dá)式，并采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法比較時間的大小。

設(shè)玻璃磚的厚度為d，折射角為r，紅光折射率為n1，藍(lán)光折射率為n2，光在真空中的速度為c。則：光穿過玻璃的時間

t=Sv=ndccosr

上式中有兩個變量，紅光的折射率比藍(lán)光的小，即n1＜n2；而紅光的折射角比藍(lán)光大，即r1＞r2，可得：cosr1＜cosr2，于是無法比較t1、t2的大小。因此必須替代其中一個變量，推導(dǎo)出只有一個變量的表達(dá)式。由于有兩個變量，因此就有兩種思路。

解題思路1 替代變量cosr

由n=sinθ/sinr，sinr2+cos2r=1得：

cosr=1-sin2θn2=n2-sin2θn

則時間：t=n2dcn2-sin2θ

式中紅、藍(lán)兩單色光的入射角θ是相等的，因此只要分析變量n。但由于分子、分母都有這個變量，仍然無法得出結(jié)論。不少考生就卡在此處了。

解法1 特殊值排除法

設(shè)θ=0°，則t=ndc得t1＜t2，排除AC選項。設(shè)θ=90°，則t=n2dcn2-1，已知n1=1.5可設(shè)n2=1.6代入表達(dá)式可得t1＜t2，排除D選項，最后得出答案選B。特殊值排除法用時少，但比較實用，是考生在考試中較多采用的一種方法。

解法2 數(shù)學(xué)函數(shù)分析法

t=n2dcn2-sin2θ=dc1n2-1n4sin2θ

設(shè)x=1n2，得出

t=dcx-x2sin2θ

構(gòu)建二次函數(shù)

y=x-x2sin2θ

=-(xsinθ-12sinθ)2+14sin2θ

當(dāng)x=x0=12sin2θ時，y為最大值；當(dāng)y=

0時，x=0或x=x1=1sin2θ。且t＞0則y＞0。

畫出函數(shù)圖像如圖1。

根據(jù)函數(shù)圖像討論：

（1）當(dāng)x＜x0時，函數(shù)單調(diào)遞增，即：1n2＜12sin2θ，得出sinθ＜n2，而題中的紅光、藍(lán)光的折射率都大于2，滿足sinθ＜n2，所以函數(shù)y=x-x2sin2θ在此題情景下單調(diào)遞增。那么：n1＜n2時x1＞x2，有y1＞y2，得t1＜t2。答案選B。

（2）當(dāng)x＞x0時，函數(shù)單調(diào)遞減，即：

1n2＞12sin2θ，

得：sinθ＞n2，此式不合題意，舍去。

數(shù)學(xué)函數(shù)分析法對考生的數(shù)學(xué)能力要求較高，適用于數(shù)學(xué)能力強(qiáng)，思維敏捷的考生。

解題思路2 替代變量n

由n=sinθ/sinr，得：

t=ndccosr=dsinθcsinrcosr=2dsinθcsin2r

式中紅、藍(lán)兩單色光的入射角θ是相等的，因此只要分析變量r，且只有分母有這個變量，顯然可以討論得出結(jié)論。

當(dāng)2r＜90°時，即r＜45°時，sin2r隨r的增大而增大。而題中的紅光、藍(lán)光的折射率都大于2，則紅光與藍(lán)光的折射角r＜45°，所以可得：r1＞r2，即t1＜t2，答案選B。

解題思路2顯然比解題思路1簡單得多，但大部分的考生并沒有采用，原因是認(rèn)為n為已知量而不去替代，而下意識的去替代cosr。事實上，不管是n還是cosr，在表達(dá)式中都是變量，我們可以根據(jù)具體情況替代其中任意一個變量。

通過此題解析，提醒教師在習(xí)題課教學(xué)中，應(yīng)注重學(xué)生思維訓(xùn)練，要注意引導(dǎo)學(xué)生從多方面、多角度對題目進(jìn)行分析，找出解題的多種途徑，這樣有利于學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，有利于基礎(chǔ)知識、基本方法的鞏固和提高。

(欄目編輯陳 潔)