摘 要：采用有限差分法利用Matlab求解了方同軸波導(dǎo)的特性阻抗和高次模的截止波長(zhǎng)并畫出了場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖，將所得數(shù)據(jù)與國(guó)外文獻(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，證明了有限差分法結(jié)合Matlab在分析簡(jiǎn)單截面的同軸波導(dǎo)時(shí)是簡(jiǎn)單可行的，而且計(jì)算精度較高，通用性強(qiáng)，可以用于傳輸線工程問(wèn)題的設(shè)計(jì)和計(jì)算。最后計(jì)算了矩形同波導(dǎo)和偏心同軸波導(dǎo)的相關(guān)數(shù)據(jù)，用于與方形同軸波導(dǎo)對(duì)比。

關(guān)鍵詞：方同軸波導(dǎo)；有限差分法；亥姆霍茲方程；特性阻抗；截止波長(zhǎng)

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1004373X(2008)0310003

Analysis of Transmission Character in Square Coaxial Waveguide with Matlab

JIN Jing，LU Mai，CHEN Xiaoqiang

(Key Laboratory of Opto—Electronic Technology and Intelligent Control Ministry of Education，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou，730070，China)

Abstract：Thepaper appliesMatlab based on the FDI method to solve the characteristic impedance，cutoffwavelength and gives out the field pattern ofhigh—order modes in square coaxial transmission.Through comparing the data with the equivalent in foreign paper，it is proved that the FDI method with Matlab is a simpleand feasible method.It is of high accuracy，common usefulness and can be applied generally for the analysis of transmitsion lines.At last it calculates the related data of rectangular coaxial waveguide，eccentric coaxial waveguide，and compares them with the first.

Keywords：square coaxial transmission wave—guides;FDI method;Helmholtz equation;characteristic impedance;cutoff wavelength

1 引 言

隨著通信技術(shù)的飛速發(fā)展，在一些特定的場(chǎng)合方同軸波導(dǎo)有其不可替代的特性[1]，如矩形同軸線定向耦合器在通信衛(wèi)星等空間大功率設(shè)備中的廣泛應(yīng)用，對(duì)方同軸波導(dǎo)特性的研究也越來(lái)越多。對(duì)于同軸波導(dǎo)來(lái)說(shuō)其傳輸?shù)闹髂Ｊ荰EM模，TE，TM是作為干擾模存在的，所以計(jì)算TE，TM各模式的截止波長(zhǎng)對(duì)傳輸線的設(shè)計(jì)有重要意義，對(duì)于其特性阻抗，由于其與內(nèi)外導(dǎo)體間距離成正比，而工作頻率一定時(shí)擊穿電壓與內(nèi)外導(dǎo)體間距離平方成正比[2]，所以設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮特性阻抗，因此特征阻抗的計(jì)算也很重要。

當(dāng)前，對(duì)復(fù)雜截面同軸波導(dǎo)由于其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特性常采用有限元等方法進(jìn)行分析求解，以研究其特性，尤其是在截面為橢圓形、三角形、菱形等多邊形時(shí)，而對(duì)一些簡(jiǎn)單截面的同軸波導(dǎo)（如方同軸波導(dǎo)、矩形同軸波導(dǎo)等）采用簡(jiǎn)單的有限差分法對(duì)其進(jìn)行分析求解同樣能夠得到較好的效果。已有文獻(xiàn)進(jìn)行了這方面的工作[3]，但還不全面，且多為靜態(tài)場(chǎng)方面的特性分析。本文借鑒了這些方法，采用有限差分法結(jié)合Matlab計(jì)算了不同尺寸的方同軸波導(dǎo)的特性阻抗以及TE模式的干擾模的截止波長(zhǎng)，還計(jì)算了偏心方形同軸波導(dǎo)和矩形同軸波導(dǎo)的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了其TE模式下的場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖。文獻(xiàn)[1]中采用有限元法計(jì)算所得的方同軸波導(dǎo)內(nèi)外導(dǎo)體邊長(zhǎng)比、變化時(shí)TE10，TE11模式的截止波長(zhǎng)數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[4]中的特性阻抗數(shù)據(jù)，可作為檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)，以證明方法的可行性。

