田家來

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”,是分析問題?解決問題的“金鑰匙”.我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),除了要注意解題經(jīng)驗(yàn)的積累外,還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想的總結(jié).現(xiàn)將與四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)思想歸納如下.

一?方程思想

例1 如圖1所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.若將矩形折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,則折痕為EF.試求折痕EF的長(zhǎng).

解析:如圖2,連接AC,AC與EF交于點(diǎn)O.連接AF?CE.因?yàn)檠谽F折疊后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,所以△AEF和△CEF關(guān)于EF對(duì)稱,所以O(shè)A=OC,EF⊥AC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以AE∥FC,所以∠1=∠2.又OA=OC,∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF.所以O(shè)E=OF.所以四邊形AFCE是平行四邊形.又因?yàn)镋F⊥AC,所以AFCE是菱形,所以AF=FC.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,所以AC=10.所以O(shè)A=OC=5.設(shè)BF=x,則CF=8-x,故AF=8-x.在Rt△ABF中,有x2+62=(8-x)2,所以x=.所以CF=.在Rt△FOC中,有OF===,所以EF=.

點(diǎn)評(píng):特殊四邊形折疊問題中,求線段的長(zhǎng)度,往往是根據(jù)折疊性質(zhì)(相應(yīng)的邊?角相等),通過勾股定理建立方程解決.

二?分類討論思想

例2 在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC與BD相交于點(diǎn)O,∠BOC=120°,AD=7,BD=10,求四邊形ABCD的面積.

解析:滿足條件的四邊形既可能是等腰梯形,也可能是平行四邊形,所以應(yīng)分類加以討論.

(1)當(dāng)四邊形ABCD為等腰梯形時(shí),如圖3.過D點(diǎn)作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,作DF⊥BC于點(diǎn)F.由∠BOC=120°,知∠OBC=∠OCB=∠DEF=30°,故DF=DE=AC=BD=5.在Rt△BDF中,根據(jù)勾股定理得BF==5,故梯形ABCD的面積=(AD+BC)·DF=(CE+BC)·DF=BE·DF=·2BF·DF=25.

(2)當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí),如圖4.過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E,由∠BOC=120°,得∠OBE=30°,故OE=OB=.根據(jù)勾股定理得BE=.在Rt△BEC中,由勾股定理得CE==,OC=CE-OE=3.故△BOC的面積=OC·BE=.而ABCD的面積為△BOC的面積的4倍,故等于15.

綜上所述,四邊形ABCD的面積為25或15.

點(diǎn)評(píng):對(duì)于題中沒有給出具體圖形的題目,要對(duì)可能存在的各種情況加以討論,要注意不遺漏?不重復(fù).

三?轉(zhuǎn)化思想

例3 如圖5,在ABCD中,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O .△OBC的周長(zhǎng)為59,BD=38,AC=24,則AD= .若△OBC與△OAB的周長(zhǎng)差為15,則AB= ,ABCD的周長(zhǎng)為 .

解析:要求AD的長(zhǎng),根據(jù)已知條件可轉(zhuǎn)化為求BC的長(zhǎng).要求AB的長(zhǎng),關(guān)鍵是將△OBC與△OAB的周長(zhǎng)差轉(zhuǎn)化為平行四邊形兩鄰邊BC與AB的差 .

在ABCD中,OA=OC=AC,OB=OD=BD,所以有:△OBC的周長(zhǎng)=OB+OC+BC=BD+AC+BC=19+12+BC=59.所以AD=BC=28 .

△OBC的周長(zhǎng)-△OAB的周長(zhǎng)=(OB+OC+BC)-(OA+OB+AB)=BC-AB=15,而BC=28,所以AB=13.

所以ABCD的周長(zhǎng)=2(AB+BC)=2×(13+28)=82.

點(diǎn)評(píng):在解題中,對(duì)于比較復(fù)雜或陌生的問題,常常通過轉(zhuǎn)化將其變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單或熟悉的問題來解決.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文