山東教育出版社(2006)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級下冊(以下簡稱“魯教版(2006)數(shù)學(xué)八年級下冊”)77頁“試一試”：

已知：如圖1，平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線與AD相交于點P，求證：PD+DC=BC.

這道題的解答過程如下：因為平行四邊形ABCD中，AD∥BC，所以∠APB=∠PBC，因為BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠PBC，所以∠APB=∠ABP，所以AB=AP……第一步；因為平行四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，所以BC=AD=AP+PD=AB+PD=CD+PD……第二步.

本題實際上是證明“兩條較短的線段的和等于一條較長線段”的問題，我們可以簡稱為“線段和”問題，此題給出了證明“線段和”問題的基本思路：將兩條較短線段或較長線段分別用與它們相等的量進(jìn)行代換，而新的等量關(guān)系易于證明. 現(xiàn)行教材中“線段和”問題很多，常用的證明方法有以下三種.

1 從已有條件尋找等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換

1.1 “試一試”解答過程有一個基本規(guī)律：遇到角平分線和平行線相結(jié)合的圖形馬上得到一個等腰三角形，然后進(jìn)行等量代換，使命題得證. 這一規(guī)律有著廣泛的應(yīng)用.

將“試一試”中平行四邊形ABCD的邊CD向左平移與AP相交得到：

例1 如圖2，在平行四邊形ABCD中，如果∠ABC的平分線與AD的延長線相交于點P，猜想PD、DC、BC有何關(guān)系?并證明你的結(jié)論. (PD+BC=DC)

例2 如圖3，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E. 求證：BD+EC=DE.

例3 如圖4，△ABC中，I是角平分線BE和CF的交點，MN經(jīng)過I，平行于BC，交AB于點M，交AC于點N. 求證：MN=BM+CN.

例4 如圖5，EF是梯形ABCD的中位線，AF平分∠DAB. 求證：AD=2EF(魯教版(2006)數(shù)學(xué)八年級下冊136頁第29題).

這里的“AD=2EF”，可以看作“AD=EF+EF”，先證出AE=EF，因為AD=2AE，所以AD=2EF. 此題還可以改為：如圖5，EF是梯形ABCD的中位線，AF平分∠DAB，求證：AB+DC=AD. 改后的題目既具有“線段和”問題的特征，又增加了梯形中位線定理的內(nèi)容.

1.2 通過全等三角形、等腰直角三角形等知識尋找等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換

例5 如圖6，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點E. (1)已知CD=4，求AC的長；(2)求證：AB=AC+CD(魯教版(2006)數(shù)學(xué)八年級下冊31頁例1).

分析 先證出△ACD≌△AED(AAS)得AC=AE，CD=DE，再證△BDE為等腰直角三角形得DE=BE，所以CD=BE，所以AB=AE+BE=AC+CD.

例6 如圖7，正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，EF⊥AC交BC于F，求證：AB+BF=AC.

例7 如圖8，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，AM⊥EF，垂足為M，AM=AB，求證：EF=BE+DF.

證明 連結(jié)AE、AF，分別證△ABE≌△AME(HL)和△ADF≌△AMF(HL)得BE=EM，DF=MF，所以EF=EM+MF=BE+DF.

例6是將例5放到正方形ABCD中，等腰直角三角形ABC變成了隱含條件，例7則是將例6進(jìn)一步改編，通過兩組全等三角形找到等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換.

2 利用截長補短法，構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換

將例5去掉條件“DE⊥AB”成為：

例8 已知AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，AD是角平分線，求證AC+CD=AB.

證法1 如圖9，過點D作DE⊥AB于E，就成為上面的例5的第(2)問，這種方法是將較長線段AB截成了AE和BE兩段，然后證明這兩段分別和等號左邊的AC和CD相等，從而命題得證. 我們稱這種方法為“截長法”.

證法2 如圖10，延長AC至F，使AF=AB，連結(jié)FD，先證出△AFD≌△ABD(SAS)，得∠F=∠B=45°，再通過△CDF是等腰直角三角形得CF=CD. 所以AC+CD=AC+CF=AF=AB，這種方法是將一條較短線段AC補了一塊CF后與較長線段AB相等，再證所補的線段CF恰好等于另一條較短線段CD，從而命題得證. 我們稱這種方法為“補短法”，在證明“線段和”問題時，如果不能直接找出等量關(guān)系，可考慮用“截長法”或用“補短法”構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換.