圖1 剖分后的方同軸波導(dǎo)示意圖

2 基本原理及方法

以求解方同軸波導(dǎo)中的TE模為例，由于方同軸波導(dǎo)為雙導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的傳輸線，所以分別求其內(nèi)外導(dǎo)體邊長(zhǎng)比、不同時(shí)的主高次模TE10和次高次模TE11的截止波長(zhǎng)。有關(guān)有限差分法的基本原理可參考文獻(xiàn)[3]，文獻(xiàn)[5]。如圖1所示，以正方形網(wǎng)格劃分的方同軸波導(dǎo)，其中a為波外導(dǎo)體邊長(zhǎng)，b為波導(dǎo)內(nèi)導(dǎo)體邊長(zhǎng)（如此設(shè)置是為和文獻(xiàn)[1]中數(shù)據(jù)進(jìn)行比較），h為剖分步長(zhǎng)，圖中所示為等步長(zhǎng)剖分，所編程序?yàn)橥ㄓ贸绦?，a，b，h皆可變化，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)采用等步長(zhǎng)劃分，如圖所示，得到72個(gè)節(jié)點(diǎn)。根據(jù)文獻(xiàn)[6，7]運(yùn)用時(shí)變電磁場(chǎng)的差分解法，要計(jì)算其TE模式的截止波長(zhǎng)λc，就要對(duì)這72個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫各點(diǎn)以場(chǎng)量φ為未知數(shù)的差分方程，而各點(diǎn)φ滿足亥姆霍茲方程：

即要寫出各點(diǎn)的亥姆霍茲方程的差分形式，同時(shí)由于是求TE模式的截止波長(zhǎng)，所以要按第二類邊界條件（φn=0）的差分格式[6，7]處理各邊界點(diǎn)。如此構(gòu)成的差分方程組以矩陣形式表示為：

這樣就歸結(jié)為求解矩陣的本征值問(wèn)題，K為系數(shù)矩陣，Φ是以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上待求場(chǎng)量φi（i＝1～n，對(duì)于求解TE模式，φ即為磁場(chǎng)縱向分量）為分向量的列向量，即本征向量，本征值β表示為：

其中k為截止波數(shù)，h剖分步長(zhǎng)，k與截止波長(zhǎng)λc的關(guān)系為：

所以只要求出了β也就容易求出k，從而得到λc。求本征值的方法有很多，常用的是迭代法，而之所以使用Matlab是由于其自帶求解矩陣的本征值和本征向量的函數(shù)[8]，而且本例所求解的系數(shù)矩陣K[WTBZ]多為稀疏矩陣，Matlab中有專門的系數(shù)矩陣生成存儲(chǔ)方式，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)會(huì)自動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化以節(jié)省內(nèi)存，加快計(jì)算速度。本例中，當(dāng)求解出矩陣K[WTBZ]的[CM（21*2]特征向量時(shí)，其最小非負(fù)特征值即為主高次模TE10的截[CM）]

止波長(zhǎng)，第二個(gè)最小非負(fù)特征值為次高次模TE11的截止波長(zhǎng)。他們分別對(duì)應(yīng)一組本征向量Φ[WTBZ]，即利用Matlab中的相關(guān)函數(shù)同時(shí)可求得兩種模式下的各點(diǎn)磁場(chǎng)縱向分量，還可利用相應(yīng)繪圖函數(shù)繪出場(chǎng)圖。而對(duì)于特征阻抗的求解，現(xiàn)有文獻(xiàn)多采用保角變換法，本文仍舊采用有限差分法，其原理可參考文獻(xiàn)[7]。

