初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試專題復(fù)習(xí)是在完成了數(shù)學(xué)基本知識復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用和解決問題的策略特定類型的問題解決方法進(jìn)行專門概括、提煉和系列應(yīng)用的復(fù)習(xí)教學(xué).專題復(fù)習(xí)與基礎(chǔ)復(fù)習(xí)有聯(lián)系也有區(qū)別，基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的再回顧與再組織，理解、掌握和積累數(shù)學(xué)基本知識的基本應(yīng)用模式，訓(xùn)練數(shù)學(xué)的基本技能，而專題復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)思想方法和解決問題的策略；前者重視從實(shí)證的層次注重解決問題的細(xì)節(jié)，后者重視的是從方法論層次注重解決問題的宏觀計(jì)劃與程序，只要從方法上完成問題的條件與結(jié)論之間的邏輯連結(jié)，就可以認(rèn)為已經(jīng)解決了問題.另一方面，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)與專題復(fù)習(xí)又是相互交叉與相互聯(lián)系的，基礎(chǔ)復(fù)習(xí)是專題復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)，在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中往往包含著數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)與初步歸納，在專題復(fù)習(xí)中又往往需要引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和知識應(yīng)用的基本模式，因此在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段滲透數(shù)學(xué)思想方法和在專題復(fù)習(xí)中恰當(dāng)?shù)丶骖檾?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一種比較合理的復(fù)習(xí)策略.

1 數(shù)學(xué)思想方法和解決問題策略形成和發(fā)展的心理過程

1．1 數(shù)學(xué)思想方法形成和發(fā)展的心理過程

任何數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，必須經(jīng)歷如下的過程：“解決具體問題——反思和總結(jié)——?dú)w納與提煉——應(yīng)用與發(fā)展”，學(xué)生不能從“告知”中體會和掌握數(shù)學(xué)思想方法，只能從體驗(yàn)解決問題過程、反思和總結(jié)解決問題過程中產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想方法.也就是說，學(xué)生是在研究自己的思考和解決問題的過程中產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想方法，這種心理操作是屬于元認(rèn)知的高級認(rèn)知活動的范疇，從而是高級心理過程.這種學(xué)習(xí)活動既具有教育的高價(jià)值又具有復(fù)雜性,學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是從內(nèi)隱的感知到外顯的描述再經(jīng)過練習(xí)變成內(nèi)隱記憶的過程，是在師生的內(nèi)隱知識與外顯知識相互交流和轉(zhuǎn)化中形成的^[1]，如方程思想的本質(zhì)是用不同的含有字母的式子表示同一個(gè)量所形成的相等關(guān)系，學(xué)生必須經(jīng)歷建立方程（組）模型的過程，從中體驗(yàn)建立方程（組）模型時(shí)的圖示分析法、表格分析法和變量關(guān)系分析法，體驗(yàn)方程思想在數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域、其它學(xué)科和生活中的應(yīng)用，在學(xué)生具備了建立方程（組）模型的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和初步體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，歸納建立方程（組）模型的方法—?dú)w納用方差思想解決問題的解題表^[2]，再經(jīng)過進(jìn)行集中的系列訓(xùn)練來鞏固和內(nèi)化方程思想，最后結(jié)合函數(shù)模型的研究，把方程模型納入到函數(shù)模型體系中，實(shí)現(xiàn)方程思想的發(fā)展.

