張志明

四邊形問題雖然概念很多，但中考中純考查概念的問題并不多，大多是通過設(shè)置操作型、運(yùn)動(dòng)變化型、應(yīng)用型、探究型、開放型等題目多方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.本文以2008年有關(guān)四邊形的中考題進(jìn)行歸納.

一、動(dòng)手操作問題

動(dòng)手實(shí)踐是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的三種重要方式之一.近年來各省、市中考都在實(shí)驗(yàn)操作上增強(qiáng)了考查力度.

例1 （濱州市）將一正方形紙片按圖1的順序折疊，將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形.

將紙片展開，得到的圖形是（）.

解析： 按圖中的標(biāo)示，將虛線部分向?qū)嵕€部分折疊（或?qū)嵕€部分向虛線部分折疊），不要隨便將紙片翻轉(zhuǎn)，通過實(shí)驗(yàn)操作可知應(yīng)選C.

點(diǎn)評(píng)：如果不規(guī)范操作，這道題可能剪出A或B的圖案，同學(xué)們可以試試.

二、折疊問題

解折疊問題的關(guān)鍵是必須掌握折疊后的圖形與原圖形關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱，其對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等.

例2 （重慶市）如圖2，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合.展開后，折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E，G.連接GF.下列結(jié)論：① ∠AGD=112.5°；② tan∠AED=2；③ S△AGD = S△OGD；④ 四邊形AEFG是菱形；⑤ BE=2OG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .

解析： ① 由折疊的對(duì)稱性，可知∠ADE=∠FDE.由四邊形ABCD為正方形，可知∠ADF＝∠CAD=45°.故∠ADG=22.5°，∠AGD=112.5°.

② 由折疊的性質(zhì)，可知AE=EF，∠DAE＝∠EFD＝∠AOD＝90°.所以EF∥AC，得∠FEB=∠CAB=45°，BE＝ EF= AE.

∴AD=AB=（1+ ）AE，則tan∠AED=1+ ≠2.

③ 顯然△AGD≌△FGD.所以S△DOG≠S△AGD.

④ 由①通過計(jì)算可得∠FGO=∠GAE=45°，所以GF∥AE.由②知EF∥AC，又AE=EF，所以四邊形AEFG是菱形.

⑤ 由GF= GO，EB= EF，GF=EF，可知BE=2OG.

故正確結(jié)論的序號(hào)是①④⑤.

三、動(dòng)態(tài)幾何問題

例3 （荊門市）如圖3，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是 ．

解析： 設(shè)BD交AC于點(diǎn)O.取邊DC的中點(diǎn)Q，連接PQ，顯然點(diǎn)Q與點(diǎn)N關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接QM，則PM+PN=PM+PQ>QM.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，PM+PN的值最小，此時(shí)PM+PN＝MQ，四邊形AMQD為平行四邊形，MQ＝AD.由AO＝4，DO=3，可得AD＝5，所以MQ＝5.所以PM+PN的最小值是5.

點(diǎn)評(píng)：通過某元素運(yùn)動(dòng)變化考查幾何圖形的性質(zhì)，是四邊形問題中最常見的題型.涉及最多的是矩形、菱形、正方形和梯形.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文