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        三角函數(shù)求值的解題方法

        2008-04-12 00:00:00曹世國(guó)
        陜西教育·高教版 2008年4期

        “三角函數(shù)求值”問(wèn)題是三角函數(shù)的主題,是高考命題者的重要耕耘之地和眾考生的必爭(zhēng)之地。通覽近幾年高考試卷,“求值型”主、客觀試題屢見(jiàn)不鮮。這類試題重點(diǎn)考查對(duì)三角公式的靈活運(yùn)用和觀察、分析、化歸及運(yùn)算能力。主要可歸納為以下幾種題型:(1)無(wú)條件求值;(2)條件求值;(3)求三角函數(shù)的最值;(4)三角形中的三角函數(shù)的求值。下面就從這些類型出發(fā),探求三角函數(shù)求值的解題方法。

        無(wú)條件求值

        無(wú)條件求值是指“給角求值”,由于這類求值涉及的是非特殊角,往往通過(guò)三角函數(shù)變換湊出特殊角或減少特殊角,設(shè)法產(chǎn)生抵消項(xiàng)或公因式進(jìn)行求值。

        求的值。

        解:原式=

        條件求值

        條件求值總是有兩種情形:(1)給值求值;(2)給值求角。對(duì)于前一情形關(guān)鍵在于“變角”,使所求式子中角與已知式子角相同或具有某種關(guān)系,從而得所求式子之值;對(duì)于后一情形可轉(zhuǎn)化為“給值求值”,關(guān)鍵也是“變角”――把所求的角用含已知其值的角的式子表示,由所求角的函數(shù)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求角,不要忽視對(duì)所求角的范圍考察。

        已知:,

        求的值。

        解:

        解得:

        和差化積:(3)

        和差化積:(4)

        從而

        已知:均為銳角,,求的值。

        解:∵為銳角,

        ∴;

        ∴為銳角,可得

        ∵∴

        求三角函數(shù)的最值

        三角函數(shù)的最值與求代數(shù)函數(shù)的最值方法類似,常見(jiàn)的基本題型是:(1)化成一個(gè)角的三角函數(shù);(2)化成關(guān)于某三角函數(shù)的二次函數(shù)型。但在求三角函數(shù)最值時(shí)要注意三角函數(shù)的有界性,尤其限制角的范圍時(shí)更要考慮三角函數(shù)值的范圍。

        求函數(shù)的最大值。

        解:

        =

        當(dāng),即時(shí),

        設(shè),求函數(shù)的最大值和最小值。

        解:令t=sin,由于

        ∴當(dāng)即時(shí),;當(dāng)即時(shí),

        三角形中的三角函數(shù)求值

        三角形中的三角函數(shù)求值 與三角函數(shù)的其它求值相比,多了一個(gè)限制條件(三內(nèi)角A,B,C滿足且A+B+C=)和兩個(gè)邊角互相轉(zhuǎn)化的定理(正、余弦定理),解題時(shí)要充分運(yùn)用這些條件結(jié)合有關(guān)的三角公式進(jìn)行三角變換。這類問(wèn)題求解的思維模式是:

        在ABC中,a,b,c分別是角A、B、C的對(duì)邊,設(shè),,求sinB的值。

        解:由 ,可化為:

        2RsinA+2RsinC = 2€識(shí)sinB,即sinA+sinC = 2sinB,從而2sin cos = 2sinB

        ∵sin=cos ,cos≠0,∴coscos =2sincos

        即sin = ,從而cos = 。

        ∴sinB = 2sincos =

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。

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