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        圓錐曲線問題 平面幾何處理

        2008-12-09 03:32:30熊星飛
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年9期
        關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線綜合題傾斜角

        熊星飛

        圓錐曲線綜合題是高考命題的熱點內(nèi)容之一,向來作為壓軸題出現(xiàn),成為考生能否取得高分的關(guān)鍵.這類題目大都以直線、圓或圓錐曲線知識作為載體,綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識,涉及的知識點較多,重在考查思維能力和計算能力,要求考生能夠結(jié)合已經(jīng)掌握的有關(guān)直線、圓、圓錐曲線的知識與方法,對面臨的問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括;會用類比、歸納和演繹進(jìn)行推理;能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地進(jìn)行表述.調(diào)查表明,很多考生對解析幾何綜合題有一種畏懼感,在探索思路、分析求解過程中經(jīng)常會出現(xiàn)“絞盡腦汁而無從下手,運算繁雜而中途作廢”等思維受阻現(xiàn)象.

        在解題中若能緊扣圓錐曲線的定義,并結(jié)合平面幾何的方法來探究思路,常能使問題得到簡潔的解決,大大地減少運算量,提高解題效率.

        例1 過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦點F的弦AB,對應(yīng)于焦點F的準(zhǔn)線l與對稱軸交于點P.求證:∠APF=∠BPF.

        分析:按通常的解析幾何方法證明,須將直線方程(另外設(shè)定)和橢圓方程聯(lián)立,通過韋達(dá)定理表達(dá)出點A與點B的坐標(biāo)關(guān)系,再利用夾角公式或者直線AP與BP的斜率關(guān)系來證明,運算復(fù)雜.若用平幾知識考慮,只要證PF是△APB的角平分線,于是聯(lián)想到三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理,馬上可證得.

        證明:過A點作AM⊥l,過點B作BN⊥l,垂足分別為M、N.由AM∥FP∥BN,得MPNP=AFBF=AMBN,又∠AMP=∠BNP=90°蕁鰽MP∽△BNP蕁螦PM=∠BPN,

        ∴∠APF=∠BPF.

        評注:在證題中緊扣圓錐曲線的定義,利用相似三角形對應(yīng)角相等得出結(jié)論;此命題同樣適用于雙曲線與拋物線.

        例2 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e,過焦點F的弦AB(點A在x軸下方)滿足〢F=λ〧B擼若弦AB的傾斜角為θ,則有e玞osθ=λ-1λ+1.

        分析:通過對橢圓焦點弦的運動,可以發(fā)現(xiàn),弦的傾斜角決定著λ的值,即:θ與λ存在著某種函數(shù)關(guān)系,而此題探求的正是這種關(guān)系.

        問題涉及到離心率、弦的傾斜角以及焦半徑比例,故可由橢圓的第二定義,結(jié)合平面幾何的知識和三角知識構(gòu)造直角三角形,直接建立θ、λ和離心率e三者間的關(guān)系.

        證明:(玦)當(dāng)λ>1時,設(shè)對應(yīng)于焦點F的準(zhǔn)線l與對稱軸交于點P,過點A作AM⊥l,過點B作BN⊥l,垂足分別為M、N,過點B作BC⊥AM,垂足為C.設(shè)|BF|=x,則|AF|=λx,由橢圓的定義可知|AM|=λxe,|BN|=xe,易知四邊形MNBC是矩形,|AC|=λxe-xe,在Rt△ABC中,∠CAB=∠AFO=θ,=∴玞osθ=|AC||AB|=λxe-xe,λx+x=λ-1e(λ+1),即=e玞osθ=λ-1λ+1.

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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