1．2 數(shù)學(xué)問題解決策略的形成和發(fā)展的心理過程

從認(rèn)知心理學(xué)的角度可以把解決問題的策略分為算法和啟發(fā)式，采用算法策略可以保證問題的解決，但是卻需要大量的嘗試. 啟發(fā)法是人根據(jù)一定的經(jīng)驗(yàn)，在問題空間內(nèi)進(jìn)行較少的搜索，以達(dá)到問題解決的一種方法.啟發(fā)法不能保證問題解決的成功，但這種方法比較省力.它有以下幾種策略：（1）手段——目的分析：就是將需要達(dá)到問題的目標(biāo)狀態(tài)分成若干子目標(biāo)，通過實(shí)現(xiàn)一系列的子目標(biāo)最終達(dá)到總的目標(biāo)；（2）逆向搜索：就是從問題的目標(biāo)狀態(tài)開始搜索直至找到通往初始狀態(tài)的通路或方法；（3）爬山法：采用一定的方法逐步降低初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的距離，以達(dá)到問題解決的一種方法.

波利亞在他的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中，提出了數(shù)學(xué)解題思維過程的正方形模型，^[3]如圖1. 在這個(gè)模型中，以問題結(jié)構(gòu)為導(dǎo)向的知識動員與回顧、問題的重新表征、從問題結(jié)構(gòu)中對數(shù)學(xué)基本原理的應(yīng)用結(jié)構(gòu)進(jìn)行模式識別、對解決問題的思路進(jìn)行合理的預(yù)見和進(jìn)行“問題結(jié)構(gòu)——原理”的選擇性聯(lián)想是促成問題解決的關(guān)鍵性心理操作.因此解決問題的策略來自于對數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)分析與數(shù)學(xué)原理性知識的聯(lián)想.羅增儒教授在對數(shù)學(xué)問題解決過程進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了解決數(shù)學(xué)問題的10種策略^[4] .

2 對初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試專題復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)建議

根據(jù)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)對象和復(fù)習(xí)要求的特殊性，對數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)提出下面建議：

（1）設(shè)計(jì)合理的問題系列，在尋求問題的方法層次解決的過程中概括數(shù)學(xué)思想方法并進(jìn)行應(yīng)用思想方法解決問題的活動，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化.如在分類討論思想的專題復(fù)習(xí)中，首先用數(shù)錢問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法論層次的問題解決，再進(jìn)行實(shí)證層次上的問題解決：

例1 如果你面對一堆人民幣，其中有100元、50元、20元、10元、5元、2元、1元面值，你怎樣用最快的速度清點(diǎn)出有多少元錢嗎？

這個(gè)問題具有難度低、生動形象的特點(diǎn)，是分類討論的典型問題，能幫助學(xué)生理解分類討論的思想的本質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值.

在學(xué)生提出解決問題的方法后，讓學(xué)生思考分幾類，為什么分成這幾類，這樣可以讓學(xué)生通過思考發(fā)現(xiàn)“類別種數(shù)是由于人民幣的不同類別面值決定”，理解“問題對象具有不同的類別”是需要進(jìn)行分類討論的原因.在進(jìn)行初步感受的基礎(chǔ)上，思考下面兩個(gè)問題：

例2 如果x^a-2，則a=______,如果一個(gè)半徑為r的圓中有一條長為r的弦,那么這條弦所對的圓周角度數(shù)是______.

例3 如圖2，坐標(biāo)平面上△ABO的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，3），B（-1.8，0），O（0，0）；在這個(gè)平面上有點(diǎn)A′，使以A′、B、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABO全等，求A′點(diǎn)的坐標(biāo).

這三個(gè)例題中,例1是由于對象本身是分類呈現(xiàn)的,因此需要對對象進(jìn)行分類討論,例2是由于數(shù)學(xué)原理本身的分類表述所引起的分類討論,而例3是由于全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)不確定（對象運(yùn)動）所引起的分類討論.通過對這三個(gè)問題解決過程的反思，抽象出應(yīng)用分類討論思想解決問題的解題程序：

在學(xué)生完成對分類討論思想解題程序的概括的基礎(chǔ)上，進(jìn)行具有典型性的系列應(yīng)用：

例4 郵政部門規(guī)定：信函重100g以內(nèi)（包括100g）每20g貼郵票0.8元，不足20g按20g計(jì)算；超過100g的，先貼郵票4元，超過100g的部分每100g加貼郵票2元，不足100g按100g計(jì)算.（1）小明寄一封信函貼了6元郵票，問這封信函有多重？

（2）如果要把九封重12g的信件分兩個(gè)信封寄出，每個(gè)信封重4g，請你設(shè)計(jì)寄信方案，使寄出這九封信件所貼的郵票總金額最少？

例5 如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（5，0），M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點(diǎn)，∠DMC=∠DOB=60°.

