摘 要：為了避開直接設(shè)計(jì)帶通濾波器的繁瑣設(shè)計(jì)步驟要求，利用低通濾波器與帶通濾波器的關(guān)系，間接設(shè)計(jì)帶通濾波器是創(chuàng)新之處，即通過設(shè)計(jì)簡單的低通濾波器從而達(dá)到設(shè)計(jì)帶通濾波器的要求。介紹了窗函數(shù)法FIR數(shù)字低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，給出了低通濾波器與帶通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，并分析了它們之間的關(guān)系，得出了相關(guān)結(jié)論，結(jié)合實(shí)例，利用Matlab證實(shí)了該結(jié)論的正確性，為帶通濾波器的設(shè)計(jì)提供了一種新方法。

關(guān)鍵詞：FIR;Matlab;數(shù)字濾波器;低通濾波器;帶通濾波器

中圖分類號：TN911文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號：1004373X(2008)1905703

Analysis and Simulation of Lowpass and Bandpass FIR Digital Filter

ZHANG Xuemin

(Changchun Institute of Technology，Changchun，130012，China)

Abstract：In order to avoid the cumbersome design，the bandpass filter is indierect designed by relationship between it and lowpass filter.The design of lowpass and bandpass FIR digital filter based on window-function method is introduced，and frequency response of lowpass filter and bandpass filter are given，simultaneously，the relation between lowpass and bandpass filter is analysed and conclusion is drawn.In order to testify this conclusion，Matlab is proved to be right.

Keywords：FIR;Matlab;digital filter;lowpass filter;bandpass filter

數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中重要內(nèi)容之一。與模擬濾波器相比，其具有精度、穩(wěn)定度、靈活性高，不需要阻抗匹配和便于大規(guī)模集成等優(yōu)點(diǎn)。從結(jié)構(gòu)上可分為無限沖擊響應(yīng)(Infinite Impulse Response)數(shù)字濾波器和有限沖擊響應(yīng)(Finite Impulse Response)數(shù)字濾波器；從功能上分為低通、帶通、高通和帶阻濾波器。由于FIR具有嚴(yán)格的線性相位特點(diǎn)，而該特點(diǎn)又是圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸所必需的，故從數(shù)字濾波器的時(shí)域沖擊響應(yīng)以及與之相對應(yīng)的頻域頻率響應(yīng)函數(shù)出發(fā)，僅討論FIR低通、帶通濾波器的關(guān)系，并對此加以驗(yàn)證。

Matlab是英文Matrix Laboratory的縮寫。它是美國Math Works公司推出的具有強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算功能和數(shù)據(jù)可視化的軟件。本文以Matlab 7.0為仿真平臺(tái)，利用Matlab信號處理工具箱函數(shù)對FIR低通和帶通濾波器的關(guān)系進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法、頻域采樣法和切比雪夫逼近法。本文主要使用窗函數(shù)法，其設(shè)計(jì)思想是根據(jù)設(shè)計(jì)要求，即給定的濾波器的技術(shù)指標(biāo)，選擇濾波器長度和窗函數(shù)ω(n)。過程如下：由所給的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，得到其單位采樣響應(yīng)hd(n)；鑒于hd(n)是無限長序列，且是非因果序列，故對其加窗處理，得到有限長序列 ，即h(n)w(n)=hd(n)，加何種窗函數(shù)及窗的長度，要視具體情況而定。

FIR傳遞函數(shù)為：

H(z)=∑N-1n=0h(n)z-n

由此得差分方程為:

y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+…+

h(n-1)x［n-(N-1)］

則差分方程的系數(shù)［h(0) h(1) … h(N-1)］構(gòu)成的向量即為圖1濾波器的系數(shù)。

圖1 FIR濾波器的結(jié)構(gòu)圖

窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，常用的窗函數(shù)有6種，即矩形窗(boxcar)、巴特利特窗(bartlett)、漢寧窗(hanning)、海明窗(hamming)、布萊克曼窗(blackman)和凱塞窗(kaiser)。設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，選擇哪一種窗函數(shù)，要根據(jù)設(shè)計(jì)要求而定，一般應(yīng)遵循以下兩點(diǎn)：窗函數(shù)頻率特性的主瓣寬度應(yīng)盡可能窄，且盡可能地將能量集中在主瓣內(nèi)；窗函數(shù)的頻率特性的旁瓣在當(dāng)ω趨于π的過程中，其能量迅速趨于0。Matlab工具箱中設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器的函數(shù)為b=fir1(N，ω，window)，式中N為濾波器階數(shù)，ω為歸一化截止頻率，(0<ω<1)。對于低通濾波器，ω=ωc；對于帶通濾波器，ω=［ωc1ωc2］，ωc1，ωc2分別為帶通濾波器的上、下限截止頻率。window為使用的窗函數(shù)，默認(rèn)為hamming窗，返回值b為FIR濾波器系數(shù)。

