摘 要：多分層介質(zhì)中平面電磁波的傳播和散射是一個(gè)重要研究課題。在電磁波正入射，各區(qū)域均由雙軸介質(zhì)組成情況下，用代數(shù)方法對(duì)多分層介質(zhì)中平面電磁波的傳播特性進(jìn)行分析，用波阻抗法和等效傳輸原理計(jì)算出了各層介質(zhì)的反射系數(shù)和透射系數(shù)的理論公式。結(jié)果表明代數(shù)方法易于理解但是計(jì)算量較大，波阻抗法計(jì)算量降低了一半。

關(guān)鍵詞：平面電磁波；分層介質(zhì)；反射系數(shù)；透射系數(shù)；代數(shù)方法；波阻抗

中圖分類號(hào)：TN011文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1004373X(2008)1903603

Analysis of Plane Wave′s Transmission Rule in Multi-layered Media

MA Ruhui，LIU Shengchun

(School of Physics and Electronic Information，Yan′an University，Yan′an，716000，China)

Abstract：The plane wave′s transmission and scattering in multi-layered media is an important research topic.While electromagneticwave is the regional media by the composition of the biaxial，the analysis of plane wave′s transmission rule in multi-layered media by algebraic method is the main concern of the paper.Working out each layer′s academic expressions of reflection coefficient and transmission coefficient by wave impedance method and equivalent transmission principle.The results show that algebraic method is easy to understand but a large amount of computing，wave impedance method of reducing by half.

Keywords：plane wave;stratified media;reflection coefficient;transmission coefficient;algebraic method;wave′s impedance

隨著電磁波技術(shù)在通訊、勘探、微波成像等諸多領(lǐng)域的不斷發(fā)展，電磁波在介質(zhì)中的傳播問題引起了人們的廣泛關(guān)注。其中電磁波在多分層介質(zhì)中傳播特性的研究不僅對(duì)于解決復(fù)雜的逆散射問題有所幫助，也可以分析一些介質(zhì)的某些物理屬性。由于地球介質(zhì)其物性變化是層狀的，即具有分層結(jié)構(gòu)^［1］，尤其在進(jìn)行地下目標(biāo)探測(cè)時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到在多層介質(zhì)中埋入被探測(cè)的目標(biāo)，所以必須研究多分層介質(zhì)中平面電磁波的反射和透射問題。分層介質(zhì)中平面電磁波的傳播和散射的研究是一個(gè)重要而活躍的研究課題。本文以代數(shù)方法對(duì)多層介質(zhì)中平面電磁波的傳播特性進(jìn)行分析，以波阻抗法求出了各層介質(zhì)中反射系數(shù)和透射系數(shù)的理論計(jì)算公式。

1 多層介質(zhì)中平面電磁波的反射和透射

設(shè)多層介質(zhì)的幾何分布如圖1所示。平面電磁波從區(qū)域0向z=0的界面入射，除了入射區(qū)域0和透射區(qū)域t外，還有n層介質(zhì)，全部共有n+1個(gè)分界面。本文主要分析電磁波的正入射情況，當(dāng)均勻平面波垂直于平面邊界入射時(shí)，反射波和透射波的特性將與入射波的極化特性無關(guān)。事實(shí)上，此時(shí)已無法也沒有必要區(qū)分垂直極化和平行極化^［2］。同時(shí)考慮到各層介質(zhì)可以是不均勻的，也可以是各項(xiàng)異性的。本文只限制為各區(qū)域均由雙軸介質(zhì)組成，并且各層介質(zhì)的主軸方向都與坐標(biāo)軸方向一致，各區(qū)域的介電常數(shù)εm和磁導(dǎo)率μm可用下面的形式表示:

