邱　云　張夏強(qiáng)

定積分作為數(shù)學(xué)必修課程的新增內(nèi)容，有必要按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱《課標(biāo)》）對內(nèi)容的定位進(jìn)行解讀和分析.《課標(biāo)》對定積分的定位如下：（1）通過求曲邊梯形的面積、變力做功等實(shí)例，從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)；（2）通過實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價(jià)值.可見，高中課程學(xué)習(xí)定積分，重在粗淺地領(lǐng)略其主要思想和基本方法，從一些實(shí)例中初步認(rèn)識定積分的工具作用.

1 試題概況

第二年實(shí)施課標(biāo)卷的海南、寧夏、山東三?。▍^(qū)）對定積分的考查緊貼課標(biāo)精神，定位在考常規(guī)、考基礎(chǔ)，總體上持審慎態(tài)度；首次實(shí)施課標(biāo)卷的江蘇省對定積分的考查可謂來源于課標(biāo)又高于課標(biāo)，在壓軸題設(shè)計(jì)了定積分的巧妙應(yīng)用.該題無論在情境創(chuàng)設(shè)、思維檢測、能力考查等方面，都獨(dú)樹一幟，是今年高考眾多壓軸題中的一道亮麗風(fēng)景，顯示了命題者的非凡勇氣和智慧.

證明組合恒等式

巧用微積分基本定理

從命題的著眼點(diǎn)看，實(shí)行課標(biāo)卷的五個(gè)?。▍^(qū)）除廣東卷未考定積分外，其余四?。▍^(qū)）不約而同考查微積分基本定理的應(yīng)用，初步展示定積分的新運(yùn)算、新思想.

2 試題評析

例1 (海南、寧夏卷理科第10題）由直線x=12,x=2，曲線y=1x及x軸所圍圖形的面積是（ ）

A.154B.174C.12ln2D.2ln2

解析 根據(jù)定積分的概念得，圍成圖形的面積S=∫1221x=lnx|212=ln2-ln12=2ln2，選D.

評注 求曲邊梯形的面積是教材用于導(dǎo)入定積分概念的實(shí)例. 本題取材于教材，旨在考查學(xué)生對定積分概念的初步了解及簡單應(yīng)用.

例2 （山東卷理科第14題）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+c(a≠0)，若∫01f(x)dx=f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為.

解析 由微積分基本定理得，∫01f(x)dx=(13ax3+cx)|10=a3+c=ax20+c,所以x0=33.

評析 本題將定積分與函數(shù)相結(jié)合，初顯知識的交匯性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力.該題源于《數(shù)學(xué)分析》中的“積分中值定理”的特殊情況：∫01f(x)dx=f（x0）·(1-0)(0≤x0≤1)，蘊(yùn)涵深刻的幾何意義：可求得一個(gè)矩形的面積等于曲邊梯形的面積.作為教師了解一些高數(shù)背景，對自身專業(yè)素養(yǎng)的提高是有益的.

例3（江蘇卷第23題）請先閱讀：在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的兩邊求導(dǎo)，得：(cos2x)′=(2cos2x-1)′，由求導(dǎo)法則，得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx)，

化簡得等式：sin2x=2cosx·sinx.

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式（1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn(x∈R，正整數(shù)n≥2），

證明：n［(1+x)n-1-1］＝∑nk=2kCknxk-1．

（2）對于正整數(shù)n≥3，

求證：∑nk=01k+1Ckn=2n+1-1n+1．

解析 類比問題（1）的證法，觀察求證恒等式的特征，展開“合情猜想”，由求導(dǎo)聯(lián)想到它的逆運(yùn)算——求積分，將等式（1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn的兩邊在［0,1］上求積分得

∫01(1+x)ndx=∫01(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)dx，

由微積分基本定理，得

1n+1(1+x)n+1|10=(∑nk=01k+1Cknxk+1)|10，

所以∑nk=01k+1Ckn=2n+1-1n+1.