（1）求直線CB的函數(shù)解析式；（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）∠DMC繞點(diǎn)M按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（30°<α<60°）后，得到∠D1MC1（點(diǎn)D1，C1依次與點(diǎn)D，C對應(yīng)），射線MD1交直線DC于點(diǎn)E，射線MC1交直線CB于點(diǎn)F，設(shè)DE=m，BF=n，求m于n的函數(shù)解析式.

通過對分類討論思想應(yīng)用過程的進(jìn)一步體驗(yàn)，對應(yīng)用思想方法的程序與規(guī)則進(jìn)行再總結(jié)，使學(xué)生較好地把握分類討論思想.

(2)注意專題復(fù)習(xí)中解決問題策略、數(shù)學(xué)思想方法的層次性，合理把握方法與策略抽象的時(shí)機(jī).解決問題的策略是對數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的再抽象，而數(shù)學(xué)思想方法體系內(nèi)部也具有層次性，如方程思想與函數(shù)思想的關(guān)系，數(shù)學(xué)建模過程中需要應(yīng)用方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想等.要使學(xué)生建構(gòu)起結(jié)構(gòu)良好、聯(lián)系廣泛的數(shù)學(xué)思想方法與解決問題的策略體系，就需要在專題復(fù)習(xí)中進(jìn)行有序的策略與方法抽象，合理把握策略與方法抽象的時(shí)機(jī).

數(shù)學(xué)思想方法來源于問題結(jié)構(gòu)分析和選擇合理的數(shù)學(xué)原理解決問題的過程，數(shù)學(xué)解決問題的策略來源于問題結(jié)構(gòu)分析與選擇合理的思想方法解決問題的過程，這就需要以問題為載體，讓學(xué)生在解決不同層次的問題中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法和解決問題策略的歸納與抽象.數(shù)學(xué)抽象需要對象類別，抽象數(shù)學(xué)思想方法需要在結(jié)構(gòu)一致性問題系列（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同而表述不同）和結(jié)構(gòu)變異性問題系列（結(jié)構(gòu)與表述不同而所用的思想方法相同）解決中進(jìn)行抽象，在對解決問題的方法抽象過程中需要對思考過程進(jìn)行自我解釋與自我總結(jié).如在方程思想、函數(shù)思想和統(tǒng)計(jì)思想專題復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，安排如下的數(shù)學(xué)建模思想的專題復(fù)習(xí)，可以引導(dǎo)學(xué)生在建立方程、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)、幾何模型的基礎(chǔ)上概括數(shù)學(xué)建模的思想：

（一）創(chuàng)設(shè)應(yīng)用模型解決問題的情境.在解決問題的過程中體驗(yàn)和模型思想.

春節(jié)期間，小明和他的同學(xué)準(zhǔn)備到淡竹原始森林風(fēng)景區(qū)去旅游，下面是他們計(jì)劃旅游和旅游途中出現(xiàn)的問題，請大家?guī)椭鉀Q.

1. 要去旅游，首先要解決交通問題.從家里出發(fā)到風(fēng)景區(qū)有30千米的路程，如果單獨(dú)乘公共汽車去，每人來往的車費(fèi)需要20元，如果是包小客車（20座）車來回接送，則每輛車來回接送一次需要300元，請問，小明和他的同學(xué)應(yīng)該選擇包車還是乘公共汽車去景點(diǎn)？

（1）引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的模型解決本問題.

