摘 要：HRLS(Hierarchical Lest—Squares Algorithm)算法是一種改進(jìn)的RLS算法，他減少了運(yùn)算量，但對(duì)FIR信道估計(jì)時(shí)，他只適用于輸入信號(hào)是白噪聲而且信道的非零系數(shù)少的情況。提出一種改進(jìn)的HRLS算法，該算法在HRLS算法每級(jí)后面(最后一級(jí)除外)加一個(gè)RLS濾波器，其輸入分別為同一級(jí)其他濾波器輸入的均值和前一級(jí)新加濾波器的輸出。此濾波器回收了被HRLS分組分級(jí)處理所丟掉的組間信號(hào)的聯(lián)系，把握住了輸入信號(hào)的整體變化規(guī)律。仿真結(jié)果和分析表明該算法與HRLS相比具有較好的收斂性，而且當(dāng)把FIR信道劃分后所得的每個(gè)子信道的自身系數(shù)間的差異不大時(shí)，其收斂性能與RLS算法近似，同時(shí)與RLS相比，其復(fù)雜度降低，且具有更強(qiáng)的抗噪能力。

關(guān)鍵詞：HRLS算法；FIR濾波器；信道估計(jì)；收斂性

中圖分類(lèi)號(hào)：TN911 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1004373X(2008)0306103

An Improved HRLS Algorithm

LIU Aifei1，JIN Minglu1，QU Qiang1，2

(1.Institution of Electronic and Information Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，116024，China;

2.Institution of Electronic and Information Engineering，Liaoning University of Science and Technology，Anshan，114044，China)

Abstract：HRLS algorithm makes improvement to RLS algorithm for its complexity reduction，however，it is only adaptive to the FIR channel when it is used for channel estimation.In this paper，an improved HRLS algorithm is proposed.This algorithm adds a RLS unit at the end of each level of HRLS scheme except the last level.The mean of inputs in each elder corresponding unit at the same level and the output of the new added unit of the upper level consist the inputs of the new added RLS unit.Therefore，the new added unit in each level collects some information lost by the hierarchical approach of HRLS，and commands the total changing behavior of the input signals.From the simulations and the analysis we can confirm that in the area of convergence performance，the proposed algorithm is better than HRLS algorithm in whatever circumstance，and close to RLS algorithm when the coefficients of every sub—channel obtained after the division of FIR channel have a little difference from each other.Furthermore，the proposed algorithm has much stronger noise resistance than RLS algorithm.

Keywords：HRLS algorithm;FIR filter;channel estimation;convergence performance

1 引 言

RLS 算法是一種自適應(yīng)的最小二乘算法，該算法具有收斂速度快，跟蹤能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。其主要缺點(diǎn)是每次迭代需要的運(yùn)算量很大，對(duì)于N階橫向?yàn)V波器，其計(jì)算量在N2數(shù)量級(jí)[1，2]，為此，人們提出了一些快速算法，如平方根RLS算法、快速橫向RLS算法和HRLS算法[2—4]，其中HRLS算法由于其較少的運(yùn)算量和較強(qiáng)的抗噪能力受到人們的關(guān)注。HRLS算法是把濾波器的抽頭系數(shù)組合成一個(gè)α級(jí)β進(jìn)制的邏輯樹(shù)，其中α，β是大于2的正整數(shù)。其計(jì)算復(fù)雜度為ο(Nβ)(N為RLS濾波器的階數(shù))，因?yàn)棣逻h(yuǎn)小于N，所以HRLS的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)小于RLS。但HRLS算法的適用范圍有一定的限制，在FIR信道估計(jì)時(shí)，只有輸入信號(hào)是白噪聲且被估計(jì)信道的非零系數(shù)不多時(shí)，HRLS算法才表現(xiàn)出比RLS算法好的收斂性能，反之則HRLS的收斂性能急劇變壞[5]。針對(duì)此問(wèn)題，本文對(duì)HRLS作了一些改進(jìn)，提出了一種平均HRLS算法，簡(jiǎn)記做AHRLS(Average HRLS)算法，仿真結(jié)果和分析表明該算法有較好的收斂性和較強(qiáng)的抗噪能力。

2 改進(jìn)的HRLS方案

2.1 AHRLS算法的具體過(guò)程

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中所給的HRLS算法，我們用rlij代表在第l級(jí)上的第i組的第j個(gè)輸入。α為HRLS的級(jí)數(shù)，β為每一級(jí)上的RLS濾波器的階數(shù)，用wlij代表在第l級(jí)上的第i組的第j個(gè)加權(quán)系數(shù)。HRLS算法的結(jié)構(gòu)有如下規(guī)律：

(1) 第l級(jí)上的所有抽頭總數(shù)為N/βl-1;

