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        折紙中的數(shù)學(xué)

        2008-06-02 06:45:24王明飛
        關(guān)鍵詞:長(zhǎng)軸折痕折紙

        王明飛

        數(shù)學(xué)中折紙問(wèn)題,易于學(xué)生動(dòng)手操作,具有很強(qiáng)的直觀感,趣味性強(qiáng),能培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力,是開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)的好素材,這類探究·拓展題在新課改及高考中就經(jīng)常出現(xiàn),因此,在平時(shí)教學(xué)中就要引起我們足夠的重視,下面就一道折紙問(wèn)題來(lái)探討折紙中有趣的數(shù)學(xué).

        準(zhǔn)備一張圓形紙片,在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F,將紙片折起,使圓周過(guò)點(diǎn)F(如圖1),然后將紙片展開(kāi),就得到一條折痕l(為了看清楚,可把直線l畫出來(lái)).這樣繼續(xù)折去,得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓,它們形成什么曲線?

        折許多條折痕就圍成了如圖2的一個(gè)橢圓,我們知道,橢圓應(yīng)該由點(diǎn)的軌跡來(lái)具體確定,那究竟是什么樣的點(diǎn)構(gòu)成了這個(gè)橢圓?

        圖1 圖2如圖3,設(shè)圓心F ′,圓的半徑為2a,F ′F=2c,以F ′F中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn) ′F所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,P為圓上一點(diǎn),PF的垂直平分線l交PF ′于點(diǎn)M,我們來(lái)探求M的軌跡.

        分析 連MF,由垂直平分線的性質(zhì)可知,MP=MF,則MF ′+MF=MF ′+MP=2a>F ′F.

        圖3由橢圓的定義可知,M的軌跡是以F、F ′為焦點(diǎn)的橢圓,其中長(zhǎng)軸為2a,焦距為2c,令b2=a2-c2,則橢圓的方程為x2a2+y2b2=1.

        現(xiàn)在問(wèn)題是M的軌跡與折痕圍成的橢圓是否是同一個(gè)橢圓?如圖3,設(shè)M ′是直線l上不同于M的任一點(diǎn),則M ′F ′+M ′F=M ′F ′+M′P>PF ′=2a,所以M ′在橢圓的外部,當(dāng)P取遍⊙F ′上所有的點(diǎn)時(shí),l所圍成的輪廓就是M點(diǎn)所確定的橢圓,從圖2中可以看出,折痕上的點(diǎn)也在它所圍成的橢圓上或外部,而折痕所在的直線就是l,所以點(diǎn)M的軌跡與折痕圍成的橢圓就是同一個(gè)橢圓.

        進(jìn)一步思考,發(fā)現(xiàn)這個(gè)折紙問(wèn)題是個(gè)十分有趣的開(kāi)放性問(wèn)題,它包含了許多的數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)一步探究,還可以得出一些有趣的結(jié)論:

        探究1 M是折痕l上到兩點(diǎn)F、F ′距離之和最小的點(diǎn).

        探究2 折痕上的M點(diǎn)構(gòu)成了橢圓,而其余的點(diǎn)都在橢圓外,所以折痕所在的直線l就是橢圓的切線.

        所以Δ=0,即l與橢圓相切,當(dāng)l的斜率不存在時(shí),相切顯然成立,所以l是橢圓的切線,M是切點(diǎn).

        探究4 由對(duì)稱性可知,∠FMN=∠PMN=∠F ′MM ′,這一點(diǎn)反映在橢圓的光波與聲波的性質(zhì)上,一束光從F點(diǎn)出發(fā),經(jīng)橢圓反射后,反射光一定通過(guò)F ′點(diǎn),聲音傳到橢圓上,經(jīng)過(guò)連續(xù)幾次反射,在很遠(yuǎn)的地方也能聽(tīng)到聲音,北京天壇公園里的回音壁就暗合了聲學(xué)的傳音原理.

        探究5 如果已知F、F ′為橢圓的焦點(diǎn),M是橢圓上一點(diǎn),如圖3,現(xiàn)將MF折起使F點(diǎn)與F ′M延長(zhǎng)線上的P點(diǎn)重合,則P的軌跡是以F ′為圓心,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為半徑的圓,方程為(x+c)2+y2=4a2,設(shè)折痕l與PF的交點(diǎn)為N,則N的軌跡是以O(shè)為圓心,半長(zhǎng)軸為半徑的圓,方程為x2+y2=a2,同時(shí)折痕l是橢圓的切線.

        探究6 若∠F ′PF=θ,則S△MF ′F=b2tanθ.

        證明 因?yàn)椤螰 ′PF=θ,所以∠F ′MF=2θ,|F ′F|2=|MF ′|2+|MF |2-2|MF ′||MF|cos2θ4c2=4a2-2|MF ′||MF|(1+cos2θ)|MF ′||MF|=2b21+cos2θ=b2cos2θ

        S△MF ′F=12|MF ′||MF|sin2θ=b2tanθ.

        通過(guò)對(duì)上述折紙過(guò)程的分析、探究及證明,使學(xué)生對(duì)橢圓的定義、方程及性質(zhì)有更深的理解,起到了學(xué)以致用,理論聯(lián)系實(shí)際的作用.如果將此題中的F點(diǎn)移到圓外,折紙的方法相同,就可以得到一道關(guān)于雙曲線的折紙操作題,有興趣的讀者不妨先操作再做更深入的探究.

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