（2）引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程進(jìn)行總結(jié)和自我解釋.

（3）引導(dǎo)學(xué)生歸納利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本模式(如圖4）.

2. 出發(fā)哪天，小明數(shù)了數(shù)人數(shù)，發(fā)現(xiàn)有24人要去旅游，由于汽車不能超載，小明準(zhǔn)備與3個(gè)同學(xué)一起乘出租汽車去景點(diǎn)，由于臨時(shí)叫車，在其他同學(xué)乘包車出發(fā)后，小明等了15分鐘，并與乘包車出發(fā)的同學(xué)約定好同時(shí)到達(dá)景點(diǎn)，如果出租汽車的平均速度是包車速度的1.5倍，請問：出租汽車的平均速度是多少？

（1）引導(dǎo)學(xué)生用方程的模型解決本問題.

（2）引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程進(jìn)行總結(jié)和自我解釋.

（3）引導(dǎo)學(xué)生歸納利用方程模型解決實(shí)際問題的基本模式（如圖5）.

3. 小明和他的同學(xué)進(jìn)入景區(qū)后，在上山的路上發(fā)現(xiàn)有兩處臺階，這兩處臺階都有20級，這兩處臺階的每一級的高分別是：

A處臺階：有4級是22玞m；有5級是25玞m；有24玞m和26玞m高的臺階各3級；有22玞m和27玞m高的臺階各2級；還有一級是23玞m.

B處臺階：有5級是22玞m；有4級是27玞m，有21玞m和25玞m的臺階各3級；有26玞m的臺階和23玞m的臺階各2級；還有1級是30玞m.

你對這兩處臺階的平均每級高度和行人行走的舒適性有什么評價(jià)？

（1）引導(dǎo)學(xué)生用統(tǒng)計(jì)的模型解決本問題.

（2）引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程進(jìn)行總結(jié)和自我解釋.

（3）引導(dǎo)學(xué)生歸納利用統(tǒng)計(jì)模型解決實(shí)際問題的基本模式(如圖6）.

4. 如圖7，山里的景色的確美不勝收，走著走著，發(fā)現(xiàn)一塊石筍直插云霄，大家發(fā)出了陣陣驚嘆，小明靈機(jī)一動，提出了一個(gè)問題：這石筍有多高？（假設(shè)一段時(shí)間內(nèi)石筍在陽光下的影子始終在同一直線上）.

小張思考了一下，說：只要大家在這里休息一小時(shí)，我就能大致估計(jì)出這石筍的高度，小張接著說，雖然我們走不到石筍的底部，但只要測量出現(xiàn)在石筍在陽光下的影子與一小時(shí)后石筍在陽光下的影子的差距，現(xiàn)在和一小時(shí)后我們自己的身高與影子的長，就可以計(jì)算出石筍的高度，你能根據(jù)小張的思路，設(shè)計(jì)出測量石筍高度的方案嗎？

（1）引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)、相似三角形和方程模型解決本問題.

（2）引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程進(jìn)行總結(jié)和自我解釋.

（3）引導(dǎo)學(xué)生歸納利用函數(shù)、相似三角形和方程模型解決實(shí)際問題的基本模式（如圖8）.

(二)概括數(shù)學(xué)建模思想.在對上述問題系列解決過程進(jìn)行總結(jié)和自我解釋的基礎(chǔ)上，歸納利用數(shù)學(xué)模型思想解決問題的基本方法和基本模式.基本模式如圖9.

用數(shù)學(xué)建模思想解決問題的基本過程：

1.用數(shù)學(xué)方法（數(shù)、式子、圖形、表格）描述問題，建立數(shù)學(xué)模型（如數(shù)據(jù)模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型等），把問題數(shù)學(xué)化.

2.用數(shù)學(xué)方法解決已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)問題，得到數(shù)學(xué)問題的解.

