一、引言

對(duì)金融工具進(jìn)行正確的估價(jià)是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效管理的必要條件，而金融工具具有公平的價(jià)格是它們合理存在與發(fā)展的關(guān)鍵。我們常用的幾何布朗運(yùn)動(dòng)所描述的證券價(jià)格的變化過(guò)程是連續(xù)的。但從金融市場(chǎng)發(fā)展的歷史來(lái)看，證券價(jià)格的變化過(guò)程經(jīng)常會(huì)受一些不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)事件破壞，如受金融危機(jī)，股市崩盤(pán)等的影響，產(chǎn)生劇烈的波動(dòng)，而具有向上或向下的不連續(xù)的跳躍。為了更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)證券價(jià)格的波動(dòng)和走勢(shì)，可以把價(jià)格的變化過(guò)程分解為跳躍過(guò)程與布朗運(yùn)動(dòng)的疊加，而且假定跳躍部分與連續(xù)部分是相互獨(dú)立的。因此我們就利用滲流理論建立了一種具有跳躍性質(zhì)的股票價(jià)格模型。

二、帶跳躍的股票價(jià)格模型的構(gòu)造

1.連續(xù)過(guò)程

我們根據(jù)滲流理論來(lái)構(gòu)造股票價(jià)格模型。假定有N個(gè)投資者，且其中投資者i(i=1，…，N)持有Mi種股票B1i，…，BMii。例如:當(dāng)M1=…=MN=2且B11=B22，B12=B23，…，B1N-1=B2N，B1N=B21時(shí)，市場(chǎng)上有N種股票，此時(shí)的市場(chǎng)構(gòu)造可由一位環(huán)面S1表示（如圖1）。同理若在二維空間S2上（如圖2），有N×N個(gè)投資者，每個(gè)投資者(i，j)，1≤i，j≤N-1持有4種股票B(i+1，j）(i，j)，B(i-1，j）(i，j)，B(i，j+1）(i，j)，B(i，j-1）(i，j)，假定投資者(i，N)持有股票B(i，1）i，N來(lái)代替B(i，N+1）(i，N)，(N，j)持有股票B(1，j)(N，j)。令B(k，l)(i，j)=B(i，j)(k，l)，即每個(gè)投資者與他四個(gè)鄰居中的一個(gè)僅持有一種相同的股票，在邊界上的投資者與他相對(duì)邊上的投資者持有相同股票（例如，投資者(i，N)與投資者(i，1)都持有股票B(i，1)(i，N)）。假設(shè)每個(gè)投資者眼界是有限的，即他們都只關(guān)心自己所持有的股票及該股票的價(jià)格指數(shù)，而對(duì)自己所不持有的股票不感興趣，且假定投資者投資組合的內(nèi)容不變。

設(shè)在t天，投資者在二維空間上以強(qiáng)度λ的Poisson點(diǎn)過(guò)程產(chǎn)生點(diǎn)集分布，記為{X(i，j)(r)，i，j∈I}。相鄰接的投資者集合構(gòu)成一個(gè)滲流連接串，設(shè)集合{X(i，j)(t)，i，j∈I}共構(gòu)成K(t)(K(t)＜∞)個(gè)滲流連接串，分別記作C1(t)，C2(t)，…，CK(t)(t)，其中K(t)為一服從泊松分布的隨機(jī)變量且參數(shù)是λ0。將投資者的狀態(tài)用η(Xi，j)(t))表示，即若投資者預(yù)測(cè)股市上漲或下跌時(shí)η(X(i，j)(t))分別為+1或-1，預(yù)測(cè)股市保持不變時(shí)η(X(i，j)(t)=0)。

下面分三步來(lái)構(gòu)造收益過(guò)程。在每一個(gè)周期中，對(duì)于t≤T

第一步:在每一個(gè)串Ck(t)，k=1，2，…，K(t)中隨機(jī)的選取一個(gè)投資者，用X(i，j)(Ck(t))表示，他以α/2的概率預(yù)測(cè)股市會(huì)上漲或下跌，以1-α的概率預(yù)測(cè)股市保持不變。當(dāng)他預(yù)測(cè)股市會(huì)上漲或下跌時(shí)，會(huì)相應(yīng)的買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出他所持有的股票B1i，…，BMii，當(dāng)他預(yù)測(cè)股市不會(huì)變化時(shí)，將保持中立。即η(X(i，j)(Ck(t))=1或者-1的概率都為α/2，η(X(i，j)(Ck(t))=0的概率為1-α。同時(shí)將這個(gè)投資者所在串的狀態(tài)記作+1，-1或0，用sgn(Ck(t))表示。

