（一）

在印度北部的一個佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著3根寶石針，每根長約0.5米.據(jù)說印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界時，在其中的一根針上，自上而下由大到小放了64片金片（較小的金片壓在較大的上面）.每天24小時，都有僧侶值班，按照以下的規(guī)律，不停地把這些金片在3根寶石針上移來移去：每次只準(zhǔn)移動一片，且不論在哪根針上，較小的金片只能放在較大的金片上.當(dāng)所有64片金片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界的末日就要到臨.

這雖是一個傳說，但卻引起了人們的重視，大家都想知道僧侶移動完這64片金片需要多少時間.也就是說，人類在這個世界上還可以生存多少時間.讓我們來算算看.

設(shè)原來放置金片的寶石針為甲，其它兩根針為乙、丙.

①設(shè)金片只有一片.顯然，只要移動1次即可.

②設(shè)金片只有二片.可先將較小金片移至乙針上，較大金片移至丙針上，再將較小金片從乙針移至丙針上，共移動3次.

③設(shè)金片有三片.可先將上面兩片金片移到乙上.按②可知，共需移動3次.再把第三片移至丙，又移一次.下面把乙上兩片移至丙，同②，還需三次.以上共需2×3+1=7次.

④設(shè)金片有四片.先把上面三片移至乙，按③需7次.再把第四片從甲移到丙上，又移一次.最后，把較小的三片從乙移至丙，又需移7次.以上共需移動2×7+1=15次.

依此遞推下去，設(shè)有k片金片，先將k－1片移至乙，需移動S^k-1次.然后再把第k片移至丙，又移一次.最后把k－1片從丙移至乙，又需S^k-1次.以上共需移動（2×S^k-1+1）次.

這樣，我們可以得到如下的遞推式：

S^k=2·S^k-1+1.

根據(jù)這個遞推公式，分別令k=1，2，3，…，64，得

S₁=1＝2¹-1；

S₂=2S₁+1=2（2¹-1）+1=2²-1；

S₃＝2S₂+1=2（2²-1）+1=2³-1；

S₄=2S₃+1=2（2³-1）+1=2⁴-1；

……

S₆₄=2⁶⁴-1=18446744073709551615.

如果僧侶移動金片一次需要1秒鐘，移動這么多次共需約5845億年.把這個預(yù)言和現(xiàn)代科學(xué)推測對比一下倒是有意思的.按照現(xiàn)代的宇宙進(jìn)化論，恒星、太陽、行星（包括地球）是在３０億年前由不定形物質(zhì)形成的.我們還知道，給恒星特別是給太陽提供能量的“原子燃料”還能維持100～150億年.因此，我們太陽系的整個壽命無疑要短于200億年.可見遠(yuǎn)不等僧侶們完成任務(wù)，地球早已毀滅了.

（二）

據(jù)說有人研究《圣經(jīng)》，并運(yùn)用電腦經(jīng)過長時間計算之后斷言， 等到某個世紀(jì)的第一天正好是星期日時，世界末日就到了.這個傳說中的“世界末日”距今天還有多久呢？

我們試作分析，用數(shù)學(xué)知識來揭穿這不可信的預(yù)言.下面分兩種情況討論.

第一種看法認(rèn)為，2000年是21世紀(jì)的第一年，2000年的第一天是星期六，距星期天只有一天之差，真是玄而又玄啊.

大家都知道，每4年一個閏年，其年數(shù)能被４整除.在能被４整除的年份中，能被100整除，但不能被４００整除的年份不是閏年，能被400整除的年份又是閏年.因此2000年是閏年，2月有29天，但2100年，2200年，2300年都不是閏年.21世紀(jì)有25個閏年，這100年中共有36525天，相當(dāng)于5217個星期再加上6天.但是22，23，24三個世紀(jì)都各有36524天，因此，世紀(jì)日的星期序數(shù)就會向后順延5天，從上面分析，我們不難列出下面的一張表格：

觀察此表，我們的心終于放下來了，原來“世紀(jì)日”的星期序數(shù)是有周期性的，它只能在星期六、星期五、星期

三、星期一中出現(xiàn)，根本不會是星期日.在這種分析下，“世界末日”并不存在.

第二種看法認(rèn)為，2001年是21世紀(jì)的第一年，分析方法和上面一樣，它又是按如下周期出現(xiàn)的：

所以第二種分析下，“世界末日”也不存在.

不管上面哪種分析，都不會出現(xiàn)所謂的“某個世紀(jì)的第一天正好是星期日”的情況.上面的規(guī)律在以后的年份中都是循環(huán)出現(xiàn)的，400年中共有146097天，而146097÷7=20871，剛好整除，所以在某個世紀(jì)的第一天是不會出現(xiàn)星期日的.所以，“世界末日”的這一傳說又被數(shù)學(xué)知識揭穿了它的偽科學(xué)性.