張海生

憶往昔，2007年10月24日18：05，中國嫦娥1號月球探測衛(wèi)星發(fā)射成功！看明朝，2008年8月8日~24日第29屆奧林匹克運動會在中國北京舉辦!每每想起這些萬眾矚目、激動人心的時刻，同學(xué)們一定為中國的輝煌喝彩!心中也一定有一面五星紅旗在冉冉升起！

下面我們就從五星紅旗上的五角星中角的求和問題談起吧.

例1如圖1，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.

解析：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得到∠1=∠C+∠B，∠2=∠D+∠E，進(jìn)一步得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°.也可以連接BE，如圖2，在△CDO和△BOE構(gòu)成的圖形中由∠D+∠C=∠OBE+∠OEB，從而把五角星ABCDE的五個內(nèi)角“放”到了△BEA中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E為180°.

評注：把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，是解決多邊形問題的基本思想.因此當(dāng)求一個圖形中多個角的和時，常把它們的和化歸為一個多邊形的內(nèi)角和，如利用三角形的內(nèi)角與外角關(guān)系解決.你知道∠D+∠C=∠OBE+∠OEB的原因嗎？其實這是一個非常重要的結(jié)論，在很多角的求和問題中非常有用.

例2將圖2中的點A向下移到CD上時，如圖3，五個角的和，即∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E有無變化？如圖4，點A繼續(xù)向下移到CD下方時，五個角的和，即∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E有無變化？如圖5，CD長度變短時，五個角的和，即∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E有無變化？如圖6，點A移到DC上，點B向上移動到DE上時，五個角的和即∠BAE＋∠C＋∠ABC＋∠D＋∠E有無變化？

解析：為了更方便解決4個變形圖中五個角的和問題，可以連接BE，構(gòu)造上面“蝴蝶形”圖形，在△CDO和△BOE中由∠D+∠C=∠OBE+∠OEB，圖6中根據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，從而把五角星ABCDE的五個內(nèi)角“放”到了△BEA中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出五個角的和仍為180°.

評注：相信此時同學(xué)們已經(jīng)感覺到“蝴蝶形”圖形中的結(jié)論“如果兩個三角形有一個角是對頂角，那么這兩個三角形的另外兩個角的和相等”的妙用.同學(xué)們不妨也嘗試一下，當(dāng)五角星作其他變形后，用此種方法解決問題比例1中的第一種思路更好用.當(dāng)然這只適合于做填空、選擇題，對于解答題一定要寫一下推理過程.

同學(xué)們快來親自試一試上面方法的妙處吧!

1.如圖7，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5.

2.如圖8，由平面上五個點A、B、C、D、E連接而成，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.

3.如圖9（1）、（2），任作兩個七角星形（不必是正七角星），試計算∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G．（友情提示：用圖中的輔助線，如圖10，即可解決問題）

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”