摘 要：以全變分去噪模型為例，從梯度下降法解相應(yīng)的歐拉方程著手，提出一種新的定參方法對(duì)圖像進(jìn)行去噪，根據(jù)新方法選取的參數(shù)，同時(shí)保證均值和方差估計(jì)式。且求解偏微分方程選取的初值不是噪聲圖像而是對(duì)噪聲圖像進(jìn)行小波分解后，保留低頻系數(shù)，只對(duì)高頻系數(shù)設(shè)置閾值，再重構(gòu)后的圖像。根據(jù)新選取的初值對(duì)相應(yīng)的偏微分方程進(jìn)行差分迭代求解，數(shù)值仿真結(jié)果表明，該方法選取的初值具有更好的去噪效果。

關(guān)鍵詞：變分；去噪；初值；閾值；小波分解

中圖分類號(hào)：TP391文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1004373X(2008)1918004

New Method of Define Parameter in Denoising Model

JIAO Li，F(xiàn)ENG Xiangchu，SONG Guoxiang

(School of Science，Xidian University，Xi′an，710071，China)

Abstract：This paper takes the example of total variation denoising model to propose a newly-selected parameter method when solving the corresponding Euler equation by the gradient method in denoising image，and realizes the mean and the variance estimate formula simultaneously by adopting this method.While ones solve PDE，ones do not select the noise image but the reconstructed image as the initial value，under the wavelet decomposition of noise image，keeping the low frequency coefficients and only setting up a threshold for high frequency coefficients.With the newly-selected initial value，PDE is solved by the finite difference iteration and the equation is simulated numerically.The experiment results show that this method has a better denoising effect.

Keywords：total variation;denoising;initial value;threshold;wavelet decomposition

1 引 言

目前，人們對(duì)恢復(fù)圖像，改善圖像質(zhì)量的要求越來越高，在研究圖像復(fù)原問題的過程中，逐漸提出了各種圖像恢復(fù)模型。而基于PDE的變分復(fù)原在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，它能有效解決恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)和抑制噪聲這一矛盾，大大提高了去噪性能。

經(jīng)典的ROF模型^［1］是由Rudin，Osher和Fatemi等提出的全變差極小化方法，即從變分法求解能量泛函極小化這個(gè)方法著手，根據(jù)變分原理和梯度下降法得出具有初始條件和邊界條件的偏微分?jǐn)U散方程。TV模型圖像能較好的保持邊緣去除噪聲^{［2 ，3］}，但是最好的去噪效果是在去除噪聲的同時(shí)，保留細(xì)節(jié)信息。而基于能量泛函極小化方法對(duì)圖像去噪的同時(shí)可能丟失紋理細(xì)節(jié)信息。目前已有噪聲-紋理算子^［4］對(duì)丟失的信息進(jìn)行檢測，對(duì)去噪后的圖像作進(jìn)一步的后續(xù)處理工作，盡量地保留圖像信息，獲得最好的去噪圖像。

本文根據(jù)能量泛函中平衡光滑項(xiàng)和忠誠項(xiàng)的參數(shù)λ的新選法^［5］，提出了一個(gè)保證均值和方差估計(jì)式都成立的初值，然后利用有限差分格式進(jìn)行迭代求解，更好地去除圖像噪聲。

2 TV去噪模型

假定圖像的降噪模型為：

u0=J*u+n

式中u0是噪聲圖像，u是原始圖像，n是噪聲，J是高斯卷積算子。

現(xiàn)通過噪聲圖像u0來恢復(fù)原始圖像u，建立圖像復(fù)原的TV模型：

minu E(u)=∫Ω(|u|)dxdy+λ2‖J*u-u0‖2

通過泛函變分得到相應(yīng)的歐拉方程為：

div(u|u|)-λJ*(J*u-u0)=0

利用梯度下降法轉(zhuǎn)化成求解偏微分方程：

ut=div(u|u|)-λJ*(J*u-u0)

u(x，y，t)|t=0=u(x，y，0)

unΩ=0

在圖像去噪研究中，一般取J=I(單位矩陣)，并假設(shè)估計(jì)圖像中噪聲均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲，則上述方程可化為解以下偏微分方程：

ut=div(u|u|)-λ(u-u0)(1)

u(x，y，t)|t=0=u(x，y，0)(2)

unΩ=0(3)

若在方程(1)兩邊積分得：

∫Ωu(x，y，t)tdxdy

=∫Ω(div(u|u|)-λ(u(x，y，t)-u0(x，y)))dxdy

=∫Ωdiv(u|u|)dxdy-λ∫Ω(u(x，y，t)-

u0(x，y))dxdy(4)

