房延華

菱形是一種特殊的平行四邊形,也是一種近似“完美”的四邊形,因為它具有很多特殊的性質.如何識別菱形?我們可以從以下幾個方面去考慮.

一?從菱形的定義考慮

例1(2007年·婁底)如圖1,已知點D在△ABC的BC邊上,DE∥AC交AB于點E,DF∥AB交AC于點F.

(1)試說明:AE=DF;

(2)若AD平分∠BAC,試判斷四邊形AEDF的形狀,并說明理由.

分析 由平行四邊形的性質容易得出AE=DF.由DE∥AC,DF∥AB,可知四邊形AEDF為平行四邊形,再利用AD平分∠BAC可得出AF=DF,故由定義可判定四邊形AEDF為菱形.

解:(1)∵ DE∥AC,DF∥AB,∴四邊形AEDF為平行四邊形.

∴AE=DF.

(2)若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形.理由如下.

由(1)知四邊形AEDF是平行四邊形.

∴∠BAD=∠ADF.

∵AD平分∠BAC,∠BAD=∠DAF,∴∠DAF=∠ADF.

∴AF=DF.

∴ AEDF為菱形.

例2(2007年·青島)將平行四邊形紙片ABCD按如圖2的方式折疊,使點C與點A重合,點D落到點D′ 處,折痕為EF.

(1)求證:△ABE≌△AD′F;

(2)連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形.證明你的結論.

分析 由邊角關系易證△ABE≌△AD′F.猜想四邊形AECF是菱形.由軸對稱性質知AE=EC,從而只需再判定四邊形AECF是平行四邊形即可.

解:(1)由折疊性質可知:∠D=∠D′,CD=AD′,∠BCD=∠D′AE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴ ∠B=∠D,AB=CD,∠BCD=∠BAD.

∴ ∠B=∠D′.AB=AD′.∠D′AE=∠BAD,即∠1+∠2=∠2+∠3.

∴ ∠1=∠3.

∴ △ABE ≌△A D′F(ASA).

(2) 猜想四邊形AECF是菱形,證明如下.

由折疊可知:AE=EC,∠4=∠5.

∵ 四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∠5=∠6.

∴ ∠4=∠6. AF=AE.

∵AE=EC,∴ AF=EC.

又∵ AF∥EC,∴ 四邊形AECF是平行四邊形.

∴ AECF是菱形.

點評:利用定義判定菱形時,一般先證明四邊形是平行四邊形,再利用條件找出一組鄰邊相等.如果已知有一組鄰邊相等,則只需讓四邊形為平行四邊形即可.總之,兩個條件缺一不可.

二?從四條邊的數(shù)量關系考慮

通過判定四邊形的四條邊相等,來說明四邊形為菱形.

例3 (2007年·巴中)如圖3所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°.點E?F分別在AB?AC上.把∠A沿著EF對折,使點A落在BC上點D處,且使ED⊥BC.試說明四邊形AEDF是菱形.

分析 由折疊的性質和等邊三角形可得出很多相等的邊,所以可利用四邊相等來證明四邊形AEDF是菱形.由軸對稱性質知:AF=DF,AE=DE.從而只需再判定AE=AF即可.

解:由折疊性質可知:AF=DF,AE=DE,∠AEF=∠DEF.

∵ ∠C=90°,∠A=60°,∴ ∠B=30°.

又∵ ED⊥BC,∴ ∠BED=60°.

∴ ∠AEF=∠DEF=1/2(180°-∠BED)=60°.

∴ △AEF為等邊三角形.AE=AF.

∴AF=DF=AE=DE.四邊形AEDF為菱形.

點評:利用四邊相等證明菱形,一般是利用軸對稱或三角形全等等知識.另外值得注意的是,兩個全等的等邊三角形可以“拼成”菱形.

三?從對角線的角度考慮

通過判定四邊形的對角線互相垂直平分,來判定四邊形為菱形.

例4(2006年·張家界)如圖4,已知ABCD的對角線AC?BD相交于點O.BD繞點O順時針方向旋轉,交AB?DC于點E?F.

(1)試說明:四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)BD繞點O順時針方向旋轉多大角度時,四邊形BFDE為菱形?請說明理由.

分析 根據(jù)題目的特點,本題應把握與對角線有關的兩個判定:(1)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

解:(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以OB=OD,AB∥CD,所以∠OBE=∠ODF.

又∠BOE=∠DOF,所以△BOE≌△DOF(AAS).

所以OE=OF.而OB=OD,所以四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)BD繞點O順時針方向旋轉90°時,四邊形BFDE是菱形.

理由:因為∠DOF=90°,所以EF⊥BD.又因為四邊形BFDE是平行四邊形,所以四邊形BFDE為菱形.

點評:通過對角線互相垂直平分判定菱形,其實質是先利用對角線互相平分判定平行四邊形,再利用對角線垂直判定菱形.