摘 要：小波編碼算法是圖像壓縮編碼算法中的一種重要方法，在進(jìn)行小波變換時(shí)，小波基的選取至關(guān)重要，它直接影響到變換速度和編碼效率。在詳細(xì)分析小波基的基本性質(zhì)及其與圖像編碼的關(guān)系的基礎(chǔ)上，選出數(shù)種典型小波基進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較，得出小波基與實(shí)時(shí)圖像壓縮編碼之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：小波變換;圖像壓縮編碼;實(shí)時(shí)壓縮；小波基

中圖分類(lèi)號(hào)：TP751.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1004373X(2008)1613603

Choice of Wavelet Base in Realtime Compression for Medicine Image

LI Yunfei.1，ZHU Anfu.2，ZHANG Jinli.3

(1.Weinan Teachers University，Weinan，714000，China;

2.Electronics Information College，Northwestern Polytechnical University，Xi′an，710072，China;3.Engineering College of Police Force，Xi′an， 710086，China)

Abstract：Wavelet decoder is an important algorithm for image compression.How to choose wavelet base for transform is crucial，because it impacts transform speed and coding efficiency.The characteristics of wavelet base and their effects on image coding are analyzed，and several typical wavelet bases are select to compare by means of the evaluation criteria.Through extensive experiments，the relative between wavelet and realtime image compression coding is given.

Keywords：wavelet transform;image compression coding;realtime compression;wavelet base

1 引 言

與DCT變換相比較，小波變換將原始圖像數(shù)據(jù)與小波函數(shù)以及尺度函數(shù)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，能夠克服方塊效應(yīng)的影響。恢復(fù)后的圖像誤差小，同時(shí)對(duì)不同區(qū)域采用不同編碼方法，可以較好地保持原圖的信息，達(dá)到較高的壓縮比，適于醫(yī)學(xué)圖像的實(shí)時(shí)壓縮。

在將小波變換用于圖像壓縮時(shí)，并非所有的小波基都適合圖像分解，小波基的選擇直接影響到小波變換速度和恢復(fù)圖像的效果，因此小波基的選擇是圖像壓縮中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。本文從小波基的基本性質(zhì)和小波基的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)2個(gè)方面加以分析比較，并結(jié)合醫(yī)學(xué)圖像的特點(diǎn)和壓縮要求，給出適于醫(yī)學(xué)圖像實(shí)時(shí)壓縮的最佳小波基。

2 小波基的基本性質(zhì)分析

2.1 正交性和雙正交性

小波基從正交性的角度劃分有2類(lèi):正交與雙正交。正交小波基對(duì)應(yīng)的低通濾波器h和高通濾波器g正交。若C0為原信號(hào)的最高分辨率的抽樣點(diǎn)則小波分解可描述如下：cm(k)=∑n∈zh(n－2k)cm－1(n) k∈z

dm(k)=∑n∈zg(n－2k)cm－1(n) k∈z其中，g(n)=(－1).n－1h(－n+1);∑h(n)=2。 cm為第m級(jí)分級(jí)低頻子帶；dm為第m級(jí)分級(jí)高頻子帶。重建公式為：cm－1(n)=∑j∈zh(n－2j)cm(j)+

∑j∈zg(n－2j)dm(j)，n∈z 大部分正交小波基是無(wú)限支集的，相應(yīng)的濾波器h和g也是無(wú)限沖激響應(yīng)的，無(wú)法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，所以一般采用Daubechies系的緊支集正交小波作為小波基進(jìn)行圖像處理，最常用的是D2和D4小波。緊支集小波一般不具有對(duì)稱性，惟一的正交對(duì)稱的小波是Haar基，但是它的局部化性能較差。

雙正交小波基由2個(gè)小波函數(shù)構(gòu)成，ψ和它的對(duì)偶小波ψ_可雙正交是指低通分析濾波器h和高通重建濾波器g~正交，低通重建濾波器h~和高通分析濾波器g正交，h和g對(duì)應(yīng)分解小波ψ，h~和g~對(duì)應(yīng)綜合小波ψ_，對(duì)于雙正交小波分解過(guò)程與正交小波相同。目前，廣泛應(yīng)用的雙正交小波基是Daubechies雙正交小波基。