左邊=∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))tdxdy

=ddt∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))dxdy

由格林公式及邊界條件(3)知：

∫Ωdiv(u|u|)dxdy=∫Ωu|u|·dS=0

則：右邊=-λ∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))dxdy

式(4)化為：

ddt∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))dxdy

=-λ∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))dxdy

解此微分方程得：

∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))dxdy=C(x，y)e-λt

其中C(x，y)是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)。

當(dāng)t=0時(shí)，有∫Ω(u(x，y，0)-u0(x，y))dxdy=C(x，y)。

若：

∫Ω(u(x，y，0)-u0(x，y))dxdy=0成立，則C(x，y)=0

故：

∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))dΩ=0

因此，不管λ如何選擇，若當(dāng)t=0時(shí)，∫Ω(u(x，y，0)-u0(x，y))dxdy=0成立，則∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))dxdy=0在任意時(shí)刻t>0時(shí)都成立。

考慮約束極小化問題minu∫f(u)dxdy

s.t ∫g(u)dxdy=0選取u(0)=V0，使∫g(V0)dxdy=0。由梯度下降法得發(fā)展方程：

ut=-fu-λgu，對(duì)任意t>0(5)

∫g(u)dxdy=0ddt∫g(u)dxdy=∫guutdxdy=0

即∫g(u)dxdy不隨時(shí)間t改變。將ut=-fu-λgu代入上式得：

λ(t) = -∫ fugudxdy∫g2udxdy

將得到λ再代入ut=-fu-λgu得：

ut=-fu+gu∫ fugudxdy∫g2udxdy

因?yàn)?/p>

ddt∫f(u)dxdy=∫fuutdxdy

=-∫f2udxdy+(∫fugudxdy)2∫g2udxdy

=====柯西施瓦茨不等式(∫fugudxdy)2-∫f2udxdy∫g2udxdy∫g2udxdy≤0

所以∫f(u)dxdy隨著t增大而減少，當(dāng)t趨向無窮大時(shí)，∫f(u)dxdy達(dá)到極小值，且此解收斂到方程fu+λgu=0的解，且在任意時(shí)刻t有∫g(u)dxdy=0。

觀察方程(1)和方程(5)，令fu=-divu|u|，gu=-(u(x，y，t)-u0(x，y))，這里g(u)=(u(x，y，t)-u0(x，y))2-σ2，滿足∫g(u)dxdy=0。

則?。?/p>

λ(t)= -∫ fugudxdy∫g2udxdy

=-∫divuu(u(x，y，t)-u0(x，y)dxdy∫(u(x，y，t)-u0(x，y))2dxdy

就有方差估計(jì)式∫Ω(u(x，y，t)-u0(x，y))2dΩ=σ2在任意時(shí)刻t都成立，則t=0時(shí)∫Ω(u(x，y，0)-u0(x，y))2dΩ=σ2一樣成立。

這樣最終問題轉(zhuǎn)化成解方程：

ut=divu|u|-λ(u-u0)

λ=∫Ω(div(u|u|)(u-u0)dxdy‖u-u0‖2

u(x，y，t)|t=0=u(x，y，0)

其中初值u(x，y，0)滿足∫Ω(u(x，y，0)-u0(x，y))2dxdy=σ2和∫Ω(u(x，y，0)-u0(x，y))dxdy=0。

現(xiàn)在問題是只需找到保證均值和方差估計(jì)式同時(shí)成立的u(x，y，0)即可，對(duì)方程進(jìn)行差分迭代求解，在某一時(shí)刻t>0時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，得到去噪圖像。

3 初值的選擇

一般情況下初值選擇噪聲圖像u0，而本文選擇的初值0是包含原低頻部分和閾值處理后的高頻部分，為了說明這樣找到的初值滿足條件，現(xiàn)從小波消失矩和閾值以及圖像小波分解的過程進(jìn)行證明。

現(xiàn)用小波對(duì)u0進(jìn)行如下分解：

u0(x，y)=∑k，mc0，k，mφ0，k，m(x，y)+∑j，k，mdj，k，mΨj，k，m(x，y)

其中cj，k，m和dj，k，m分別表示小波低頻系數(shù)和高頻系數(shù)(j，k，m∈Z)，保留低頻系數(shù)，只對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行處理，再重構(gòu)可得到:

0(x，y)=∑k，mc0，k，mφ0，k，m(x，y)+∑j，k，mj，k，mΨj，k，m(x，y)

若設(shè)置閾值為噪聲偏差σ，則閾值掉的小于σ的高頻系數(shù)，顯然∑|dj，k，m-j，k，m|2≤σ2，故有∫Ω(0(x，y)-u0(x，y))2dxdy≤σ2成立，即保證了方差估計(jì)式成立。

