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        例說最優(yōu)化方法解實際問題

        2008-10-08 10:12:52莊興釗
        中學(xué)理科·綜合版 2008年8期
        關(guān)鍵詞:分配生產(chǎn)

        莊興釗

        現(xiàn)實中有很多問題涉及到求最大最小值問題,初中數(shù)學(xué)競賽也有這類問題.解決這類問題可以用最優(yōu)化方法.即首先構(gòu)造一個目標函數(shù),然后在限制條件下求目標函數(shù)的最大最小值,下面舉例說明.

        【例1】 某廠有甲,乙兩個車間同時生產(chǎn)A,B兩種型號的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個A型零件甲車間獲利32(單位:百元,下同),乙車間獲利27,而每生產(chǎn)1個B型零件甲車間獲利40,乙車間獲利36.現(xiàn)有A型零件35個,B型零件25個,要求每個車間都生產(chǎn)30個,并且都生產(chǎn)有A,B兩種型號的零件,問怎樣分配才能使在保證乙車間獲利不小于980的情形下工廠獲利最大?

        解:設(shè)分配給甲車間A型零件x個,由于生產(chǎn)總數(shù)是30個,故甲車間生產(chǎn)B型零件為(30-x)個.同樣設(shè)乙車間生產(chǎn)A型零件y個,則乙車間生產(chǎn)B型零件為(30-y)個.于是可以建立工廠獲利的目標函數(shù)為

        M(x,y)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y). ①

        我們的目的是要求27y+36(30-y)≥980,即在1≤y≤11的限制條件下目標函數(shù)M(x,y)的最大值.由于A型零件總共有35個,因此可以利用關(guān)系式x+y=35來化簡①式,得到

        M(x,y)=2000-y. ②

        又注意到B型零件總共有25個,而要求每個車間都要生產(chǎn)有A,B兩種型號的零件.故y只能取6,此時甲車間生產(chǎn)A型零件29個,B型零件1個.乙車間生產(chǎn)A型零件6個,B型零件24個.工廠獲利最大為1944.

        注:如果把上述限制條件“假設(shè)每生產(chǎn)1個A型零件甲車間獲利32”改為“假設(shè)每生產(chǎn)1個A型零件甲車間獲利30”,其他條件不變,則可以得到下述目標函數(shù)

        M(x,y)=30x+40(30-x)+27y+36(30-y)=1930+y. ③

        此時我們可以取y=11,甲車間生產(chǎn)A型零件24個,B型零件6個.乙車間生產(chǎn)A型零件11個,B型零件19個.工廠獲利最大為1944.

        【例2】 某廠有甲,乙兩個車間同時生產(chǎn)A,B兩種型號的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個A型零件甲車間獲利32(單位:百元,下同),乙車間獲利27,而每生產(chǎn)1個B型零件甲車間獲利40,乙車間獲利36.現(xiàn)有A型零件35個,B型零件25個,要求每個車間都生產(chǎn)30個,并且都生產(chǎn)有A,B兩種型號的零件,問怎樣分配才能使甲,乙兩個車間所獲利潤之差為最小?

        解:設(shè)分配給甲車間A型零件x個,由于生產(chǎn)總數(shù)是30個,故甲車間生產(chǎn)B型零件為(30-x)個,甲車間所獲利潤為32x+40(30-x)=1200-8x.同樣設(shè)乙車間生產(chǎn)A型零件y個,則乙車間生產(chǎn)B型零件為(30-y)個,乙車間所獲利潤為27y+36(30-y)=1080-9y.于是可以建立兩工廠獲利之差的目標函數(shù)為

        M(x,y)=1200-8x-(1080-9y)=120-8x+9y. ④

        我們的目的是要求x和y都取整數(shù)值且滿足x+y=35時M(x,y)取得最小值.很容易得到x=26,y=9,此時甲車間所獲利潤為992,乙車間所獲利潤為999.上述方法可以推廣到3個變元乃至n個變元的情形.