圖1 環(huán)形圖

Fig。1 The 1-dimensional tours

圖2 二維方格圖

Fig。2 Thenetwork of structure of the market

第二步:看到交易者X(i，j)(t)買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出股票，與之持有相同股票的鄰居X(jué)(k，l)(t)能以一定的概率判斷出股市將要上漲、下跌或是保持不變。即:如果交易者X(i，j)(t)買(mǎi)進(jìn)，其鄰居將以概率pu認(rèn)為股市上漲，以概率1-pu認(rèn)為股市保持不變。如果交易者X(i，j)(t)賣(mài)出股票，其鄰居將以概率pd認(rèn)為股市下跌，以概率1-pd認(rèn)為股市保持不變。當(dāng)鄰居X(jué)(k，l)(t)認(rèn)為股市上漲或下跌時(shí)，他也會(huì)相應(yīng)的買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出股票。如果交易者X(i，j)(t)保持中立，則其鄰居也都保持中立，即P(η(X(k，l)(t))=0)=1。其中，pu和pd都被假定為股票價(jià)格指數(shù)S的函數(shù):pu=pu(S(t))為遞減函數(shù)，pd=pd(S(t))為遞增函數(shù)。

第三步:以St表示t時(shí)刻的股票價(jià)格指數(shù)，以R表示股票價(jià)格指數(shù)的收益率。則在串Ck(t)上就有

Rk(t)=ln(St/ΔSt)=ρ×sgn(Ck(t))×|Ck(t))|(1)

其中ΔSt=St-St-1;ρ為正常數(shù)，表示市場(chǎng)參數(shù);|Ck(t)|為串Ck(t)中交易者的數(shù)量。sgn(Ck(t))表示串Ck(t)的狀態(tài)。

(2)跳躍過(guò)程

設(shè)兩相鄰?fù)顿Y者間可傳播消息的概率為p。得到利好或利空消息的投資者將會(huì)買(mǎi)入或賣(mài)出自己投資組合中的全部股票，從而對(duì)股市行情產(chǎn)生影響。用C(x)表示得到消息的投資者集合，C(x)為所有投資者的集合，顯然C(x0)C(x0)，因此有0≤|C(x0)|≤|C(x0)|。

考慮n天作為一個(gè)時(shí)間周期，{Nn}為n的非降序列，在平面[-Nn，Nn]2上，用Cs表示在第s天形成的Poisson點(diǎn)集，在這一天的初始時(shí)刻，位于x0處的投資者以概率α，β(α+β≤1)及1-α-β收到好，壞或中立的消息。我們假設(shè)市場(chǎng)總體處于上升趨勢(shì)，因此不妨設(shè)α≥β，并記消息為gs，且有g(shù)s=+1(若x0處的投資者收到好消息)，gs=-1(收到壞消息)，gs=0(收到中立的消息或者沒(méi)有受到任何消息)。則此消息在鄰居間以概率p傳播開(kāi)。記ks=k(λs)為一個(gè)系數(shù)，表示消息的強(qiáng)弱程度。設(shè)

As=gs·ks·|Cs(x0)|/|Cs(x0)|(3)

現(xiàn)在來(lái)討論該模型。為了方便討論，我們將該構(gòu)造連續(xù)化。設(shè)t∈[0，1]，則[nt]∈[0，n]，其中，[·]表示不小于數(shù)·的最小整數(shù)。定義

W[nt]=1/n∑[nt]s=1As=1/n·∑[nt]s-1gs·ks·|Cs(x0)|/|Cs(x0)|

則由各個(gè)時(shí)刻的獨(dú)立性，得

E[eizcW[nt]]=∏[nt]s=1[1+izc/n·E[As]-z2c2/2n·E[As2]+o(1/n)]

以下我們分三種情況來(lái)討論(見(jiàn)文獻(xiàn)[7，8])，設(shè)0＜τn1＜τn2＜1（τn1，τn2為服從參數(shù)為n，λ的Γ分布隨機(jī)變量。），則

(a)當(dāng)0≤t≤τn1時(shí)，設(shè)λs=λ0＜λc，s=1，2，…，[nτn1]由連續(xù)滲流理論，此時(shí)在n→∞，即Nn→∞時(shí)，不存在無(wú)窮的滲流連接串。即可認(rèn)為消息的影響較小，只有在有限的范圍內(nèi)傳播。由于p≤1，因此對(duì)股票價(jià)格的影響不大。