(2) 級(jí)數(shù)α等于logβN；

(3) 第l級(jí)上的RLS單元個(gè)數(shù)為N/βl；

AHRLS算法的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

AHRLS算法是在HRLS算法基礎(chǔ)上，在每級(jí)(最后一級(jí)除外)的后面加一個(gè)RLS濾波器，其輸入分別為HRLS中各個(gè)濾波器輸入的均值與前一級(jí)增加的RLS濾波器的輸出，其輸出作為下一級(jí)新增的RLS濾波器的一個(gè)輸入，如果下一級(jí)為最末級(jí)，其輸出直接作為最后一級(jí)僅有的RLS濾波器的一個(gè)輸入。所以第l級(jí)(l=2，…，α-1)新增RLS濾波器的輸入個(gè)數(shù)為HRLS算法中第l級(jí)RLS濾波器個(gè)數(shù)(βα -l)加一，第1級(jí)新增濾波器的輸入個(gè)數(shù)為βα-1。

圖1 當(dāng)α=2時(shí)，AHRLS算法的結(jié)構(gòu)

下面結(jié)合具體的例子，給出AHRLS算法不同于HRLS算法的部分。假設(shè)N=27，據(jù)HRLS的結(jié)構(gòu)劃分可得β=3，α=3。因?yàn)锳HRLS算法是在HRLS結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，在每級(jí)(最后一級(jí)外)的最后又加了一個(gè)RLS濾波器，所以第1級(jí)，第2級(jí)，第3級(jí)的組數(shù)分別為10，4，1。

第1級(jí)新加RLS濾波器的輸入為：(r1101，r1102，…，r1109)，其中：

第2級(jí)新加RLS濾波器的輸入為：(r241，r242，r243，r244)，其中：

第3級(jí)只有一組輸入：(r311，r312，r313，r314)，其中：

第3級(jí)的結(jié)果即為最終的輸出：∑4k=1w31kr31k。

2.2 計(jì)算復(fù)雜度的比較

HRLS算法計(jì)算復(fù)雜度為ο(Nβ)，AHRLS算法中新增RLS濾波器所需的總運(yùn)算量為：(β+1)2+(β2+1)2+…+(βα-2+1)2+(βα-1)2，大約為β2(α-1)，所以AHRLS的計(jì)算復(fù)雜度為ο(N(β+N/β2)) ，比HRLS增加β2(α-1)，但由于β+N/β2比N小很多，所以其計(jì)算復(fù)雜度較RLS降低很多。

3 仿真結(jié)果及性能分析

此部分給出利用AHRLS，HRLS和RLS進(jìn)行FIR信道估計(jì)時(shí)所得仿真結(jié)果。為了便于比較，取仿真環(huán)境與文獻(xiàn)[5]相同。設(shè)給定一離散FIR信道模型：

其中u(t)是信道的輸入，y(t)為輸出，e(t)是均值為零的白噪聲，n<∞，為信道階數(shù)。取n=16，信道系數(shù)向量為H=[h1，h2，…，h16]；輸入信號(hào)u(t)為一階自回歸序列：

其中：w(t)是均值為零，方差為1的白序列，a=0.99。對(duì)于HRLS和AHRLS算法，級(jí)數(shù)α等于2。

運(yùn)行200次獨(dú)立仿真試驗(yàn)，計(jì)算每個(gè)信道系數(shù)的統(tǒng)計(jì)均方誤差{MSE}nk=1，并且以分貝為單位畫(huà)總的均方誤差((1/n)∑[DD(]n[]k=1[DD)]MSEkMSE)曲線(xiàn)。

(1) e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，h0=h1=h2=h3=1，其他信道系數(shù)為零。所得MSE曲線(xiàn)如圖2所示。由圖可看出達(dá)到相同MSE，AHRLS和HRLS需要的迭代次數(shù)小于RLS，AHRLS的[HK]性能略好于HRLS。

這是因?yàn)楫?dāng)FIR信道的非零個(gè)數(shù)很少，小于等于HRLS的第一級(jí)中每個(gè)RLS濾波器的階數(shù)時(shí)，用HRLS第一級(jí)的第一個(gè)濾波器即可很好的估計(jì)信道。而HRLS的分組分級(jí)處理，增加了收斂速度，故其收斂性能好于RLS。

圖2 e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，H=[1 1 1 1 0 0 0 0 0…0]時(shí)

所得的MSE曲線(xiàn)圖

(2) e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，信道的前8個(gè)系數(shù)為1，其余為0，得MSE函數(shù)曲線(xiàn)見(jiàn)圖3，從圖中能看出隨著信道非零系數(shù)的增加時(shí)，HRLS的性能急劇變壞，AHRLS，RLS的性能基本不變。這是因?yàn)楫?dāng)信道的非零個(gè)數(shù)大于HRLS的第一級(jí)中每個(gè)RLS濾波器的階數(shù)時(shí)，由于HRLS對(duì)輸入信號(hào)的分組分級(jí)處理丟掉了組與組間的聯(lián)系信息，故其收斂性能急劇惡化。而AHRLS在每一級(jí)(最后一級(jí)除外)上增加的RLS濾波器，其輸入分別對(duì)應(yīng)前面各個(gè)濾波器輸入的均值。這樣相當(dāng)于回收了輸入信號(hào)的一些整體信息，把握住了信號(hào)的整體變化規(guī)律，故性能要好于HRLS。