評注 本題融合了組合數(shù)、二項(xiàng)式定理、定積分等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，求證的結(jié)論是《組合數(shù)學(xué)》中的一類常見組合恒等式，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中是一道具有挑戰(zhàn)性的難題.它有效考查了學(xué)生獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識解決問題的能力及學(xué)習(xí)潛能，為具備良好思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生脫穎而出構(gòu)建了平臺.解答本題，學(xué)生需冷靜解讀試題中隱含的信息，例如問題（1）的提示語，問題（2）設(shè)計(jì)的n≥3，暗示了若運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，起步就很艱難.因此，要有敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想、靈活的構(gòu)造、創(chuàng)造性的思維等能力，方可發(fā)現(xiàn)解決問題的有效途徑.

此類組合恒等式的常規(guī)初等方法是：利用組合數(shù)的性質(zhì)或數(shù)學(xué)歸納法，但因恒等式的復(fù)雜性和奇異性，

用常規(guī)方法難以奏效，而微積分基本定理的巧妙應(yīng)用，使問題創(chuàng)造性地得以解決，顯示了微積分的強(qiáng)大功能.對此類問題的思考與探究，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，為今后進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).

3 試題啟示

微積分基本定理是微積分的核心內(nèi)容，是充滿新意的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，給中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新力量、新思想.在今后的定積分命題中，微積分基本定理的考查仍然是倍受青睞的.但是，隨著命題視角與觀念的更新，以下幾個(gè)命題趨勢的變化值得關(guān)注.

3.1 曲線包圍圖形的多樣化

研究曲線圖形的面積促進(jìn)了微積分學(xué)科的誕生.求曲邊形的面積是考查定積分知識的重點(diǎn)，但考查的形式將會(huì)呈現(xiàn)靈活多樣的發(fā)展趨勢.

2008年高考考查的曲邊圖形面積問題，在積分區(qū)間上，其被積函數(shù)是正數(shù)，但也可能出現(xiàn)被積函數(shù)為負(fù)數(shù)或有正有負(fù)；或者曲邊圖形由兩條曲線圍成.針對這些可能出現(xiàn)的情形，筆者將例1作如下改編：

（1）由直線x=12，x=2，曲線y=-1x及x軸所圍圖形的面積是（D）

A.154B.174C.12ln2D.2ln2

(2) 由直線x=12，x=2，曲線y=1x-1及x軸所圍圖形的面積是(12).

（3）由直線y=-2x+3與曲線f(x)=1x所圍圖形的面積是(D).

A.34B.134C.2ln2D.34-ln2

簡析 求兩曲線圍成的面積，先求兩曲線的交點(diǎn)，然后利用定積分的幾何意義，把面積轉(zhuǎn)化為定積分.

這些改編試題立足《課標(biāo)》，層層遞進(jìn)，從多層次考查學(xué)生的思維水平及定積分的應(yīng)用，既豐富了求曲線圖形面積的考查形式，又開拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，為進(jìn)一步揭示定積分的數(shù)學(xué)內(nèi)涵提供了素材.

3.2 定積分與其它數(shù)學(xué)知識的交匯

凸顯知識交匯，考查綜合能力，是高考命題的一個(gè)重要思路.定積分作為高中課改的新增內(nèi)容，如何將它與傳統(tǒng)知識有機(jī)整合，實(shí)現(xiàn)新而不難，新而不“凡”，是值得高考命題研究的一個(gè)方向.如果此類試題設(shè)計(jì)得恰到好處，既可提升“定積分”在整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系中的地位，又可強(qiáng)化相應(yīng)數(shù)學(xué)知識的橫向聯(lián)系，使定積分從高等數(shù)學(xué)和諧地融入初等數(shù)學(xué).

以下以例2為基點(diǎn)、《課標(biāo)》為準(zhǔn)繩設(shè)計(jì)定積分交匯試題：

（1）定積分與不等式交匯：設(shè)函數(shù)f(x)=x2+1，若∫01f(x)dx=a+b，a、b均為正實(shí)數(shù)，則ab的最大值為.

簡析：∫01f(x)dx=(13x3+x)|10=43

輆b≤49.

