“甲從一個(gè)魚攤上買了3條魚，平均每條a元，又從另一魚攤上買了2條魚，平均每條b元，后來他又以每條元的價(jià)格把魚全部賣給了乙.如果a＜b，試問甲是賠了，賺了，還是不賠不賺？”Z老師以設(shè)問開始了今天的講座.

S同學(xué)說：雖然a＜b，但由于a、b的不確定性，估計(jì)都有可能.

W同學(xué)說：甲買魚共花去3a+2b元，賣魚得元.問題的實(shí)質(zhì)是比較3a+2b與的大小.比較大小最常用的方法是考慮它們的差.（3a+2b）

-=（a-b），由于a＜b，所以（3a+2b）-＜0，即3a+2b＜.這說明賣魚得到的錢比買魚花去的錢多，應(yīng)該是賺了.

Z老師說：兩個(gè)實(shí)數(shù)x與y，若x-y＞0，則x＞y；若x-y＜0，則x＜y；若x-y=0，則x=y.因此比較大小的關(guān)鍵就是如何確定兩數(shù)的差的正、負(fù).

例1已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19.其中a＞2.（1）求證：B－A＞0，并指出A與B的大小關(guān)系；（2）指出A與C哪個(gè)大并說明理由.（2006年南通中考試題）

K同學(xué)說：第（1）題實(shí)際上就是啟示我們考慮用B與A的差來比較大小.由于B－A=（a2－a+5）－（a+2）=a2－2a+3=a2－2a+1+2=（a－1）2+2.而（a－1）2≥0，有（a－1）2

+2＞0，得B－A＞0.所以A＜B.

Z老師說：第（2）題先放一下，請(qǐng)看例2若M=10a2+b2－7a+8，N=a2+b2+5a－1，試比較M、N的大小.

H同學(xué)說：M－N=10a2+b2－7a+8－（a2+b2+5a－1）=9a2－12a+9.對(duì)二次三項(xiàng)式9a2

－12a+9進(jìn)行配方，得9a2－12a+9=9a2－12a+4+5=(3a－2)2+5，由于（3a-2）2≥0，有（3a

－2)2+5＞0，所以M＞N.

Z老師說：利用非負(fù)數(shù)或非負(fù)數(shù)的和來確定差值的正負(fù)，這是一種常用的方法.

例3a、b、c為實(shí)數(shù)，試比較a2+b2+c2與ab+ac+bc的大小.

L同學(xué)說：受前面的啟發(fā)，考慮a2+b2+c2－（ab+ac+bc）=a2+b2+c2－ab－ac－bc

=×2（a2+b2+c2－ab－ac－bc）=（2a2+2b2+2c2－2ab－2ac－2bc）=[（a－b）2+（b－c）2

+（c－a）2].當(dāng)a=b=c時(shí)，差為0，所以a2+b2+c2=ab+ac+bc；當(dāng)a、b、c不全相等時(shí)，差大于0，所以a2+b2+c2＞ab+ac+bc.

W同學(xué)說：對(duì)于例1的第（2）題，C－A=a2+5a－19－（a+2）=a2+4a－2１=a2+4a+4

－２５=（a+2）2－25.此時(shí)是兩數(shù)相減，不能斷定差的正、負(fù)，怎么辦呢？

S同學(xué)說：對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+4a－21，易由因式分解得a2+4a－21=（a+7）（a

－3）.顯見，由a＞2，得a+7＞a＞0.而對(duì)于a－3來講，當(dāng)a＞3時(shí)，a－3＞0；當(dāng)a=3時(shí)，a－3

=0；當(dāng)a＜3時(shí)，a－3＜0，注意到本題中a＞2，故當(dāng)2＜a＜3時(shí)，a－3＜0.綜合對(duì)a取值范圍的討論，有①當(dāng)a＞3時(shí)，（a+7）（a－3）＞0，有C＞A；②當(dāng)a=3時(shí)，（a+7）（a－3）=0，有C=A；③當(dāng)2＜a＜3時(shí)，（a+7）（a－3）＜0，有C＜A.

Z老師說：通常我們將這一過程稱為“作差化積”，由各個(gè)因式的正負(fù)，來確定差的正、負(fù)，達(dá)到比較大小的目的.如果本題中條件a＞2取消，結(jié)果會(huì)有什么改變？

小清說：對(duì)第（1）題沒有影響，在解題過程中并沒有用到條件a＞2.對(duì)第（2）題，由于a＞2取消，不能保證a+7＞0.對(duì)于因式a+7來講，當(dāng)a＞－7時(shí)，a+7＞0；當(dāng)a=－7時(shí)，a+7=0；當(dāng)a＜－7時(shí)，a+7＜0.但如何將這兩個(gè)因式的正負(fù)討論綜合起來呢？我找到了一個(gè)辦法，借助數(shù)軸，圖中實(shí)線表示x－3為正，虛線表示x－3為負(fù)，“0”表示x－3=0.再畫出因式x+7的正負(fù)情況：可知當(dāng)x＞3時(shí)，（x－3）（x+7）＞0；當(dāng)

－7＜x＜3時(shí)，（x－3）（x+7）＜0；當(dāng)x＜－7時(shí)，（x－3）·（x+7）＞0；當(dāng)x=3或x=－7時(shí)，（x－3）（x+7）=0. A、C的大小就清楚了.

Z老師說：小清分析得很準(zhǔn)確.借助數(shù)軸數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)化了解題過程，有創(chuàng)造性.它得益于利用數(shù)軸解一元一次不等式組，你理解了嗎？如果你懂了，請(qǐng)你課后去想一想這道題：解方程3x+2+2x－1=4，怎樣解？

Z老師最后總結(jié)說：透過對(duì)實(shí)數(shù)大小比較的研究，你是否意識(shí)到要重視題型的研究，去探索解題的規(guī)律？在一般規(guī)律的指導(dǎo)下，再結(jié)合具體問題的實(shí)際，靈活運(yùn)用解題方法，就能不斷提高解題能力，提高自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.