(3) e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，信道系數(shù)分別為[1 1 1 1 0.5 0.3 0.4 0.2 0…0]T和[1 1 1 1 1 0 0.5 0 0…0]T時(shí)，得MSE函數(shù)曲線(xiàn)如圖4和圖5所示。取級(jí)數(shù)α=2，故可把有N個(gè)系數(shù)的信道劃分為N個(gè)具有N個(gè)系數(shù)的子信道，例如：[1 1 1 1 0.5 0.3 0.4 0.2 0…0]，可劃分4個(gè)子信道，分別為：[1 1 1 1]，[0.5 0.3 0.4 0.2]，[0 0 0 0]，[0 0 0 0]。比較圖4、圖5可看出，當(dāng)每個(gè)子信道的自身系數(shù)間的差別不大時(shí)，AHRLS表現(xiàn)出良好的性能。當(dāng)某一個(gè)子信道的自身系數(shù)間的差別很大時(shí)，AHRLS的性能變壞，但要比HRLS改善很多。

圖3 e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，H=[1 1 1 1 1 1 1 1 0…0]時(shí)

所得的MSE曲線(xiàn)

圖4 e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，H=[1 1 1 1 0.5 0.3 0.4 0.2 0…0]T

所得的MSE曲線(xiàn)

圖5 e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，H=[1 1 1 1 1 0 0.5 0 0…0]時(shí)

所得的MSE曲線(xiàn)

對(duì)此我們可以從數(shù)學(xué)公式上解釋。為了分析方便，設(shè)級(jí)數(shù)α=2，用(k)來(lái)表示第k個(gè)信道系數(shù)的估計(jì)值，k=1，2…n。

根據(jù)HRLS算法結(jié)構(gòu)，可推得其信道參數(shù)的估計(jì)值為：

根據(jù)AHRLS算法結(jié)構(gòu)，可推得其信道參數(shù)的估計(jì)值為：

對(duì)比式(6)，式(7)，可看出增加的RLS濾波器的作用是用其抽頭系數(shù)來(lái)修正僅由HRLS算法所得的信道系數(shù)的估計(jì)值，而且這種修正是對(duì)第i個(gè)子信道系數(shù)的所有估計(jì)用相同的值(w1(N+1)iw21(N+1)N)進(jìn)行整體修正，所以當(dāng)每個(gè)子信道的自身系數(shù)間的差別不大時(shí)，AHRLS算法表現(xiàn)出良好的性能，反之，性能變壞。但由于AHRLS算法每級(jí)(最后一級(jí)除外)增加的RLS濾波器對(duì)輸入信號(hào)整體信息的利用，使得其性能總比HRLS算法好。

(4) e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為3，信道系數(shù)為[1111100.500…0]，得到的MSE曲線(xiàn)分別如圖6所示。對(duì)比圖5和圖6，可以看出當(dāng)噪聲干擾增大時(shí)，RLS的性能急劇變壞，而AHRLS的性能變化緩慢。這是因?yàn)锳HRLS采用HRLS的分級(jí)結(jié)構(gòu)，其信噪比逐級(jí)提高，增強(qiáng)了抗噪能力。所以在干擾噪聲增大時(shí)，AHRLS仍表現(xiàn)出不錯(cuò)的收斂性能。

圖6 e(t)的標(biāo)準(zhǔn)差為3，H=[1111100.500…0]時(shí)

所得的MSE曲線(xiàn)

4 結(jié)語(yǔ)

在AHRLS算法中，每級(jí)(最后一級(jí)除外)中最后一個(gè)RLS濾波器前面的那些RLS濾波器分別對(duì)輸入信號(hào)的分組進(jìn)行處理，而最后新加的那個(gè)RLS濾波器又利用了信號(hào)的整體信息，這樣部分和整體相結(jié)合使AHRLS算法的性能較好。而且AHRLS算法用于信道估計(jì)時(shí)，并不像HRLS算法那樣只適用于FIR信道非零系數(shù)少得情況。雖然子信道的自身系數(shù)間的差別太大時(shí)，AHRLS的性能變壞，但由于AHRLS對(duì)輸入信號(hào)整體信息的利用，使得其性能較HRLS要好很多。而且由于AHRLS算法采用了HRLS算法的分組分級(jí)處理結(jié)構(gòu)，其運(yùn)算復(fù)雜度比RLS算法低，且具有較強(qiáng)的抗噪能力。

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[5]Petre Stocia，Monika Agrawal，Per Ahgren.On the Hierarchical Least—Squares Algorithm [J].IEEE Communications Letters，2002，6(4):153—155.

作者簡(jiǎn)介

柳艾飛 女，1983年出生。主要研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)濾波算法和智能天線(xiàn)中的波束形成技術(shù)。

金明錄 男，1958年出生，教授/博導(dǎo)。主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理快速算法；偽隨機(jī)序列的生成；混合調(diào)制編碼技術(shù)；衛(wèi)星通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和性能分析；非線(xiàn)性失真的線(xiàn)性化技術(shù)；超寬帶通信系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)；ROF(Radio over fiber)技術(shù)等。

曲 強(qiáng) 男，1972年出生，大連理工大學(xué)在職博士研究生，遼寧科技大學(xué)電信學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)濾波算法和盲信號(hào)處理算法。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。