2 線性相位FIR低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)及二者的關(guān)系

2.1 線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)

設(shè)截止頻率為ωc的線性相位理想低通濾波器的幅頻響應(yīng)為Hd(ejω)，低通特性的群延遲為α，則Hd(ejω)=e-jωα， |ω|≤ωc0，ωc≤|ω|≤π，這表明在|ω|≤ωc范圍內(nèi)，Hd(ejω)的幅值是1，相位是-ωα。其幅頻響應(yīng)示意圖如圖2(a)和2(b) (圖2(a)是截止頻率為ωc2的低通濾波器的幅頻響應(yīng)，圖2(b)是截止頻率為ωc1的低通濾波器的幅頻響應(yīng))所示。

理想低通濾波器的單位沖擊響應(yīng):

hd(n)=12π∫ωc-ωce-jωαejωndw=ωcπ·sin［ωc(n-α)］ωc(n-α)(1)

hd(n)是中心點(diǎn)在α的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的h(n)，可對其做加窗處理，為了分析問題方便，這里選矩形窗RN(n)，N是矩形窗長度。由于要求FIR濾波器的相位是線性的，h(n)必須偶對稱(或奇對稱)，即其對稱中心為窗長的1/2，也就是α=N-12，故有:

h(n)=hd(n)Rn(n)=hd(n)， 0≤n≤N-1

0，n為其他值

將上式代入式(1)中，可得:

h(n)=ωcπsinωcn-N-12ωcn-N-12，0≤n≤N-1

0n為其他值(2)

此時(shí)，一定滿足h(n)=h(N-1-n)這一線性相位條件，上述即為線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)過程。

注：窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的一個(gè)要點(diǎn)就是需要預(yù)先確定窗函數(shù)的形式和窗的長度N，通常N的大小要通過幾次試探才能最后確定。

圖2 理想濾波器的幅頻響應(yīng)

2.2 線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì)及其與低通濾波器的關(guān)系

理想線性相位帶通濾波器頻率響應(yīng):

Hd(ejω)=e-jωα， ωc1≤|ω|≤ωc2

0，ω為其他值

其幅頻響應(yīng)示意圖如圖2(c)所示。

其單位沖擊響應(yīng)為:

hd(n)=12π∫ωc2ωc1Hd(ejω)ejωndω+12π ∫-ωc1-ωc2Hd(ejω)ejωndω

=12π∫ωc2-ωc2Hd(ejω)ejωndω+12π∫ωc1-ωc1Hd(ejω)ejωndω

=hd2(n)-hd1(n)

這里hd2(n)相當(dāng)于截止頻率為ωc2的低通濾波器的單位沖擊響應(yīng)，hd1(n)相當(dāng)于截止頻率為ωc1的低通濾波器的沖擊響應(yīng)。由此可以得出如下結(jié)論：帶通濾波器的沖擊響應(yīng)=低通濾波器的沖擊響應(yīng)(截止頻率ωc2)-低通濾波器的沖擊響應(yīng)(截止頻率ωc1)。設(shè)窗函數(shù)為wN(n)，則帶通濾波器的頻率響應(yīng)為h(n)=hd(n)wN(n)，相應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為:

H(ejω)=∑N-1n=0h(n)e-jωn

=∑N-1n=0wN(n)1π(n-α)sin［ωc2(n-α)］e-jωn-

∑N-1n=0wN(n)1π(n-α)sin［ωc1(n-α)］e-jωn

由α=N-12，h(n)關(guān)于α偶對稱，可知頻率響應(yīng)為H(ejω)=e-jN-12ω∑N-1n=0h(n)cosn-N-12ω，故帶通濾波器的幅頻響應(yīng)函數(shù)為:

H(ω)=∑N-1n=0h(n)cosN-12-nω

=∑N-1n=0w(n)1π(n-α)sin［(ωc2-ωc1)(n-α)］·

cosN-12-nω

即帶通濾波器的幅頻響應(yīng)＝低通濾波器的幅頻響應(yīng)(截止頻率wc2)-低通濾波器的幅頻響應(yīng)(截止頻率wc1)。而圖2(c)正是圖2(a)和圖2(b)相減的結(jié)果。

3 FIR低通、帶通濾波器關(guān)系仿真

在Matlab 7.0環(huán)境下，對上述分析結(jié)論進(jìn)行仿真，可得到其更直觀的結(jié)果。設(shè)低通濾波器的截止頻率分別為15 Hz和35 Hz，選擇漢寧窗N=81，部分源程序如下：

fs=100;

b1=fir1(80，35/50);

［H1，f］=freqz(b1，1，512);

plot(f*fs/(2*pi)，abs(H1));

b2=fir1(80，15/50);

［H2，f］=freqz(b2，1，512);

plot(f*fs/(2*pi)，abs(H2));

b=b1-b2;

［H，f］=freqz(b，1，512);

plot(f*fs/(2*pi)，abs(H));

