恒等式“A=B”的證明，一般方法是：“A→B”型，“B→A”型，“A→C，B→C”型三種代數(shù)類型；而利用概率論思想方法及適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂梢暂^方便地解決一些看似較難的恒等式的證明。這不但拓寬了恒等式證明的思路，還說明了概率方法具有廣泛的作用，也說明了萬事萬物都是互相聯(lián)系、互相作用的哲學(xué)思想?，F(xiàn)舉例如下：

例1：證明下面的恒等式：

其中為正整數(shù)，且

證明：考慮有個(gè)產(chǎn)品，其中有個(gè)正品，個(gè)副品的情況。將它們編號(hào)，從中取個(gè)（每次取一個(gè)，作不放回抽?。?。則第次抽取首次出現(xiàn)正品的概率為：

= （ 表示排列種數(shù)）

由于副品總數(shù)為個(gè)，故若抽取次全為副品，則mn+1次以后應(yīng)全為正品，此即事件 ：“第次首次出正品”，的并為必然事件，即：

又因是不放回抽取，每次取一個(gè)。

∴，即 = 1

因?yàn)檎麛?shù)，兩邊同除以得：

1+++… =

例2：證明恒等式：

=

證明：可利用巴納赫火柴問題來證。設(shè)某人帶有兩盒火柴，分別放于左右兩口袋，每次取用時(shí)，他在兩盒中任抓一盒，從中任取一根。這種連續(xù)的抽取構(gòu)成了一串的貝努里試驗(yàn)。設(shè)開始每盒火柴恰有根?？紤]他第一次發(fā)現(xiàn)空盒的時(shí)候，設(shè)從第一盒中選取為“成功”?！爱?dāng)發(fā)現(xiàn)第一盒火柴空了，第二盒還有根”這一事件。等價(jià)于“恰有次失敗發(fā)生在第次成功之前”，該事件的概率由巴斯卡分布知為：。因?yàn)閮珊谢鸩袼幍匚幌嗤?，可得事件：“?dāng)發(fā)現(xiàn)第一盒火柴空了，第二盒還有根”記為的概率為：

取0到的各事件之和為必然事件，所以：

即是

令，并注意到對(duì)應(yīng)從0變到，而是從變到0，即得：

例3：證明對(duì)≤2有

成立。

證明：設(shè){}這一列相互獨(dú)立的，同服從[0，1]上均勻分布的隨機(jī)變量，則{}獨(dú)立同分布，{}獨(dú)立同分布，且

) =

由柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定理可得

()=0， () = 0，

即 = ， =，（1）

又因0<<1，≤2，故

≤≤

所以

≤，

據(jù)此依控制收斂定理及（1）式即可得到

[1]王梓坤著.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京師大出版社，1996年.

[2]茆詩松，周紀(jì)薌編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2000年.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。