(b)當(dāng)τn1＜t≤τn2時(shí)，設(shè)δ1為一個(gè)充分小的正常數(shù)，λs=λsup=λc+δ1，此時(shí)ks=1，在R²上存在無(wú)窮的滲流連接串，由于消息在這個(gè)無(wú)窮串上得到廣泛傳播，其影響力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他串，可以認(rèn)為這時(shí)的市場(chǎng)出現(xiàn)了重大的利好或利空消息，因此指數(shù)的波動(dòng)主要取決于無(wú)窮串上消息的傳播，其他串上消息的傳播則可忽略不計(jì)。由連續(xù)滲流的平移不變性，不妨將此無(wú)窮串記為C(x0)。首先，在λ≥λc下，定義pc(λ)

pc(λ)=inf{p:在C（x0)上存在子串C（x1)滿(mǎn)足|C（x1)|=∞|}

先來(lái)看ps＜pc(λsup）的情況。設(shè)p0＜pc(λsup），取

εn=1[nτn2](pc(λsup)-p0)

令ps=pn=pc(λsup)-εn，再構(gòu)造

Nn=inf{N∈N:Eλsup，pn(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)≤1/n}

顯然Nn為非降序列。因此在[-Nn+1，Nn-1]2中，我們有

Eλsup，pn(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)≤1/n，limn→mEλsup，pn(|Cs(x0)|2/|Cs(x0)|2)=0

可知由于消息只掌握在少數(shù)人手中而沒(méi)有大面積傳開(kāi)，則它所造成的影響有限，只能產(chǎn)生很小的波動(dòng)?？稍O(shè)α＝αs，β=βs滿(mǎn)足

E[As]=(αs-βs)ksE(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)=1/n

于是有

limn→∞Eeizc(W[nt]-W[nτn1]+1)=exp{izc(t-tn1}，τn1＜t≤τn2(4)

(c)當(dāng)τn2＜t≤1時(shí)仍設(shè)λs=λsup，而另取一個(gè)充分小的正常數(shù)δ2，令ps=psup=pc(λsup)+δ2，則在無(wú)窮串C(x0)上存在一個(gè)無(wú)窮子串C(x1)，由連續(xù)滲流理論知此時(shí)股票價(jià)格指數(shù)會(huì)產(chǎn)生劇烈的波動(dòng)。仍然只關(guān)心這個(gè)無(wú)窮子串而將其他子串忽略不計(jì)，因此不妨再利用平移不變性，設(shè)x1=x0。此時(shí)，令

c1=Eλsup，psup(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)，c2=Eλsup，psup(|Cs(x0)|2/|Cs(x0)|2)

則c1≥0，c2≥0設(shè)α=αs，β=βs滿(mǎn)足αs+β=1，αs-βs=1/n，此時(shí)

limn→∞Eeizc(W[nt]-W[nτn2]+1)=exp{(izcc1-z2c2c2/2)(t-τn2)}，τn2＜t≤1(5)

綜上，我們可以認(rèn)為，在每一個(gè)跳躍點(diǎn)n，股市會(huì)產(chǎn)生一個(gè)振幅為c2As的小跳躍或者產(chǎn)生一個(gè)振幅為cAs的大跳躍，其中c為正常數(shù)。令

ξt1=∑ts=1c2As，ξt2=∑ts=1cAs(6)

則我們就得到股票價(jià)格的指數(shù)為

S(t)=S(0)exp∑ts=1∑k(s)k=1[Rk(s)]+ξt1I(τn1，τn2](s) +ξt2I(τn2，1](s)

=S(0)exp∑ts=1∑k(s)k=1[Rk(s)]

+∑ts=1c2AsI(τn1，τn2](s)+∑ts=1cAsI(τn2，1](s)(7)

其中IA(t)為示性函數(shù)，即IA(t)=1，t∈A0，tA。

若令J(t)=eξt1Iτn1，τn2](t)，對(duì)于0＜t＜1，由式(4)，(5)可以得到

E[J(t)]=ect2·Iτn1，τn2](t)+cc1t·I(τn2，1](t)

Var[J(t)]=ec2c2t·I（τn2，1](t)(8)

且對(duì)于Rk(t)，我們可以得到

μ(s)=λ0as 0＜s＜1(9)

σ2(s)=0 0＜s＜1/2r0λ0 1/2≤s＜1(10)

