高明生

1 試題分析報告

2008年湖南高考數(shù)學試卷緊扣2008年《考試大綱》，對高考的熱點、難點和重點進行了全面的研究總的印象是文科波瀾不驚，理科推陳出新，與時俱進，文、理科均能高屋建瓴，把握主次，抓住關鍵，平穩(wěn)過渡文科與理科前面小題一般，理科大題前三道簡單，后三個比較難，主要是計算量大，解析幾何計算量大，尤其突出2008年湖南文科題與07年湖南文科題比較，對數(shù)學的基本概念的理解，要求更高了，整體思維量更大了除了個別題目看起來比較新穎，大部分的題目是大家比較熟悉的問題學生似曾相識，但是因為計算量大的原因，學生未必能得到多少分理科相對來說比2007年難度要大一些，文科還是不難的，感覺還是比較適中，在08年的試卷中，選擇題和填空題，尤其是選擇題，文理的差距比較大理科考生會感到理科試卷相對比較難，但是文科試卷就沒有特別的難，應該說還是在意料之中的，體現(xiàn)了文理的差別偏難，偏怪，無從下手的題沒有向量、函數(shù)和立體幾何中角的問題，不等式等考查難度和數(shù)量增加了

2008年湖南高考數(shù)學注重了對基礎知識的全面考查，同時又強調考查學生的思維能力，特別是注重對平面向量、概率與統(tǒng)計、導數(shù)應用等新知識的考查，而且是與其它知識交匯考查在試題的設計上，進行了一些創(chuàng)新嘗試比如理科第10題、第15題、文科第15題都是一個對能力要求較高的題，理科第10題與文科第15題與時俱進，均是創(chuàng)新題，把取整函數(shù)和組合公式以及函數(shù)的單調性很好地結合在一起，同時考查了分類討論的思想，是一道考查能力的好題理科第15題第1小問是對第2小問的提示，體現(xiàn)了做題的梯度，給人以猜想歸納的空間，做題過程中用到了分類討論的思想，恰到好處地把數(shù)列、概率、數(shù)學歸納法等知識巧妙地融合到一起，是一道綜合性較強的題理科第20題是一道存在性問題，先定義“相關弦”，再進行知識遷移，與拋物線知識、二次函數(shù)知識綜合運用，在第1小問中，巧妙地利用兩式相減，設而不求的方法求得斜率第2小問，利用了分類討論的思想來探討存在性問題，這道題把高中要掌握的主要知識點和常用解題方法進行了整合，是一道不錯的題，美中不足的是計算量太大，從而造成本題得分率低理科第19題是考生常見題，2003年考過同種類型，本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力.運用解三角形的知識解決實際問題時，關鍵是把題設條件轉化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之利用正、余弦定理解斜三角形問題一般與三角函數(shù)，數(shù)列、方程等知識結合，往往與生產(chǎn)生活實際相連.考查能否將諸如測量、航海、天體運行、物理及幾何等方面的相關問題，應用解三角形的知識進行求解.考查是否掌握應用解三角形知識解實際問題的解題步驟.從而考查綜合運用數(shù)學知識的能力，應予以高度重視；文科第20題與理科第18題可從近幾年的高考解答題中看出：有關數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關；此類型試題是容易丟分的高檔題型．求遞推數(shù)列的通項公式的思維方向是轉化與化歸，這樣處理問題的目的是化陌生為熟悉，當然首選方向是化成等差或等比數(shù)列，也可通過構造把問題轉化，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的．比如文科本題解答中體現(xiàn)了由特殊到一般的思想：先求a3,a4,由此得到靈感求得數(shù)列{an}的通項公式，第2問也是如此，先求出W1=0,W2=1,W3=32,W4=32,W5=54,W6=1516再猜想證明當k≥6時，Wk＜1.理科第21題，主要考查求對數(shù)函數(shù)與分式函數(shù)的導數(shù)、單調性的判定以及單調性的應用，是高考考查的重點，考題可以以中檔或大題形式出現(xiàn). 利用導數(shù)去判別函數(shù)的增減性,是通過從函數(shù)的導數(shù)符號判別函數(shù)單調性的方法,關鍵是先求導，解不等式得單調區(qū)間，或者證明導數(shù)與0的大小關系來判別單調性. f(x)在某個區(qū)間內可導，若f ′(x)＞0,則f(x)是增函數(shù)；若f ′(x)＜0,則f(x)是減函數(shù). 可導函數(shù)的最值可通過(a,b)內的極值和端點的函數(shù)值比較求得，但不可導函數(shù)的極值有時可能在函數(shù)不可導的點處取得，因此，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和導數(shù)不存在的點的函數(shù)值進行比較，而文科題型相似，但要簡單得多

