摘 要：信號(hào)采集通道中，一般采用高階抗混疊濾波器來消除頻率混疊現(xiàn)象，這同時(shí)也增加了濾波器設(shè)計(jì)難度。為有效降低濾波器設(shè)計(jì)的難度，在詳細(xì)分析并討論了抗混疊濾波器的陡度、階數(shù)與信號(hào)抽樣頻率以及A/D轉(zhuǎn)換器的分辨率之間的內(nèi)在關(guān)系后，提出了抗混疊濾波器、抽樣頻率和A/D轉(zhuǎn)換器三者之間合理權(quán)衡設(shè)計(jì)的方法。該分析方法為抗混疊濾波器乃至信號(hào)采集通道的設(shè)計(jì)提供了十分有益的參考。

關(guān)鍵詞：濾波器;陡度;抽樣頻率;頻率混疊

中圖分類號(hào)：TN713文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1004373X(2008)1906702

Method of Analyzing and Designing Anti-aliasing Filter

SONG Jun，ZHAO Mingzhong

(College of Information Science and Technology，Nanjing Forests University，Nanjing，210037，China)

Abstract：The high-rank anti-aliasing filter is often used to avoid spectrum aliasing in signal gathering system.In an effortto reduce the difficulty of designing filters，the relations among the anti-aliasing filter′s roll-off rate，rank，sampling frequency and the recognition of analog-to-digital converter are discussed and analysed in detail，then a reasonable method to choose and design these three ones are presented including anti-aliasing filter，sampling frequency and A/D converter.The results provide an effective reference for design of anti-aliasing filter and signal gathering channel.

Keywords：filter;roll-off rate;sampling frequency;spectrum aliasing

1 引 言

信號(hào)采集中，當(dāng)信號(hào)頻率(f)超過1/2采樣頻率(fS)，即f>12fS時(shí)，在時(shí)間域上會(huì)出現(xiàn)f′=fS－f的拍現(xiàn)象，其最大幅值與輸入幅值的關(guān)系基本保持不變^［1-3］。在頻域上出現(xiàn)頻率為f′=fS－f的假頻，這就是折疊效應(yīng)造成的混頻現(xiàn)象，亦稱頻率混疊現(xiàn)象或頻率混淆現(xiàn)象^［4-6］。為此，一般采用高濾波陡度的抗混疊濾波器，以消除頻率混疊現(xiàn)象。但如果單純依靠提高濾波器的陡度來達(dá)到要求，無疑將提高濾波器設(shè)計(jì)難度和成本。

本文通過分析發(fā)現(xiàn)，綜合考慮濾波器的陡度、階數(shù)及系統(tǒng)抽樣頻率和ADC的分辨率可以在消除頻率混疊現(xiàn)象的同時(shí)，有效降低濾波器設(shè)計(jì)的難度和成本。

2 濾波器陡度、系統(tǒng)抽樣頻率及ADC分辨率三者關(guān)系

2.1 理論分析

對(duì)信號(hào)不失真采樣，一般需滿足奈奎斯特抽樣定理(Nyquist Sampling Theorem)^［7］：

(1) 被抽樣信號(hào)為帶限信號(hào)，即信號(hào)最高頻率fmax≠∞；

(2) 采樣頻率至少為被抽樣信號(hào)最高頻率的兩倍，即fS≥2fmax。

這就要求信號(hào)在進(jìn)行采樣之前，必須進(jìn)行低通濾波，通常稱為抗混疊濾波，也稱去混淆濾波。由于抗混疊濾波器的截至頻率fh直接決定被采樣信號(hào)的最高頻率fmax，且通常有fh＝fmax，故采樣頻率fS與該截至頻率fh的關(guān)系為：

fS=k·fh(k≥2)

(1)

此外，抗混疊濾波器在高于截頻fh部分的陡度R也應(yīng)滿足一定的要求：將被采樣信號(hào)中高于fS/2的噪音信號(hào)衰減到ADC(模數(shù)轉(zhuǎn)換器)的量化階梯q以下。

如圖1是一低通濾波器的波特圖。

其中，0~fh為有用信號(hào)頻率范圍，與該范圍以fS/2為軸對(duì)稱的頻率范圍是(fS－fh)~fS，若在這個(gè)頻段上存在噪音干擾，則采樣后這些噪音就會(huì)折疊到0~fh的信號(hào)頻段上，這就是所謂的假頻干擾，(fS－fh)對(duì)應(yīng)的虛線也稱有效假頻線。為了濾除假頻干擾，就必須將(fS－fh)~fS頻段上的噪聲衰減到ADC的可量化電平q以下。從最壞情況考慮，假設(shè)有用信號(hào)的最大幅度(為VS)分量出現(xiàn)在頻率f=fh處，干擾噪聲中幅度最大(Vn)的頻率分量出現(xiàn)在f=fS－fh處?？够殳B濾波器的幅頻特性為k(f)，通帶內(nèi)理想，設(shè)：