則由式(8-10)有

E[S(t)]=S(0)eλ0at+ct2·I(τn1，τn2](t)+cc1t·I（τn2，1](t)0＜t＜1/2

S(0)eλ0at+r0λ0/2+ct2·I(τn1，τn2](t)+cc1t·I（τn2，1](t) 1/2≤t＜1

三、無(wú)套利價(jià)格

由套利定理，如果所有的期權(quán)相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)中立概率都被公平定價(jià)，那么套利就不可能存在。當(dāng)一個(gè)股票的初始價(jià)格為S0時(shí)，令C（S0，t，K)表示到期日是t，執(zhí)行價(jià)格是K的期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格。也就是說(shuō)，C(S0，t，K)就是當(dāng)初始價(jià)格為S0時(shí)由Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式所計(jì)算出的C，如果在時(shí)刻y，標(biāo)的證券的價(jià)格是S(y)=Sy，那么C(S0，t-y，K)就是期權(quán)在時(shí)刻y時(shí)的唯一無(wú)套利價(jià)格。這是因?yàn)樵跁r(shí)刻y，期權(quán)會(huì)在經(jīng)過(guò)時(shí)間t-y后以相同的執(zhí)行價(jià)格K到期，并且在下面t-y個(gè)單位時(shí)間內(nèi)該證券仍然會(huì)服從初始價(jià)格為Sy的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。由于風(fēng)險(xiǎn)中立幾何布朗運(yùn)動(dòng)僅依賴(lài)于σ的變化，因此期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的依賴(lài)性?xún)H僅是通過(guò)對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)參數(shù)σ的依賴(lài)來(lái)體現(xiàn)的，而與漂移參數(shù)無(wú)關(guān)。如果我們假定證券價(jià)格演化過(guò)程服從的幾何布朗運(yùn)動(dòng)分布的波動(dòng)率σ不變，而漂移參數(shù)是隨時(shí)間變化的，那么期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格也是不變的。我們知道，一個(gè)到期日是t，執(zhí)行價(jià)格是K的歐式買(mǎi)入期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格為

無(wú)套利價(jià)格=e-rtE[J(t)S0eW-K)+]

其中，S0為股票的初始價(jià)格，W是個(gè)均值為(r-σ2/2-c/2·I（τn1，τn2](t)-cc1·I(τn2，1(t))t，方差為tσ2的正態(tài)隨機(jī)變量。如果令

st=S0e-ct2·I(τn1，τn2](t)-cc1·I（τn2，1](t)=S0E[J(t)]

那么

無(wú)套利價(jià)格E[C(stJ(t)，t，K，σ，r)]

由于C(s，t，K，σ，r)關(guān)于s為凸函數(shù)，根據(jù)已知的詹森（Jensen）不等式得到

E[C(stJ(t)，t，K，σ，r)]≥C(E[stj(t)]，t，K，σ，r)=C(S0，t，K，σ，r)

這表明跳躍模型中的無(wú)套利價(jià)格，不會(huì)比同樣模型無(wú)跳躍時(shí)的價(jià)格低。

利用下面的方法我們可以得到此無(wú)套利價(jià)格的近似值。首先把C(x)=C(x，t，K，σ，r)只看作是的函數(shù)（其他變量保持不變），把它在某個(gè)點(diǎn)x0按泰勒級(jí)數(shù)張開(kāi)，然后忽略不計(jì)第三項(xiàng)以后的全部項(xiàng)得到

C(x)≈C(x0)+C′(x0)(x-x0)+C″(x0)(x-x0)2/2

因此，對(duì)于任何非負(fù)的隨機(jī)變量，我們有

C（X)≈C(x0)+C′(x0)(X-x0)+C″(x0)(X-x0)2/2

令x0=E[X]并對(duì)上式左右兩邊同時(shí)取期望得到

E[C(X)]≈C(E[X])+C″(E[X])Var(X)/2

令

X=stJ(t)，E[X]=S0

則

E[C(stJ(t))]≈C(S0)+C″(S0)s2tVar(J(t))/2

定理:假設(shè)跳躍的大小服從一般的分布，那么

期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格=E[C(stJ(t)，t，K，σ，r)]≥C(S0，t，K，σ，r)

而且

期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格≈C(S0，t，K，σ，r)+s2tVar[J(t)]12S0σ2πte-2/2

=C(S0，t，K，σ，r)+S20Var[J(t)]E2[J(t)]12S0σ2πte-2/2

其中:st=S0/E[J(t)]，=rt+σ2t/2-log(K/S0)σt。

由定理，在我們所構(gòu)造的模型中，就有

期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格=C(S0，t，K，σ，r)+S20ec2c2t·I(τn2，1](t)-(ct2·I(τn1，τn2)(t)+cc1t·I(τn2，1)(t))212S0σ2πte-2/2

四、結(jié)語(yǔ)

根據(jù)滲流理論，構(gòu)造了股票價(jià)格波動(dòng)過(guò)程中的連續(xù)過(guò)程與跳躍過(guò)程，并對(duì)模型的無(wú)套利價(jià)格進(jìn)行了估算。本文希望所建立的證券價(jià)格隨機(jī)模型更加接近實(shí)際問(wèn)題，希望該模型的建立對(duì)我們研究實(shí)際價(jià)格波動(dòng)具有一定的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70471001;70771006);北京交通大學(xué)基金項(xiàng)目(2006XM044)

（作者單位：北京交通大學(xué)理學(xué)院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文