2.2 緊支性

緊支性指的是若小波函數(shù)Ψ(t)在區(qū)間［a，b］外恒為零，稱該小波函數(shù)緊支在這個(gè)區(qū)問(wèn)上，具有緊支性，這樣的小波基稱為緊支集小波基，區(qū)間［a，b］稱為小波基的緊支集，區(qū)間的寬度稱為小波基的支撐寬度。支撐寬度越小，小波基的局部化能力越強(qiáng)，小波變換的計(jì)算復(fù)雜度越低，便于快速實(shí)現(xiàn)。

2.3 正則性

正則性表現(xiàn)為小波基的可微性，是小波函數(shù)光滑程度的一種描述，對(duì)于小波函數(shù)Ψ(t)，正則性階數(shù)r越大，正則性越好，收斂越快，其鄰域的能量越集中。離散小波變換與一般的子帶分解的重要區(qū)別就在于小波濾波器必須是正則的。對(duì)小波函數(shù)Ψ(t)的正則性越好，收斂越快。因?yàn)橐粋€(gè)系數(shù)由于量化產(chǎn)生的誤差在重建圖像后，可能擴(kuò)展到全局誤差，該誤差與離散小波成正比，所以正則性對(duì)避免重建圖像的可見(jiàn)誤差不失為一個(gè)較好的性質(zhì)。一般地說(shuō)，當(dāng)圖像的編碼的速度要求較高，質(zhì)量其次時(shí)，需要選擇濾波器短的正交或雙正交小波，但選擇正交小波時(shí)，要求正則性要好，這樣才有可能得到好一點(diǎn)的圖像質(zhì)量。對(duì)于雙正交小波，Ψ(t)和其對(duì)偶小波的正則性不一定相同，而且編碼時(shí)對(duì)圖像質(zhì)量的影響也不相同。當(dāng)質(zhì)量要求較高時(shí)，要選擇的濾波器短的正交或雙正交小波，但選擇正交小波時(shí)，要求正則性要好。當(dāng)圖像本身比較光滑時(shí)，對(duì)偶小波的正則性越好，得到的圖像質(zhì)量就越高，因此，重建小波的正則性越好，得到的圖像效果就越好。

2.4 消失矩

消失矩的大小決定了用小波逼近光滑函數(shù)時(shí)的收斂率。當(dāng)圖像光滑時(shí)，越大的消失矩將導(dǎo)致越小的小波系數(shù)，壓縮比就有可能提高；而對(duì)不光滑的圖像，將會(huì)有更多的大的小波系數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，消失距越大，壓縮比就越大，要提高壓縮比，就必須選擇消失距大的小波。

通常，小波正則性和消失矩相互作用。實(shí)驗(yàn)證明在消失矩相同的情況下，正則性越好編碼的效果越好；而在正則性相近的情況下，消失矩的階數(shù)越高編碼效果越好；相對(duì)而言，小波基函數(shù)的正則性比消失矩階數(shù)大小更為重要。雙正交小波和各自的正則性和消失矩對(duì)小波變換編碼系統(tǒng)的影響也不相同，一般要求分解小波應(yīng)有較高的消失矩，而合成小波最好有較高的正則性。

2.5 對(duì)稱性及線性相位

選擇具有對(duì)稱性或反對(duì)稱性的小波函數(shù)具有以下2個(gè)優(yōu)點(diǎn):其一，人類(lèi)的視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)邊緣附近對(duì)稱的量化誤差較非對(duì)稱誤差更不敏感；其二，如果小波有線性相位特性，在對(duì)圖像邊緣進(jìn)行對(duì)稱擴(kuò)展時(shí)，重構(gòu)圖像邊緣部分失真較?。欢菍?duì)稱濾波器的非線性相位在圖像編碼時(shí)所產(chǎn)生的誤差易導(dǎo)致邊緣錯(cuò)位，形成巨大的感觀誤差。

以上分析了小波基的基本性質(zhì)及其與圖像壓縮編碼的關(guān)系，得出適合圖像壓縮的小波基應(yīng)具有以下性質(zhì):