        【例3】 某廠有甲,乙,丙三個車間同時生產(chǎn)A,B兩種型號的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個A型零件甲車間獲利32(單位:百元,下同),乙車間獲利27,丙車間獲利28,而每生產(chǎn)1個B型零件甲車間獲利40,乙車間獲利36,丙車間獲利38.現(xiàn)有A型零件48個,B型零件42個,要求每個車間都生產(chǎn)30個,并且都生產(chǎn)有A,B兩種型號的零件,問怎樣分配才能使在保證乙車間獲利不小于980的情形下工廠獲利最大?

        解:設(shè)分配給甲車間A型零件x個,由于生產(chǎn)總數(shù)是30個,故甲車間生產(chǎn)B型零件為(30-x)個.設(shè)乙車間生產(chǎn)A型零件y個,則乙車間生產(chǎn)B型零件為(30-y)個.同樣設(shè)丙車間生產(chǎn)A型零件z個,則丙車間生產(chǎn)B型零件為(30-z)個.于是可以建立工廠獲利的目標函數(shù)為

        M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+38(30-z). ⑤

        限制條件仍然是1≤y≤11,利用關(guān)系式x+y+z=48來化簡⑤式,得到

        M(x,y,z)=2940+2x+y. ⑥

        現(xiàn)在的問題歸結(jié)為尋求x,y的取值使2x+y的值為最大,注意y的取值范圍是1≤y≤11,因此就取y的值為11,x取值為29時,目標函數(shù)M(x,y,z)取

        得最大值3009,此時甲車間生產(chǎn)A型零件29個,B型零件1個.乙車間生產(chǎn)A型零件11個,B型零件19個.丙車間生產(chǎn)A型零件8個,B型零件22個.

        注:如果把上述條件改為每生產(chǎn)1個B型零件丙車間獲利35,其他條件不變,則目標函數(shù)為

        M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+35(30-z). ⑦

        同樣利用關(guān)系式x+y+z=48來化簡⑦式,得到

        M(x,y,z)=2994-x-2y. ⑧

        此時我們可以取y=1,由于B型零件總共有42個,因此x的取值最小可以為18,此時甲車間生產(chǎn)A型零件1個,B型零件29個.乙車間生產(chǎn)A型零件18個,B型零件12個.丙車間生產(chǎn)A型零件29個,B型零件1個.工廠獲利最大為2974.

        【例4】 某廠有甲,乙,丙三個車間同時生產(chǎn)A,B兩種型號的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個A型零件甲車間獲利32(單位:百元,下同),乙車間獲利27,丙車間獲利28,而每生產(chǎn)1個B型零件甲車間獲利40,乙車間獲利36,丙車間獲利37.現(xiàn)有A型零件48個,B型零件42個,要求每個車間都生產(chǎn)30個,并且都生產(chǎn)有A,B兩種型號的零件,問怎樣分配才能使三個車間獲利最均勻?

        解:仍按例3的假設(shè),則甲車間獲利為32x+40(30-x)=1200-10x,乙車間獲利為27y+36(30-y)=1080-9y,丙車間獲利為28z+38(30-z),利用關(guān)系式x+y+z=48可以把丙車間獲利表示為660+10x+10y,于是甲車間獲利與乙車間獲利的差為

        M(x,y)=1200-10x-1080+9y=120-10x+9y. ⑨

        乙車間獲利與丙車間獲利的差為

        N(x,y)=1080-9y-660-10x-10y=420-10x-19y. ⑩

        由題意三個車間獲利最均勻就是要尋求x,y的取值使目標函數(shù)⑨和⑩與零最接近.因此可以令M(x,y)=0,N(x,y)=0,通過解方程組

        求得x,y的取值.解方程組B115脁=21.6,y=10.7,于是z=48-21.6-10.7=15.7,但由于零件數(shù)不能取小數(shù),故取x=21,y=11,z=16,此時甲車間生產(chǎn)A型零件21個,B型零件9個.乙車間生產(chǎn)A型零件11個,B型零件19個.丙車間生產(chǎn)A型零件16個,B型零件14個.而甲,乙,丙三個車間獲利分別為990,981,980.

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