3.解釋得到的數(shù)學(xué)問題的解的實(shí)際意義，根據(jù)問題的具體情境解釋結(jié)果的合理性.對自己解決問題過程進(jìn)行總結(jié)、評價(jià)與反思，提煉數(shù)學(xué)思想方法.

(三)應(yīng)用與拓展.（選擇應(yīng)用各種數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的變異性樣例系列讓學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)解決，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模思想指導(dǎo)下獨(dú)立解決實(shí)際問題.）

在專題復(fù)習(xí)中，應(yīng)重視在問題結(jié)構(gòu)分析與表征中進(jìn)行解題定向與策略選擇的活動開展.數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)指的是組成數(shù)學(xué)問題的要素及其相互關(guān)系，這種結(jié)構(gòu)往往包含了解決問題的策略.

例6 設(shè)x₁，x₂，x₃，…,x₄₀是正整數(shù)，且x₁+x₂+x₃+…+x₄₀=58，求：x²₁+x²₂+x²₃+…+x²₄₀的最大值和最小值.

如果注意到本題中的40個(gè)數(shù)據(jù)的和與數(shù)據(jù)平方和的特殊結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到數(shù)據(jù)的和與平均數(shù)有聯(lián)系，而數(shù)據(jù)的平方和與數(shù)據(jù)的方差有聯(lián)系，就可以發(fā)現(xiàn)可以用數(shù)據(jù)的特征數(shù)分析的方法解決問題：設(shè)x₁，x₂，x₃，…,x₄₀的平均數(shù)

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)方差最大或最小時(shí)，這40個(gè)數(shù)據(jù)的平方和也同時(shí)達(dá)到最大值和最小值.而當(dāng)這40個(gè)數(shù)據(jù)中有39個(gè)為1，一個(gè)為19時(shí)，數(shù)據(jù)的方差最大，而當(dāng)所有數(shù)據(jù)最接近[SX(]58[]40[SX)]時(shí)，方差最小，由于數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，不可能等于[SX(]58[]40[SX)]，與[SX(]58[]40[SX)]最接近的數(shù)是1和2，所以當(dāng)這些數(shù)據(jù)中只有1和2時(shí)，方差最小，設(shè)有k個(gè)1，則k+2（40-k）=58，k=22，所以當(dāng)這些數(shù)據(jù)中有22個(gè)1，18個(gè)2時(shí)方差最小，從而求得數(shù)據(jù)平方和的最大值是400，最小值是94.

初中數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的基本關(guān)系的基本類型有結(jié)構(gòu)交叉、結(jié)構(gòu)隱含與結(jié)構(gòu)映射，對于結(jié)構(gòu)交叉的問題，需要在背景中尋找數(shù)學(xué)原理的基本結(jié)構(gòu)，是條件與結(jié)論盡可能地集中到這個(gè)基本結(jié)構(gòu)中，對于結(jié)構(gòu)隱含的問題，需要分析問題結(jié)構(gòu)的特殊性，尋找自己熟悉的結(jié)構(gòu)，通過結(jié)構(gòu)的復(fù)原（添加輔助元素）尋求解決問題的策略，對于結(jié)構(gòu)影射的問題，則需要把問題改變表征方式，用建模和轉(zhuǎn)化的思想解決問題.

數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)思想和解決問題策略的集中概括與應(yīng)用階段，是數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用階段，在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想方法和在專題復(fù)習(xí)中采用合理策略，讓學(xué)生經(jīng)歷從解題到思想方法再到解決問題策略的概括和應(yīng)用過程，并對自己的解決問題過程進(jìn)行反思和總結(jié)，這對學(xué)生解決問題能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升無疑是有益的.

ゲ慰嘉南

ぃ1］ 吳增生，周福群，朱明德. 初中數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐與研究［玀］. 北京:北京藝術(shù)與科學(xué)電子出版社，2007.[ZK)]

ぃ2］［3］［4］ 羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［玀］. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001，63，29，342-425.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>