本例中由于∠C=90°，∠B=45°所以∠C=2∠B，即其中一個角是另一個角的2倍，將此題擴展為一般形式得：

例9 △ABC中，∠B=2∠C，AD是角平分線，求證：AB+BD=AC.

證明 (1)截長法：如圖11，在AC上截取AE=AB，連結(jié)DE，先證△ABD≌△AED(SAS)得BD=DE，∠B=∠AED，再由∠AED=∠B=2∠C，證出∠EDC=∠C，所以BD=DE=EC，所以AB+BD=AE+EC=AC.

(2)補短法：如圖12，延長AB至F，使AF=AC，先證△AFD≌△ACD(SAS)得∠F=∠C，再證∠F=∠BDF，所以BF=BD，所以AB+BD=AB+BF=AF=AC.

將例9中的條件“AD是角平分線”改為“AD是高”，便成為：

例10 如圖13，△ABC中，∠B=2∠C，AD是高. 求證：AB+BD=CD.

分析 (1)用截長法：在DC上截取DE=BD，連結(jié)AE；(2)用補短法：延長DB至F，使DF=DC證明過程略.

圖13例11 在△ABC中，AB=AC，CD是邊AB上的高，M是BC上任意一點，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別是點E、F求證：ME+MF=CD(魯教版(2006)數(shù)學(xué)八年級下冊136頁30題(1)).

證明 (1)截長法：如圖14，過點M作MG⊥CD交CD于G，先證四邊形DEMG是矩形得DG=EM，再證△MGC≌△CFM(AAS)得MF=CG，所以ME+MF=DG+CG=DC.(2)補短法：如圖15，過點C作CH⊥EM交EM延長線于H，先證四邊形DEHC是矩形得EH=DC，再證△CHM≌△CFM(AAS)得MF=MH，所以ME+MF=ME+MH=EH=DC.

將例11的條件“△ABC”改為“梯形ABCD”變?yōu)椋?/p>

例12 如圖16，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，P為BC上任一點，PE⊥AB，PG⊥CD，CF⊥AB求證：PE+PG=CF. 證明方法同例11.

例13 如圖17，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分線CD交AB于點E，∠BDC=90°，求證：CE=2BD(魯教版(2006)數(shù)學(xué)八年級下冊134頁第10題).

分析 采用補短法，可將結(jié)論看作是CE=BD+BD. 延長BD交CA的延長線于點F，分別證明△CEA≌△BFA(ASA)和△BDC≌△FDC(ASA)得CE=BF，BD=DF，所以CE=BF=BD+DF=2BD.

例14 如圖18，梯形ABCD中，AB∥DC，E是腰AD的中點，且BE⊥CE求證：AB+DC=BC.

證明 采用補短法，延長CE交BA的延長線于點F，通過全等三角形證出DC=AF，BF=BC，所以AB+DC=AB+AF=BF=BC.

例15 如圖19，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，并且AF平分∠EAD，求證：BE+DF=AE.

分析 采用補短法，延長EB至G，使BG=DF通過全等三角形證出DF=BG，再證明∠GAE=∠BAF=∠AFD=∠G，所以AE=GE，所以BE+DF=BE+BG=GE=AE.

例8～例12都可以用“截長法”和“補短法”兩種方法解答，但是例13～例15由于條件所限或考慮解答的難易程度，適宜采用一種方法解答. 因此用“截長補短”法證明“線段和”問題，應(yīng)根據(jù)具體問題具體分析，靈活選用.

3 面積證法

有的“線段和”問題用上述兩種思路解答不出來時，還可以考慮采用面積證法，往往起到“事半功倍”的效果.

作者簡介：楊永利，男，1975年3月生，山東文登人.中教一級. 主要研究方向為：初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革、教材教法、思路方法技巧. 2007年10開始參與兩項威海地級課題《家庭教育研究》、《推行賞識化教學(xué)，構(gòu)建生命化課堂》研究，承擔(dān)重要研究工作. 發(fā)表論文多篇.

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