龐如蘭

等腰三角形是初中幾何中的重要內(nèi)容之一.借助等腰三角形的判定和性質(zhì)，我們可以很方便地解決不少問題.當(dāng)題目中沒有明確給出等腰三角形時(shí)，我們可以通過作輔助線構(gòu)造等腰三角形來解決問題.下面舉例說明如何作輔助線構(gòu)造等腰三角形.

1. 角平分線+平行線

例1如圖1，在等腰△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線.求證：AD+BD=BC.

證明：∵AB=AC，∠A=100°，

∴∠ABC=∠C=40°.

如圖2，在BC上截取BG=BD，則△BGD為等腰三角形，

∴∠BGD=∠BDG=1/2（180°-∠DBG）=1/2(180°-1/2∠ABC)=80°.

故∠CGD=100°.而∠C=40°，故∠CDG=40°.

過D作DE∥BC交AB于E，

∴∠BDE=∠DBG=∠DBE，DE=BE.

由平行線性質(zhì)易知△AED是等腰三角形（且三個(gè)角為100°，40°，40°），AE=AD.

所以BE=CD.所以DE=CD.

∴△AED≌△GCD（AAS）.GC=AE=AD.

∴BC=BG+GC=BD+AD.證畢.

點(diǎn)評(píng)：過角平分線作一邊的平行線可以構(gòu)造出等腰三角形.在本題中，△BED是一個(gè)基本圖形，在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到.當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線時(shí)，通過作輔助線構(gòu)造等腰三角形是解決問題的一種常用方法.本題還可以這樣來證：延長(zhǎng)BD到E，使DE=DA，連接EC.只要證明△BCE等腰即可.在BC上取一點(diǎn)F，使BF=BA.連接DF.易證△ABD≌△FBD（SAS）.DF=DA=DE.經(jīng)計(jì)算知∠FDC=∠EDC=60°.故△DEC≌△DFC（SAS）.故∠ECF=2∠DCF=80°.又∠EBC=20°，故△BCE是等腰三角形.

2. 角平分線+垂線

例2如圖3，P為△ABC的∠A平分線AM上一點(diǎn)，且AB>AC.求證：AB-AC>PB-PC.

證明：作CF⊥AM交AB于D點(diǎn)，垂足為F點(diǎn).如圖4.

易知△ACF≌△ADF（ASA）.

連接PD，AF可視為DC的中垂線，則PD=PC.

∴AB-AC=AB-AD=DB.

又PB-PC=PB-PD，在△BPD中，DB>PB-PD，

∴AB-AC>PB-PC.

點(diǎn)評(píng)：由于等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線三線合一，因此過角的一邊上的點(diǎn)作角平分線的垂線，就可以得到等腰三角形，從而增加題目條件，找到解題突破口.

3. 線段垂直平分線+點(diǎn)

例3如圖5，O是△ABC中AB、AC兩邊中垂線的交點(diǎn)．求證：∠BOC=2∠A.

證明：連接OA，如圖6，則OA=OB=OC.

∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OAC=∠OCA.

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-（∠ABC-∠OBA）-（∠ACB-∠OCA）

=180°-∠ABC-∠ACB+∠OBA+∠OCA

=∠BAC+∠OAB+∠OAC=2∠BAC.

點(diǎn)評(píng)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，因此，從線段垂直平分線上任選一點(diǎn)（非線段上的點(diǎn)），與線段的兩個(gè)端點(diǎn)連接，就構(gòu)成了等腰三角形.

4. 等腰三角形+平行線

例4如圖7，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a.在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使CD=b.在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AE=a+b.求證：EC=ED.

證明：如圖8，過E作EF∥AC交BC的延長(zhǎng)線于F.

∴∠F=∠ACB，∠BEF=∠BAC，故△BEF也是等邊三角形.

∴BF=BE=a+a+b=2a+b，DF=BF-BD=2a+b-（a+b）=a.

在△EBC和△EFD中，EB=EF，BC=DF=a，∠B=∠F=60°，

∴△EBC≌△EFD，EC=ED.

點(diǎn)評(píng)：作等腰（邊）三角形一邊的平行線與另外兩邊或延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形依然是等腰（邊）三角形.另一方面，對(duì)等腰三角形腰或其延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)P，若在另一腰或其延長(zhǎng)線上找出另一點(diǎn)Q，使Q到頂角頂點(diǎn)A的距離與P到A點(diǎn)的距離相等，則PQ平行或重合于等腰三角形的底邊，且△APQ等腰.這是一個(gè)很重要的性質(zhì)，在例1中也有體現(xiàn).

5. 外角=2×內(nèi)角

例5如圖9，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠A的平分線.求證：AC=AB+BD.

證明：∵∠B=2∠C>∠C，∴AC>AB.

如圖10，在AC上取一點(diǎn)E，使AE=AB，連接DE.易知△ADE≌△ADB（SAS），BD=ED，∠B=∠AED.

∵∠AED=∠C+∠EDC，∠AED=∠B=2∠C，

∴∠C=∠EDC.

∴CE=DE=BD.AC=AE+CE=AB+BD.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)三角形有一個(gè)外角等于一個(gè)不相鄰內(nèi)角的2倍時(shí)，利用三角形的內(nèi)角和定理及其推論，不難知道這個(gè)三角形就是等腰三角形.