韓永華

最短路線與相等路線的作圖來源于生產(chǎn)、生活的實(shí)踐，是落實(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的重要資源，其作圖方法和理論依據(jù)對國家的經(jīng)濟(jì)建設(shè)具有重要的指導(dǎo)意義．指導(dǎo)學(xué)生解決這類實(shí)際問題，能夠?qū)崿F(xiàn)大量知識的有效整合，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的．現(xiàn)從以下兩個方面的具體實(shí)例說明這類問題的作圖方法及其理由．1 與直線相關(guān)的作圖

1．1 兩個已知點(diǎn)在已知直線的同一側(cè)

例1 如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

作法 （1）作點(diǎn)B關(guān)于街道的對你點(diǎn)C；

（2）連結(jié)AC交街道于點(diǎn)P．

故奶站應(yīng)建在點(diǎn)P 處．

證明 在街道上任取一點(diǎn)N，連結(jié)AN、BN、CN、PB．

因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于街道對稱，

所以PB=PC，BN= CN．

又因?yàn)锳C

所以AP+PB

故奶站建在點(diǎn)P 處，A、B到它的距離之和最短．

例2 如圖2所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離相等？

作法 （1）連結(jié)AB；

（2）作線段AB的垂直平分線CD，交街道于點(diǎn)M．故奶站應(yīng)建在點(diǎn)M處．

證明 連結(jié)AM、BM．

因?yàn)辄c(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上，所以AM=BM．

故奶站建在點(diǎn)M處，A、B到它的距離相等．

1．2 兩個已知點(diǎn)在已知直線的兩側(cè)

例3 如圖3所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

作法 連結(jié)AB，交街道于點(diǎn)E．

故奶站應(yīng)在點(diǎn)E 處．

證明 在街道上任取一點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG．

因?yàn)锳B

所以奶站建在點(diǎn)E處，A、B到它的距離之和最短．

例4 如圖4所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離相等？

作法 （1）連結(jié)AB；

（2）作線段AB的垂直平分線CD，交街道于點(diǎn)F．

故奶站應(yīng)在點(diǎn)F 處．

證明 連結(jié)AF、BF．

因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB的垂直平分線上，

所以AF=BF．

故奶站建在點(diǎn)F處，A、B到它的距離相等．

2 與街道的寬度相關(guān)的作圖

例5 如圖5，甲、乙兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁，現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過街的天橋．問：

（1）橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短？注意橋必須與街道垂直．

（2）橋建在何處才能使甲、乙到橋的距離相等？

解 （1）如圖6，將點(diǎn)A向垂直于街道的方向平移到點(diǎn)A1，平移的距離為街道的寬度，連結(jié)A1B交街道的邊緣于點(diǎn)M，所以橋應(yīng)建在MN處（MN與街道垂直），就能使由甲到乙的路程AN+NM+MB最短．

證明 假設(shè)橋建在不同于MN的任意一處FP（FP與街道垂直），過點(diǎn)B作與街道垂直的直線BC與街道邊緣的垂足分別為C、E，延長AN交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AF、PB、FD．

因?yàn)锳A1=MN，AA1∥MN，所以四邊形A1MNA為平行四邊形．所以AN=A1M，ND∥MB．又因?yàn)镸N∥BD，所以四邊形MBDN為平行四邊形．所以MB=ND．易證四邊形MECN為矩形．所以ME=NC．所以△MBE≌△NDC．

所以BE=DC．易證四邊形PECF為矩形．所以PE=FC．所以△PBE≌△FDC．所以PB=DF．因?yàn)锳D

故橋建在MN處，由甲到乙的路線最短．

（2）如圖7，作點(diǎn)B關(guān)于街道的對稱點(diǎn)B1，B1B與街道邊緣分別交于點(diǎn)C、D．連結(jié)AB1，作線段AB1的垂直平分線交街道的邊緣于點(diǎn)F，所以橋建在FE（FE與街道垂直）處，就能使甲、乙到橋的距離相等．

證明 連結(jié)AF、B1F、BE．

因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB1的垂直平分線上，所以AF=B1F．易證四邊形ECDF為矩形．所以EC=FD．又因?yàn)锽和B1關(guān)于街道對稱，所以BC=B1D．所以△BCE≌△B1DF．所以BE=B1F．所以AF=BE．

故橋建在FE處，甲、乙到橋的距離相等．

以上實(shí)例的解答過程共用到了以下12個方面的數(shù)學(xué)知識：（1）作已知點(diǎn)的軸對稱點(diǎn)的方法；（2）軸對稱的性質(zhì)；（3）三角形三邊的關(guān)系；（4）作線段中垂線的方法；（5）線段中垂線的性質(zhì)；（6）平移一個點(diǎn)的方法；（7）平行四邊形的判定；（8）平行四邊形的性質(zhì)；（9）矩形的判定方法；（10）矩形的性質(zhì)；（11）全等三角形的判定方法；（12）全等三角形的性質(zhì)．顯然，像這樣的題組式的教學(xué)不僅讓學(xué)生體驗(yàn)到了變式給他們帶來的樂趣和挑戰(zhàn)，同時大量的數(shù)學(xué)知識得到了運(yùn)用與鞏固．

プ髡嘸蚪榧本刊2008年第10期（總第222期第58頁）.