劉玉東

三角形的角平分線是三角形的主要線段之一.它在幾何的計(jì)算或證明中，起著“橋梁”的作用．那么，如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說明．

一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形

此情形下可構(gòu)造兩種基本圖形，如圖1、圖2所示.

△ABC中，AD是角平分線.如圖1，以AD為軸翻折，使點(diǎn)C落在AB上（即在AB上截取AE=AC），得△ACD≌△AED．如圖2，以AD為軸翻折，使點(diǎn)B落在AC的延長線上（即延長AC到E，使 AE=AB），得△ABD≌△AED．

例1如圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB+BD=AC.求∠B ∶∠C的值．

解法1：如圖4，在AC上截取AE=AB，連接DE．

則△ABD≌△AED（SAS）.

∴∠B=∠AED，BD=ED．

又∵AB+BD=AC，

∴CE=BD=ED.

∴∠C=∠EDC.

∴∠B=∠AED=2∠C.

∴∠B∶∠C=2∶1．

解法2：延長AB到E，使AE=AC ，連接DE．請(qǐng)讀者一試．

二、“角平分線+垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形

1. 根據(jù)角平分線的性質(zhì)，自角平分線上任一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，得兩個(gè)全等的直角三角形.

2. 自角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線并延長，與另一邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形．

例2如圖5，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC．

求證：∠A+∠C=180°．

證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB，交BA延長線于點(diǎn)E；作DF⊥BC，交BC于點(diǎn)F ．如圖6.

∵BD平分∠ABC，

∴DE=DF ．

又∵AD=CD，

∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.

∴∠C=∠EAD．

∵∠EAD+∠BAD=180°，

∴∠C+∠BAD=180°．結(jié)論得證.

評(píng)注：本題也可通過“以角平分線為軸翻折”的思路解：沿BD翻折△BDC得△BDC′，則△ADC′是等腰三角形，∠C=∠C′=∠EAD.

例3如圖7，等腰Rt△ABC中，∠A=90°.∠B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E．求證：BD=2CE .

證明：如圖8，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)F.

∵BE是∠B的平分線，BE⊥CF，

∴∠BCF=∠F.

∴△FBC是等腰三角形．

∴CE=FE．

∴CF=2CE．

∵AB=AC，∠ABD=∠ACF（因在△BAD與△CED中已有兩角相等），∠BAD=∠CAF=90°，

∴Rt△BAD≌Rt△CAF．

∴BD=CF=2CE．

評(píng)注：上面證法是構(gòu)造出2CE，也可構(gòu)造出1/2BD來證：自D作DF∥BC交AB于F.易知△AFD是等腰三角形，AF=AD，故FB=DC.易知△BDF是等腰三角形，F(xiàn)D=FB=DC.作FG⊥BD于G，則DG=1/2BD.由∠CDE=∠BDA=90°-∠ABD，∠DFG=∠BFG=90°-∠ABD，易證△DFG≌△CDE（AAS）.

三、“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形

1. 自角平分線上任一點(diǎn)作角的一邊的平行線與另一邊相交，得等腰三角形.

2. 自角的一邊上任一點(diǎn)作角平分線的平行線與另一邊的延長線相交，得等腰三角形．

例4如圖9，在△ABC中，∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)F.過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E．若BD+EC=9，則線段DE的長為（）.

A. 9B. 8C. 7D. 6

解：∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠FBC ．

∵∠FBC=∠FBD，

∴∠DFB=∠FBD.

∴DF=DB．

同理可證EF=EC ．

∵DF+EF=DE，

∴BD+EC=DE，則DE=9. 故應(yīng)選A.

例5如圖10，△ABC中，AD是∠BAC的平分線.E是BC中點(diǎn).EF∥AD，交AB于M，交CA的延長線于F.求證：BM = CF．

證明：作BN∥FC交FE的延長線于N．如圖11.

∵E是BC中點(diǎn)，

∴△BEN≌△CEF（ASA）.

∴CF=BN.

易知△AFM為等腰三角形，從而△BMN也為等腰三角形（∠BNM=∠MFA=∠FMA=∠BMN），BM=BN.

∴BM = CF．

總之，涉及三角形角平分線問題的輔助線的添加，一般不外乎以上三種情形.只要根據(jù)題目所給的條件，靈活選用上述三種構(gòu)造方法，問題一般不難獲得解決．