2008年湖南高考數(shù)學“陷井題”如下：理科第4題正態(tài)分布的概率問題，從2007年湖南考過，到今年已是第二次考了，在全國范圍內，好象是必考題一樣，有些省還作為大題考但作為必考題的二項展開式的通項公式，是歷來高考的必考內容（2008年湖南理科未考），文科第13題出現(xiàn)了，其常見的題型為選擇與填空題,屬基礎考查題.求解中需要注意二項式展開式中的冪指數(shù)的運算及符號的運算,注意演算中的細節(jié),防止出錯.對于正態(tài)分布大綱要求較低；理科第6題是考查三角函數(shù)的圖象和性質的基礎題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎上要對三角函數(shù)的性質靈活運用，要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強. 本人認為本題改為求函數(shù)f(x)=sin2x+3sinxcosx在區(qū)間［π４,π2］上的最小值更好，可以考查學生數(shù)形結合的能力，利用三角函數(shù)圖象求值域的功底有些學生在求得

f(x)=cos2π3cos2x+sin2π3sin2x+12=cos2π3-2x+12 后，不考慮定義域，憑余弦函數(shù)的有界性，瞎猜cos2π3-2x≤1赾os2π3-2x+12≤32，從而歪打正著選C，所以，本題求最大值，有失考查知識點的公平性，讓一些人蒙混過關；理科第7題著重考查向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加的形式：AB+BC+CD+…+PQ+QR=AR，但這時必須“首尾相連”．由此得出：“首尾相連”的封閉圖形的向量和為零向量，本題兩次用到了這個結論；理科第10題、理科第15題、文科第15題、均是在多個知識交匯處出的創(chuàng)新題，今年大多數(shù)題均是綜合題，多個知識點的綜合；文科第10題關鍵是考慮隱含條件：雙曲線x2a2-y2b2=1

(a＞0，b＞0)的右支上的點橫坐標大于a，從而利用雙曲線的性質構造不等式求解雙曲線離心率的取值范圍

總之本套試卷很好地代表了高考的命題趨勢和方向

2 失分探究

本套試卷側重于對基礎知識和基本方法的考查,注重通性通法,沒有過份地強調解題技巧,也沒有刻意地去追求知識的覆蓋面,對于重點內容重點考查,形式靈活、思路清晰.從總體的答題情況來看,學生的掌握情況還是不錯的,得分也較理想.通過本次測試反映出此試卷的區(qū)分度較為理想,試題的測試效果明顯,同時反映出學生對基礎知識、基本方法、基本技能等方面的掌握情況較好試卷難度適中,同時有一定的創(chuàng)新度既體現(xiàn)了主干知識、新知識重點考，更體現(xiàn)了主干知識、新知識交匯考

通過對學生的答題情況的統(tǒng)計來看，出錯的題目主要有：選擇題的第4題（理科），多數(shù)考生因為對正態(tài)分布的概率不熟，盲目亂填致錯；第7題（理科），沒有想到封閉圖形的向量和為零向量，從而做不下去，亂選草草收場；第10題（理科）、第15題（文科）、第15題（理科）知識遷移創(chuàng)新能力不夠，不知要表達什么樣的意思，意思都不能理解，如何做？第17題（理科），第18題（文科），均是立體幾何題，不善于用空間向量去解，導致計算量大而出錯；第18題（理科），第20題（文科）均是數(shù)列綜合題，三角函數(shù)、不等式、數(shù)列一混用，再加計算量大，就拿不到滿分了；第19題（理科），少數(shù)學生建模能力太差；第20題（理科），少數(shù)學生不會用整體代換、設而不求等方法來解，蠻算容易出錯文、理科的押軸題不是太難，只是計算量大，學生不會分步得分，有些甚至放棄，太可惜了

3 卷百分比

湖南省2008年高考數(shù)學試卷繼續(xù)保持2007年文、理科數(shù)學試題“異”大于“同”的特色湖南省2008年高考數(shù)學考試大綱中的基本理念決定了高考數(shù)學命題必須突出能力立意，在注重考查數(shù)學基礎的同時，要著重考查學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，也就是重點考查學生的數(shù)學思維能力

今年文、理科數(shù)學試卷題型基本相似，難度上“異”大于“同”.理科的第9題與文科的第9題相同（5分），相同率占全卷分值的3.3%；理科與文科的第2題、3題、5題接近（15分），理科第7題與文科第11題、理科第10題與文科第15題接近（10分），共25分，接近率占全卷分值的16.7%；理科的第16題與文科的第16題（6分），理科的第17題與文科的第18題（12分），理科的第18題與文科的第20題（12分），理科的第20題與文科的第19題（13分），理科的第21題與文科的第21題（13分），共54分，這六道題題型類似，難度不同，類似率占全卷分值的36%；文、理科數(shù)學試卷題型相似率56%，難度上“異”大于“同”.