圖1 典型低通濾波器波特圖

當(dāng)f=fh時(shí):

k(f)=kS=1(2)

當(dāng)f=fS－fh時(shí):

k(f)=kn

(3)

為了使抗混疊濾波后信號(hào)的最大幅度分量不超出ADC的最大量化電平E，噪音干擾的最大分量低于ADC的量化階梯q，要求：

VS·kS=VS=E

(4)

Vn·kn=q

(5)

由式(4)和式(5)可得：

－20lg kn=20lgEq－20lgVSVn

(6)

若ADC量化的位數(shù)為m，則E=2m·q，并令B=－20lg kn代入式(6)得：

B=－20lg kn=6m－20lgVSVn

(7)

設(shè)0~(fS－fh)之間有fh的L個(gè)十倍頻程(decade)，即：

fS－fhfh=10L

(8)

由式(1)和式(8)可得：

L=lg(k－1)

(9)

這樣，抗混疊濾波器的陡度R：

R=BL=Blg(k－1)

=6m－20lgVSVn·1lg(k－1)

(10)

2.2 三者關(guān)系討論

由式(10)可見，抗混疊濾波器的陡度R與ADC的量化位數(shù)m、采樣頻率fS=k·fh以及信號(hào)噪聲幅度比VS/Vn有密切關(guān)系：

(1) 當(dāng)采樣頻率和ADC位數(shù)一定，即k和m固定時(shí)，信號(hào)噪聲幅度比越大，對(duì)濾波器的陡度要求越??；

(2) 當(dāng)采樣頻率和信號(hào)噪聲幅度比一定，即k和VS/Vn一定時(shí)，ADC位數(shù)越少，對(duì)濾波器的陡度要求越小；

(3) 當(dāng)信號(hào)噪聲幅度比和ADC位數(shù)一定，即m和VS/Vn一定時(shí)，采樣頻率越高，對(duì)濾波器的陡度要求越小。

2.3 實(shí)際濾波器陡度設(shè)計(jì)分析

以最常見的模擬巴特沃斯(Butterworth)低通濾波器為例，分析如何針對(duì)不同分辨率的ADC選取抗混疊濾波器的階數(shù)、陡度及采樣頻率。

N階巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性為：

k(f)=11+ff02n

(11)

f0為濾波器的截頻，陡度為：

R=20n dB/dec

(12)

綜合式(10)和式(12)可得：

n=0.3m－lgVSVn·1lg(k－1)

(13)

顯然，信號(hào)噪聲幅度比、采樣頻率和ADC的分辨率都直接影響巴特沃斯低通濾波器階數(shù)的選取。

(1) 當(dāng)lgVS/Vn≥0.3m時(shí)，則可以不必設(shè)置抗混疊濾波器。

例如，一個(gè)系統(tǒng)的ADC位數(shù)m=12，則需要信號(hào)噪聲幅度比VS/Vn≥4×103才可以省略抗混疊濾波器，這在現(xiàn)實(shí)中一般很難保證。

(2) 當(dāng)VS=Vn時(shí)，即噪聲幅度和信號(hào)幅度相當(dāng)，則有：

n=0.3m·1lg(k－1)

(14)

此時(shí)，若系統(tǒng)的采樣ADC位數(shù)m=12，采樣頻率fS＝4·fmax，即采樣頻率為信號(hào)最高頻率的4倍(k=4)，則根據(jù)式(14)有濾波器的階數(shù)n至少為8才能滿足要求；

而若ADC位數(shù)不變(m=12)，提高采樣頻率到信號(hào)最高頻率的5倍，即fS＝5·fmax，則濾波器的階數(shù)n為6就可以滿足要求。

(3) 當(dāng)k=2，即采樣頻率為信號(hào)最高頻率的2倍時(shí)，只要信號(hào)噪聲幅度比不滿足上述討論的條件(1)，就不能避免頻譜的混疊。

3 結(jié) 語

由于濾波器的階數(shù)越高，成本和復(fù)雜程度也越高，而且信號(hào)通過濾波器的延時(shí)也越長，給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來威脅，更給信號(hào)的后期數(shù)字濾波和處理帶來不確定性。因此在選擇和設(shè)計(jì)系統(tǒng)前置抗混疊濾波器時(shí)，尤其需要綜合考慮了采樣頻率、ADC的分辨率和噪聲等因素對(duì)濾波器設(shè)計(jì)的影響。只有權(quán)衡分析、選擇抗混疊濾波器的階數(shù)、系統(tǒng)采樣頻率以及ADC的分辨率，才能使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)化的設(shè)計(jì)。

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作者簡介 宋 軍 男，1979年出生，江蘇徐州人，碩士，講師。研究方向?yàn)樾盘?hào)處理和嵌入式系統(tǒng)。

趙明忠 男，1964年出生，山東兗州人，碩士，副教授。研究方向?yàn)閱纹瑱C(jī)與數(shù)字信號(hào)處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文