一、基礎(chǔ)知識(shí)精要

1. 軸對(duì)稱、對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.這條直線叫做對(duì)稱軸.兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn).

如圖1，如果△ABC沿直線PQ折疊后，與△A′B′C′重合，則稱△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線PQ對(duì)稱，直線PQ是對(duì)稱軸，點(diǎn)A與A′、B與B′、C與C′是關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn).

提醒：（1）軸對(duì)稱包含兩層意思：①有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；②對(duì)重合的方式有限制，也就是：把它們沿著某一條直線對(duì)折后能夠重合.

（2）對(duì)稱軸是一條直線，而非線段、射線等.

（3）對(duì)稱點(diǎn)是指折疊后重合的點(diǎn)，對(duì)稱線段也是指折疊后重合的線段，如圖1中線段AB與A′B′就是關(guān)于直線PQ對(duì)稱的線段.

2. 軸對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸.

提醒：軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形的本身.

3. 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的關(guān)系

它們的主要區(qū)別是：（1）軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間的對(duì)稱關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形自身的對(duì)稱特征；（2）軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)分別是在兩個(gè)圖形上，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱點(diǎn)是在同一個(gè)圖形上；（3）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能經(jīng)過(guò)兩個(gè)圖形的內(nèi)部或它們的公共點(diǎn)（邊），軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)這個(gè)圖形的內(nèi)部.

它們的主要聯(lián)系是：

（1）都是沿某直線翻折后能夠互相重合的.

（2）若把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；若把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸所在直線分成兩部分，那么這兩部分又可看成關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.

4. 成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)

（1）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.

（2）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線.如圖1，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線PQ對(duì)稱，則△ABC≌△A′B′C′，PQ垂直平分線段AA′、BB′、CC′等.

（3）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，如果對(duì)稱線段（或其延長(zhǎng)線）相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

提醒：（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形全等；反過(guò)來(lái)，兩個(gè)圖形全等，這兩個(gè)圖形不一定成軸對(duì)稱（如一個(gè)三角形繞其某頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，所得的兩個(gè)全等三角形）.

（2）若兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，則連接對(duì)稱點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

5. 關(guān)于畫圖

如果一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，那么連接對(duì)稱點(diǎn)的線段的垂直平分線就是該圖形的對(duì)稱軸.

而畫一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，要先確定對(duì)稱軸，再找出對(duì)稱點(diǎn).找對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是畫出一些特殊點(diǎn)，如線段的端點(diǎn)、圖形的頂點(diǎn)等.

二、典例剖析

例1如圖2，下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是_______.

思維技巧：判斷一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形，要抓住軸對(duì)稱圖形的特征，即對(duì)于這個(gè)圖形來(lái)說(shuō)，能夠找到某條直線，沿著這條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能夠完全重合.

解：由軸對(duì)稱圖形的特征可知，圖中的（1）、（3）、（4）、（5）、（8）是軸對(duì)稱圖形.

點(diǎn)評(píng)：（1）一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形，是針對(duì)一個(gè)圖形的整體而言的.圖形的某一部分是軸對(duì)稱圖形不代表整個(gè)圖形也是軸對(duì)稱圖形.（2）要善于變換角度去發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，如例1的（8）.（3）防止視角差異導(dǎo)致誤判.

例2試找出下列每個(gè)正多邊形的對(duì)稱軸的條數(shù)，并填入表格中.

根據(jù)上表，請(qǐng)就一個(gè)正多邊形對(duì)稱軸的條數(shù)作一個(gè)猜想.

思維技巧：先畫出每一個(gè)正多邊形的所有對(duì)稱軸，分析對(duì)稱軸的條數(shù)與正多邊形的邊數(shù)的關(guān)系，再通過(guò)幾個(gè)正多邊形驗(yàn)證，得出一般性的結(jié)論.

解：畫出各正多邊形的對(duì)稱軸，其條數(shù)依次為3，4，5，6，8.由此可猜想：一個(gè)正n邊形的對(duì)稱軸的條數(shù)正好等于其邊數(shù)n.

例3（1）如圖4（1），已知點(diǎn)A、B和直線MN，試畫出點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′.

（2）如圖4（2），已知線段AB和直線MN，試畫出線段AB關(guān)于直線MN的對(duì)稱線段A′B′.

（3）如圖4（3），已知△ABC和直線MN，試畫出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△A′B′C′.

解：分別如圖5中三個(gè)圖所示.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)畫某一復(fù)雜圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的圖形時(shí)，可以先畫出它上面一些特殊的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再依次連接即可得到結(jié)果.

例4（最短距離問(wèn)題）如圖6，直線MN表示一條小河.一牧民在點(diǎn)A放馬，現(xiàn)在要讓馬到河邊去飲水，然后回帳篷點(diǎn)B處（A、B在小河MN同旁）.問(wèn)：飲水地在何處時(shí)才能使他所走的路最短？在圖中表示出代表飲水地的點(diǎn).

思維技巧：要使所走的路最短，即在直線MN上找到一點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到A和到B的距離之和最小.

解：如圖7.畫點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′.連接A′B交MN于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：本例是利用軸對(duì)稱性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的范例.作出B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，也能找出同樣的C點(diǎn).

例5（最佳點(diǎn)問(wèn)題）設(shè)CDEF是一臺(tái)球桌的矩形臺(tái)面，A、B分別是黑、白兩個(gè)球，如圖8.如果擊打黑球A，使黑球A碰到臺(tái)球桌臺(tái)邊EF后反彈擊中白球B，黑球A應(yīng)經(jīng)過(guò)怎樣的路線？

思維技巧：如果A球擊出后撞到臺(tái)邊EF上的M點(diǎn)反彈，恰好擊中B球，設(shè)MN是垂直EF的直線，則有∠AMN=∠BMN.∠AMN、∠BMN分別稱為入射角與反射角.大自然中，很多反射現(xiàn)象都遵循這個(gè)規(guī)律，例如光線從A處射入，經(jīng)過(guò)鏡面上一點(diǎn)M反射后，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，也必有∠AMN=∠BMN.故作A點(diǎn)關(guān)于EF對(duì)稱的點(diǎn)A′，連接A′B與EF相交于點(diǎn)M，擊打黑球A到M點(diǎn)，即可使黑球A擊中白球B.

探索與思考

1. 如圖9，已知P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)分別在OA、OB上作一點(diǎn)P′、P″，使△P P′P″周長(zhǎng)最小.

2. 如圖10，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形彈子球臺(tái)面.有黑、白兩球分別位于E、F兩點(diǎn)上.試問(wèn)：怎樣撞擊黑球E，才能使黑球先碰撞臺(tái)邊CD，再撞擊臺(tái)邊AD，反彈后擊中白球F？