因?yàn)榈皖l系數(shù)保持不變，處理掉的只是小波的高頻系數(shù)，所以根據(jù)小波消失矩的性質(zhì)可得：

∫Ω(0(x，y)-u0(x，y))dxdy

=∫Ω(∑j，k，mj，k，mΨ(x，y)-∑j，k，mdj，k，mΨj，k，m(x，y))dxdy

=0

這樣就保證了均值為零。

因此選擇初值u(x，y，0)=0(x，y)即可。

4 仿真試驗(yàn)

本文選擇lena圖像作為測試圖像，添加噪聲為均值為零，噪聲偏差σ=25的高斯白噪聲，通過Matlab編輯程序進(jìn)行消噪，選擇以下有限差分格式進(jìn)行迭代運(yùn)算：

un+1i，j=uni，j-Δt(Δx)2［Cni+12，j(uni+1，j-uni，j)-

Cni-12，j(uni，j-uni-1，j)+Dni，j+12(uni+1，j-uni，j)-

Dni，j-12(uni，j-uni-1，j)］

其中：

Ci+12，j=((Δx+ui，j)2+12(Δy+ui+12，j )2+

12(Δy-ui + 12，j )2+δ(Δx)2)-12> 0

Di，j+12=((Δy+ui，j)2+12(Δx+ui，j+12 )2+

12(Δx-ui，j+12)2+δ(Δx)2)-12>0

ui+12，j=12ui，j+12ui+1，j

ui，j+12=12ui，j+12ui，j+1

這里選取Δt=0.01，TV迭代次數(shù)為20，Δx=1，δ=1。

表1表示的是計(jì)算機(jī)仿真的性能參數(shù)數(shù)據(jù)，圖1為選不同初值去噪后的比較圖像。

圖1 選不同初值去噪后的比較圖像

表1 性能比較結(jié)果

u(x，y，0)σ=25噪聲圖像 選擇u0為初值選擇0為初值

PSNR₂0.177 222.402 125.578 3

ERMS24.985 219.339 113.416 0

5 結(jié) 語

本文在變分去噪模型中提出了一種新的定參方法，根據(jù)選取參數(shù)λ的新方法，找出符合條件的初值0，并與選取噪聲圖像u0為初值進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明無論是從視覺效果還是性能參數(shù)方面都體現(xiàn)出選0作為初值進(jìn)行去噪的優(yōu)越性。盡管本文選取的初值利用TV模型去噪效果較好，但是一樣丟失部分紋理信息，如何減少紋理信息丟失仍是今后工作的重點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

［1］Rudin L，Osher S，F(xiàn)atemi E.Nonlinear Total Variation-based Noise Removel Algorithms ［J］.Physical D.1992，27(60):259-268.

［2］張艷明，孫玉秋，彭代強(qiáng).基于全變分方法的非線性圖像去噪研究［J］.長江大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，4(1):74-76.

［3］張紅英，彭啟琮.變分圖像復(fù)原中PDE的推導(dǎo)及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)［J］.計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2006，28(6):44-46.

［4］孫曉麗，宋國鄉(xiāng)，馮象初.基于噪聲-紋理檢測算子的圖像去噪方法［J］.電子學(xué)報(bào)，2007，35(7):1 372-1 375.

［5］Stanley Osher，Ronald Fed_kiw.Level set methods and dynamic implicit surfaces.［M］.2003:100-103.

［6］楊維，余斌霄，宋國鄉(xiāng).基于變分問題和廣義軟閾值的圖像去噪［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2005，27(11):1 855-1 857.

［7］Gilles Aubert，Pierre Kornprobst.Mathematical Problems in Image Processing［M］.Springer-Verlag，Applied Mathematical Sciences，2002.

［8］劉明才.小波分析及其應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005.

［9］馮象初，甘小冰，宋國鄉(xiāng).數(shù)值泛函與小波理論［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2003.

［10］胡昌華，張軍波.基于Matlab的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)小波分析［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，1999.

［11］飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.小波分析理論與MATLAB 7實(shí)現(xiàn)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005.

作者簡介

焦 麗 女，1979年出生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)值計(jì)算及應(yīng)用軟件(含小波在信號(hào)分析、圖像處理中的應(yīng)用)。

馮象初 男，1962年出生，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)閿?shù)值分析、小波理論及應(yīng)用、尺度空間理論及在圖像處理中的應(yīng)用。

宋國鄉(xiāng) 女，1938年出生，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)閿?shù)值分析、小波理論及應(yīng)用。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文