緊跟形勢，與時俱進，加大了與大學接軌知識點和閱讀教材的知識點的考查力度

實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布，總體分布研究中，選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是最基本、最重要的一種分布 高考中要求我們了解正態(tài)分布的意義及主要性質即可正因為如此，即使現(xiàn)實生活中很有用的知識，因為高考考查概率非常小（小概率事件），有些甚至出現(xiàn)在閱讀教材中，高考考試大綱不作大的要求，平時少數(shù)同學甚至個別老師便置之不理，但這些知識點的確有用，又不能違背高考考試大綱，又要讓少數(shù)同學甚至個別老師引起重視，不要一切為了“高考轉”……為了解決上述矛盾，2006年湖北省高考數(shù)學理科第19題考查“正態(tài)分布”的統(tǒng)計應用題，利用“正態(tài)分布”引導考生學以致用, 考查學生運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，這是“正態(tài)分布”這一知識點第一次出現(xiàn)在高考試題大題中. 2007年湖南省高考數(shù)學理科第5題考查“標準正態(tài)分布”的概率問題，利用“正態(tài)分布”引導考生學以致用, 考查學生運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力2008年湖南省高考數(shù)學理科第4題又考查了“標準正態(tài)分布”的概率問題；2008年湖南理科第10題、文科第15題的取整函數(shù)，以及加大了向量、導數(shù)的工具性作用等等跡象，表明了高考的選拔性作用，為大學中可繼續(xù)性學習打下基礎

4 湖南2009屆高三數(shù)學復習建議4.1 重視對《考試大綱》的研究

從宏觀上準確掌握《考試大綱》序言中的精神和考試性質，準確掌握考試的內容，做到復習不超綱；至少要對近5年（湖南高考自主命題后4年：2004年———2005年）湖南高考題認真分析，明確考試要求：考試內容的知識要求、能力要求和個性品質要求

4.2 近五年湖南數(shù)學高考試題的特點

4.2.1 強調基礎的更新，減少對單純知識、公式的記憶要求，降低對運算復雜性、技巧性的要求

4.2.2 考查時注意通性通法，淡化特殊技巧

4.2.3 “觀察、猜測、抽象、概括、證實”是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的一個重要途徑

4.2.4 以多元化、多途徑、開放式的設問作為背景，命題時注意試題的多樣性，設計考查數(shù)學主體內容

4.2.5 命題時堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，把握好提出問題所涉及的數(shù)學知識和方法的深度和廣度，切合我國中學數(shù)學教學的實際

4.2.6 高考命題為文理科考生分別取材，提供新穎、別致的場景和刺激材料，區(qū)別對待，體現(xiàn)尊重個性、尊重差異的思想

4.3 第一階段復習方法建議

4.3.1 狠抓基礎，構建知識結構和認知結構

以課本為主，重新全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括，揭示其內在的聯(lián)系與規(guī)律，從中提煉出思想方法

4.3.2 突出重點、狠抓落實、夯實基礎

系統(tǒng)地對數(shù)學知識進行整理、歸納、溝通知識間的內在聯(lián)系，形成縱向、橫向知識鏈，構造知識網(wǎng)絡，從知識的聯(lián)系和整體上把握基礎知識

認真領悟并熟練掌握數(shù)學思想，正確應用它們分析問題和解決問題

發(fā)揮選擇題，填空題的思維訓練和能力訓練功能

4.4 第二階段復習的原則與策略

4.4.1 注重知識重組的原則

4.4.2 嚴謹治學的原則

4.4.3理論聯(lián)系實際的原則

4.4.4關注“熱點問題”原則

4.4.5形成思維體系和方法的原則

4.5 三個階段復習安排，各有側重

高考復習的三階段安排已經(jīng)是一個常規(guī)，第一個階段全面復習，第二階段專題講座，第三階段模擬訓練

4.5.1 全面復習

抓住以下幾點：①概念的準確理解和實質性理解；②基本技能、基本方法的熟練和初步應用；③公式、定理的正逆推導運用，變形和巧用

4.5.2 專題講座

專題的選取可包括：

①全面復習過程中反映出來的弱點；

②教材體系中的重點；

③近年高考試題中的熱點；

④基本數(shù)學思想方法的系統(tǒng)介紹

⑤解題應試技巧

⑥綜合專題

4.5.3 模擬訓練

組織精選模擬試題建立：“一周一套題，一天一道題”

組織好每套試卷的評講基本項目包括：①本題考查了哪些知識點？②怎樣審題？怎樣打開思路？③主要運用了哪些方法和技巧？關鍵步驟在哪里？最本質的步驟有哪些？④指出學生答題中的典型錯誤，分析其知識、邏輯上、心理上和策略上的原因；⑤介紹、表揚學生中的優(yōu)秀、新穎解法；⑥試題評分標準及分步得分要領；⑦應試策略和技巧；⑧題目的縱橫聯(lián)系等

建立考情檔案，進行綜合指導

4.6 對于教師的要求

首先要堅持探究，課堂最常見方式是一題多解其次，該刪除的內容就刪除不講，沒有必要深入添講；其二對學生解題的規(guī)范要求，應該從平時就加以注意，將寫得規(guī)范與否提高到邏輯推理能力的是否強弱的高度來對待；最后，知識點要全面覆蓋按照我們的教學進度，所有新的內容在高一高二都已經(jīng)全部結束了所以高三一輪復習應該全部都覆蓋尤其是今年的高考題，要求概念一定要深入理解絕對不能知其然不知其所以然

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文