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

(1) 表1，表2中截止波長(zhǎng)數(shù)據(jù)中的前兩行為計(jì)算的TE10和TE11模式的截止波長(zhǎng)，其中帶“＊”號(hào)的與文獻(xiàn)[1]中的計(jì)算結(jié)果比較相對(duì)誤差不超過(guò)0.5%。剩下的3行即為后3個(gè)高次模的截止波長(zhǎng)。表3為圖2所示矩形同軸傳輸線的前5個(gè)高次模和特性阻抗。其中b/a，d/c都定為0.6不變，c/a為從0.1～0.9變化，計(jì)算不同c/a（a均取1 cm）情況下的前5個(gè)高次模和特性阻抗。表4為圖3對(duì)應(yīng)的偏心方同軸波導(dǎo)的特性阻抗和TE10和TE11模式的截止波長(zhǎng)，其中b/a=0.5。

圖2 矩形同軸傳輸線橫截面圖

圖3 偏心方同軸傳輸線橫截面圖

(2) 方同軸波導(dǎo)阻抗的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]相比更為接近《微波傳輸線設(shè)計(jì)手冊(cè)》中的數(shù)據(jù)，其變化趨勢(shì)也與文獻(xiàn)[2]的結(jié)論一致，即內(nèi)外導(dǎo)體間距較小時(shí)，方同軸線的特性阻抗較小，而矩形同軸波導(dǎo)和偏心同軸波導(dǎo)的相關(guān)計(jì)算結(jié)果雖無(wú)參考但與方形的相比變化相似，即兩導(dǎo)體間距較小時(shí)阻抗較小，TE模式的前兩個(gè)高次模的截止波長(zhǎng)較大，這些均可作為傳輸線設(shè)計(jì)的一個(gè)參考。

表1 方形同軸波導(dǎo)高次模截止波長(zhǎng)(cm)和特性阻抗（Ω）

表2 方形同軸波導(dǎo)高次模截止波長(zhǎng)（cm）和特性阻抗（Ω）

表3 矩形同軸波導(dǎo)高次模截止波長(zhǎng)（cm）和特性阻抗（Ω）

表4 偏心方同軸波導(dǎo)截止波長(zhǎng)（cm）和特性阻抗（Ω）(b/a=0.5)

(3) 圖4～圖6分別為方同軸波導(dǎo)(a=1 cm，b/a=0.5)，偏心方同軸波導(dǎo)(a=1 cm，b/a=0.5，d/a=c/a=0.15)，矩形同軸波導(dǎo)(a=1 cm，b/a=0.6，c/a=0.5，d/b=0.5)在TE模式下第一個(gè)高次模的電場(chǎng)分布。從圖上可看出3種結(jié)構(gòu)的同軸波導(dǎo)其場(chǎng)分布相似，內(nèi)外導(dǎo)體間距較小的地方電力線分布較密，表明此處場(chǎng)強(qiáng)較大，內(nèi)外導(dǎo)體間距較大的地方電力線分布較疏，表明此處場(chǎng)強(qiáng)較小。

圖4 方同軸波導(dǎo)場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖

圖5 偏心方同軸波導(dǎo)場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖

圖6 矩形同軸波導(dǎo)場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖

4 結(jié) 語(yǔ)

有限差分法雖然簡(jiǎn)單，但其結(jié)合Matlab分析求解簡(jiǎn)單橫截面結(jié)構(gòu)的方同軸波導(dǎo)時(shí)，其結(jié)果還是可以接受的，可用于傳輸線設(shè)計(jì)。方形同軸波導(dǎo)，偏心方同軸波導(dǎo)，矩形同軸波導(dǎo)這3種結(jié)構(gòu)的傳輸特性相似，其特性阻抗隨內(nèi)外導(dǎo)體間距的縮小而遞減，第一個(gè)高次模的截止波長(zhǎng)隨內(nèi)外導(dǎo)體間距的縮小而增大。相同尺寸的偏心同軸波導(dǎo)與同心方形波導(dǎo)相比，具有更高的第一個(gè)高次模截止波長(zhǎng)和較小的特性阻抗，可應(yīng)用在一些特殊場(chǎng)合。

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作者簡(jiǎn)介 金 靜 女，1980年出生，山東茌平人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué)。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。