(1) 對(duì)稱性(線性相位特性):小波基具有對(duì)稱性可以減少重構(gòu)圖像邊緣部分失真;

(2) 正交性和雙正交性:雙正交小波基犧牲了一部分正交性，但其他性質(zhì)優(yōu)于正交小波，在圖像處理中一般選用雙正交小波;

(3) 正則性好:重建小波的正則性越好，得到的圖像效果就越好;

(4) 消失矩階數(shù)高:消失距越大，壓縮比就越大;

(5) 緊支性:支撐寬度越小，計(jì)算復(fù)雜度低，便于計(jì)算機(jī)快速實(shí)現(xiàn)。

醫(yī)學(xué)圖像作為圖像的一種，對(duì)其進(jìn)行壓縮時(shí)，所選的小波基也應(yīng)具有以上性質(zhì)。實(shí)驗(yàn)表明雙正交小波基具有對(duì)稱性，而正交小波基沒(méi)有，雙正交小波基的正則性比正交小波基稍差，而兩類(lèi)小波的消失矩階數(shù)和緊支性相當(dāng)。

3 評(píng)價(jià)小波基的標(biāo)準(zhǔn)

3.1 編碼增益

編碼增益在圖像的小波變換中是一項(xiàng)重要的指標(biāo)，反映了子帶間能量的緊密度，可以作為小波變換用于圖像壓縮編碼的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。編碼增益Gain越大，圖像的重構(gòu)效果越好，通常采用如下定義：Gain= 1K∑k-1k = 0σ.2k (∏k-1k = 0 σ.2k ).1/k其中，K為圖像經(jīng)小波分解后子帶的個(gè)數(shù)；σ.2k 是第K個(gè)子帶的方差。

3.2 變換后圖像的熵

圖像經(jīng)小波變換后的熵可作為衡量濾波器優(yōu)劣的一種尺度，對(duì)同一圖像進(jìn)行小波變換后的熵值越低，小波基無(wú)失真編碼能力越強(qiáng)。在有損壓縮的情況下，變換后的圖像熵值越小，失真越小，小波基越適于進(jìn)行圖像變換編碼。

3.3 低頻能量與總能量之比

小波變換是一種能量守恒的變換，變換之后的能量與原始圖像的總能量相同，但更為集中，即將整幅圖像的能量集中在低頻部分，而在各高頻了帶僅有很少比例的能量，使圖像有利于壓縮。變換后圖像能量越集中，越有利于壓縮，小波基越好。在此定義另一小波基的評(píng)價(jià)參數(shù)——低頻能量與總能量的之比(E R.用百分?jǐn)?shù)表示)，其定義式為:

ER=ELL/EG，其中，ELL和EG分別表示圖像變換后最低頻部分能量、圖像總能量。

3.4 重構(gòu)圖像峰值信噪比

峰值信噪比(PSNR)表示2幅圖像間的差異，是圖像重構(gòu)質(zhì)量的衡量標(biāo)準(zhǔn)，也是評(píng)價(jià)各種圖像處理壓縮方法優(yōu)劣的一項(xiàng)重要指標(biāo)。在處理圖像和方法相同的情況下，用多種小波基進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所得的峰值信噪比即可作為評(píng)價(jià)小波基編碼性能的標(biāo)準(zhǔn)。峰值信噪比越大，重構(gòu)圖像質(zhì)量越好，則其選用的小波基越適合用于圖像壓縮編碼。對(duì)于灰度圖像，峰值信噪比的計(jì)算公式如下：PSNR=10log10255.2D

D=1MN∑M－1i=0∑N－1j=0［x(i，j)－x∧(i，j)］.2其中，M，N分別為圖像每行和列元素?cái)?shù)；x(i，j)為圖像在點(diǎn)(i，j)的灰度值；x∧(i，j)為重構(gòu)圖像在該點(diǎn)的灰度值。

由以上分析可得，一個(gè)好的、適于圖像壓縮的小波基不僅要具有對(duì)稱性、正則性等基本性質(zhì)，還應(yīng)該符合以下評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：