（2）定積分與函數(shù)最值交匯：設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1，若∫0tf(x)dx=h(t)，t>0，則h(t)的最小值為.

簡析 ∫0tf(x)dx=h(t)=(13x3-x)|t0

三角形“四心”的向量表示

山東肥城泰西中學(xué)271600張海娟

向量的加減法運(yùn)算是通過三角形法則來完成的，向量與三角形有著密不可分的關(guān)系，三角形的“四心”（重心、垂心、內(nèi)心、外心）又是三角形的重要內(nèi)容，與“四心”相關(guān)的向量題目也是頻繁出現(xiàn)，用向量表示“四心”則是常見問題，現(xiàn)歸結(jié)如下

1 重心 三角形三邊的中線的交點(diǎn)

1.1 點(diǎn)O為△ABC的重心的充要條件是

OA+OB+OC=0

1.2 向量AB+AC是BC邊中線上的向量，過△ABC的重心

2 內(nèi)心 三角形三內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)

2.1 O為△ABC內(nèi)心的充要條件是

|BC|·OA+|AC|·OB+|AB|·OC=0

2.2 向量AB|AB|+AC|AC|

是∠BAC的平分線上的向量，過△ABC的內(nèi)心

3 垂心 三角形三邊的高線的交點(diǎn)

3.1 點(diǎn)O為△ABC垂心的充要條件是

OA·OB=OB·OC=OC·OA

3.2 向量AB|AB|cosB+

AC|AC|cosC是BC邊的高線上的向量，過△ABC的垂心

4 外心 三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)

4.1 O是△ABC外心的充要條件是

|OA|=|OB|=|OC|

4.2 O為△ABC外心的充要條件是

（OA+OB）·AB=

（OB+OC）·BC=

（OC+OA）·CA=0

=13t3-t，由h′(t)=0輙=1，h(t)min=h(1)

=-23.

新老知識的“黃金搭檔”，為傳統(tǒng)知識注入了新鮮血液，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了新知識的“軟著陸”，有助于學(xué)生豐富數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)、提高知識整合能力，促進(jìn)思維方式多元化.

3.3 組合恒等式證明的衍生

受例3證法及結(jié)論：∑nk=01k+1Ckn=2n+1-1n+1(*)的啟發(fā)，我們可以設(shè)計(jì)如下組合恒等式證明題：

求證：∑nk=02k+1k+1Ckn=3n+1-1n+1(**)，

∑nk=1(-1)k+1k+1Ckn=nn+1(***)，…

簡析 依據(jù)例3證法，將(1+x)n=∑nk=0Cknxk兩邊在0到t上對x積分，得

(1+t)n+1-1n+1=∑nk=01k+1Ckntk+1

取t=2，則得到式(**)；若取t=-1，則得到式(***).

從“組合數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)看，以上三個(gè)組合恒等式共同特點(diǎn)是：左側(cè)都可歸結(jié)為和式冪函數(shù)

∑nk=01(k+1)(k+2)…(k+m)Ckntk+m在某閉區(qū)間的定積分形式.證明這類組合恒等式，常以二項(xiàng)定理為母體，兩端求定積分，m決定積分次數(shù)，對t取不同的值，即獲得相應(yīng)結(jié)果.

同理，由二項(xiàng)定理(1-x)n=∑nk=0(-1)kCknxk誘發(fā)的組合恒等式同樣值得思考.

在組合恒等式的證明中，微積分方法充分展示了魅力，它靈活卻不乏規(guī)律，變化卻不乏模式，嚴(yán)謹(jǐn)卻不乏美妙，其巧妙的思想方法是解決問題的內(nèi)動(dòng)力和源泉，有助于學(xué)習(xí)者形成新的數(shù)學(xué)推理觀念.

微積分在高考試題中的滲透，拓寬了高考命題思路，增強(qiáng)了試題的綜合程度，為發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力提供了有效途徑.

作者簡介 邱云，男，1975年生，教育碩士，在全國多種CN刊物發(fā)表論文十余篇；張夏強(qiáng)，男，1979年生，教育碩士.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文