上述程序在Matlab 7.0環(huán)境下運(yùn)行，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖可見，兩個(gè)截止頻率分別為35 Hz和15 Hz的低通濾波器的幅頻響應(yīng)相減即為帶通濾波器的幅頻響應(yīng)，而該帶通濾波器的上、下限截止頻率分別為15 Hz和35 Hz。同時(shí)，得到兩個(gè)低通濾波器的沖擊響應(yīng)函數(shù)系數(shù)(即濾波器的系數(shù))b1和b2及二者之差b=b1-b2。而直接由帶通濾波器函數(shù)得到的帶通濾波器系數(shù)bb=fir1(80，［35/50 15/50］)也列于表1中，不考慮系數(shù)前的符號，不難發(fā)現(xiàn)，b和bb完全相同，從而驗(yàn)證了前文中結(jié)論的正確性。

表1 低通、帶通濾波器的系數(shù)對照表

b1b2|b|=|b1-b2| |bb|

b1(0)= b1(80)=-0.000 0

b1(1)= b1(79)=-0.000 5

b1(2)= b1(78)=0.000 7

b1(3)= b1(77)=-0.000 2

b1(4)= b1(76)=-0.000 5

……

b1(10)=b1(70)=-0.000 0

b1(11)=b1(69)=0.002 1

b1(12)=b1(68)=-0.002 9

b1(13)=b1(67)=0.001 1

b1(14)=b1(66)=0.002 4

b2(0)= b2(80)=-0.000 0

b2(1)= b2(79)=-0.000 5

b2(2)= b2(78)=-0.000 7

b2(3)= b2(77)=-0.000 2

b2(4)= b2(76)=0.000 5

……

b2(10)= b2(70)=0.000 0

b2(11)= b2(69)=0.002 1

b2(12)= b2(68)=0.002 9

b2(13)= b2(67)=0.001 1

b2(14)= b2(66)=-0.002 4

|b (0)|= |b (80)|=0.000 0

|b (1)|= |b (79)|=0.000 0

|b (2)|= |b (78)|=0.001 4

|b (3)|= |b (77)|=0.000 0

|b (4)|= |b (76)|=0.001 0

……

|b (10)|= |b (70)|=0.000 0

|b (11)|= |b (69)|=0.000 0

|b (12)|= |b (68)|=0.005 8

|b (13)|= |b (67)|=0.000 0

|b (14)|= |b (66)|=0.004 8

|bb (0)|= |bb (80)|=0.000 0

|bb (1)|= |bb (79)|=0.000 0

|bb (2)|= |bb(78)|=0.001 4

|bb (3)|= |bb (77)|=0.000 0

|bb (4)|= |bb (76)|=0.001 0

……

|bb (10)|= |bb (70)|=0.000 0

|bb (11)|= |bb (69)|=0.000 0

|bb (12)|= |bb (68)|=0.005 8

|bb (13)|= |bb (67)|=0.000 0

|bb (14)|= |bb (66)|=0.004 8

圖3 低通、帶通濾波器的幅頻響應(yīng)

下面對此帶通濾波器的濾器效果通過實(shí)例進(jìn)行仿真。

4 實(shí)例仿真

有3個(gè)正弦成分(5 Hz，15 Hz和35 Hz)的混合信號，利用上述濾波器去除5 Hz和35 Hz的正弦成分，保留15 Hz的信號，為此選兩個(gè)低通濾波器的截止頻率分別為10 Hz和25 Hz。部分源程序如下：

fs=100;

t=(0:100)/100;

s=sin(2*pi*5*t)+sin(2*pi*15*t)+sin(2*pi*35*t);

plot(t，s);

b1=fir1(80，25/50);

b2=fir1(80，10/50);

b=b2-b1;

［H，f］=freqz(b，1，512);

plot(f*fs/(2*pi)，abs(H))

sf=filter(b，1，s);

plot(t，sf)

上述程序運(yùn)行后，結(jié)果如圖4所示。

圖4 混合信號經(jīng)過帶通濾波器

由圖可見，混合信號中的5 Hz和35 Hz的正弦成分被濾除，而15 Hz的正弦信號被保留。

5 結(jié) 語

本文從窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器入手，介紹了低通和帶通濾波器的設(shè)計(jì)方法，進(jìn)而得出結(jié)論：通帶頻率為［ωc1ωc2］的帶通濾波器的沖擊響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)可以由截止頻率分別為ωc1，ωc2的低通濾波器的沖擊響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)相減得到。同時(shí)利用Matlab對此結(jié)論和由該結(jié)論得到的帶通濾波器的濾波效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明該濾波器達(dá)到了預(yù)期濾波效果，從而證明了該結(jié)論的正確性。

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作者簡介

張學(xué)敏 女，1971年出生，吉林長春人，工學(xué)碩士，講師。研究方向?yàn)樾盘柵c信息處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文