(1) 編碼增益大：評(píng)價(jià)小波基編碼性能的客觀標(biāo)準(zhǔn)，編碼增益越大，圖像重構(gòu)效果越好；

(2) 變換后圖像的熵?。盒〔ɑ鶡o(wú)失真編碼能力的度量，其值越低越好；

(3) 低頻能量與總能量之比大：其值越大，變換后圖像能量集中性越好，越有利于壓縮；

(4) 重構(gòu)圖像與原圖像的峰值信噪比大：重構(gòu)圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，越大圖像的重構(gòu)質(zhì)量越好。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

用標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Lena和一幅醫(yī)學(xué)圖像作為測(cè)試對(duì)象，圖像大小均為512×512像素。用Daubechies系正交小波基和雙正交小波基對(duì)圖像進(jìn)行3級(jí)分解，然后分別求出每種小波基的變換后圖像的增益、熵、能量比和峰值信噪比。其中在計(jì)算峰值信噪比時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算重構(gòu)圖像直接用最低頻子帶得出，其他子帶設(shè)為零。因?yàn)槿搜蹖?duì)不同頻率的信號(hào)刺激的響應(yīng)不同，對(duì)低頻較敏感，而對(duì)高頻不敏感，在編碼過(guò)程中，一般對(duì)最低頻子帶進(jìn)行精細(xì)量化和壓縮，高頻部分進(jìn)行粗糙量化，在壓縮比較大的情況下甚至可以完全舍去，恢復(fù)時(shí)以零填充，所以只用最低頻子帶重構(gòu)圖像的峰值信噪比可以作為評(píng)價(jià)小波基編碼性能的標(biāo)準(zhǔn)。

表1和表2分別為標(biāo)準(zhǔn)圖像Lena和醫(yī)學(xué)圖像測(cè)得的數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)和小波基的基本性質(zhì)參數(shù)，可以選出適合遙感圖像實(shí)時(shí)壓縮的小波基。

表1 圖像Lena的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

小波基編碼增益熵/b/符號(hào)能量比PSNRD5/335.583.84698.6625.39D9/334.723.88098.5725.53D9/740.643.75899.2525.66D231.043.91198.8825.00D435.483.85699.0925.31

表2 醫(yī)學(xué)圖像的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

小波基編碼增益熵/b/符號(hào)能量比PSNRD5/323.344.75596.5721.96D9/322.624.82698.5221.79D9/723.064.69598.0322.06D218.134.89697.1321.48D420.364.83297.5521.91

從表中數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)于圖像Lena雙正交小波基D9/7各項(xiàng)指標(biāo)均占首位，D5/3次之，其他兩種較差，正交小波基D4優(yōu)于D2，但不如雙正交小波基，與小波基性質(zhì)分析中結(jié)論相符，D9/7小波基較適于圖像壓縮。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在詳細(xì)分析小波基的基本性質(zhì)及其與圖像編碼的關(guān)系，選出數(shù)種典型小波基進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較，從對(duì)醫(yī)學(xué)圖像實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)看，D9/7小波基的綜合性能占首位，但D5/3小波基的性能有所提高，正交小波基D2和D4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較差。另外小波的緊支性決定了小波變換過(guò)程的計(jì)算量，緊支性越好，支撐寬度越小，計(jì)算量越小，有利于實(shí)時(shí)壓縮的實(shí)現(xiàn)。D5/3小波基的支撐寬度明顯小于D9/7小波基。因此，D9/7小波基適合一般的圖像壓縮，而在有實(shí)時(shí)性要求的情況下D5/3小波基較為適合。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］柯麗，黃廉卿.適于遙感圖像實(shí)時(shí)壓縮的小波基的選擇［J］.光學(xué)技術(shù)，2005，31(1):7780，83.

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作者簡(jiǎn)介 李云飛 男，1974年出生，甘肅鎮(zhèn)原人，碩士，渭南師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系講師。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)與智能信息處理。

朱安福 男，1972年出生，河南永城人，博士生。從事信息融合、目標(biāo)識(shí)別與跟蹤技術(shù)等研究。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文