m=εmx000εmy000εmz，

μm=μmx000μmy000μmz

圖1 層狀介質(zhì)的幾何分布

假設(shè)平面電磁波在xy平面內(nèi)入射，此時(shí)k只有x和y分量。現(xiàn)在重點(diǎn)討論平面電磁波對(duì)多層介質(zhì)表面的正入射情況，初步分析三層介質(zhì)的情況。如圖2所示，設(shè)介質(zhì)中有一沿z正方向傳播的平面電磁波正入射到z=0的分界面。由圖示可以看到在第一個(gè)界面產(chǎn)生反射波E(0)r，同時(shí)有一部分透射到區(qū)域1中，為E+(1)1。E+(1)1傳播到z=d1分界面是亦產(chǎn)生反射場(chǎng)E-(1)1和透射場(chǎng)E(1)2，E-(1)1沿－z方向傳播回到z=0分界面產(chǎn)生的反射場(chǎng)E+(2)1，進(jìn)入?yún)^(qū)域0的透射場(chǎng)為E-(1)0。如此往復(fù)下去，可以知道進(jìn)入?yún)^(qū)域1的波將在z=0和z=d1的兩個(gè)分界面之間來回振蕩，并且每次都有波透射到區(qū)域0和區(qū)域2中。同理可以知道在任意兩個(gè)分界面之間都有同樣的情況。從以上的分析可知在區(qū)域0中的合成場(chǎng)可以看作入射波在多層介質(zhì)的分界面上的反射場(chǎng)Er(其中：α為衰減常數(shù)，β0為相位常數(shù))。

圖2 平面電磁波的正入射

Er(x，z)=E(0)r+E－(1)0+…

=Er0αx(cos β0z+jsin β0z)

(1)

同時(shí)也可以知道相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度Hr：

Hr(x，z)=H(0)r+H－(1)0+…

=Er0Z0(－αy)(cos β0z+jsin β0z)

(2)

同理在區(qū)域1中可以將波按+z方向合成場(chǎng)為E+1：

E+1=E+(1)1+E+(2)1+…

=E+10αx(cos β1z－jsin β1z)

(3)

相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H+1:

H+1=H+(1)1+H+(2)1+…

=E+10Z1αy(cos β1z－jsin β1z)

(4)

將波按－z方向傳播的合成場(chǎng)E－1，以及相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H－1:

E－1=E－(1)1+E－(2)1+…

=E－10αx(cos β1z+jsin β1z)

(5)

H－1=H－(1)1+H－(2)1+…

=E－10Z1(－αy)(cos β1z+jsin β1z)

(6)

根據(jù)同樣的分析方法可得區(qū)域2中的合成場(chǎng)E2和相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H2:

E2=E(1)2+E(2)2+…=E20e－jβ2(z－d1)

(7)

H2=E20Z2αye－jβ2(z－d1)

(8)

由于平面電磁波在多層介質(zhì)中傳播滿足的邊界^［8］為(一般為理想的情況):

en·(D1－D2)=ρen·(B1－B2)=0

en·(E1－E2)=0

en·(H1－H2)=0

(9)

且在邊界上的切向場(chǎng)連續(xù)，所以在z=0，z=d1的邊界上有如下關(guān)系：

在z=0處：

Ei(0)+Er(0)=E+1(0)+E－1(0)

(10)

Hi(0)+Hr(0)=H+1(0)+H－1(0)

(11)

在z=d1處：

E+1(d)+E－1(d)=Er(d)

(12)

H+1(d)+H－1(d)=H2(d)

(13)

由此4個(gè)方程可以求出以入射場(chǎng)表示的解。

繼續(xù)考慮多分層的情況，將區(qū)域m中電磁波的振幅Am和Bm通過邊界條件關(guān)系與其相鄰區(qū)域m－1和區(qū)域m+1中電磁波的振幅Am－1，Bm－1和Am+1，Bm+1聯(lián)系起來，同時(shí)定義波數(shù)矢量k，傳播常量γ，并根據(jù)它們與相位常數(shù)β的關(guān)系γ=jkc=α+jβ可得如下關(guān)系式：

Ame－jkmzdm+Bmejkmzdm

=Am+1e－jk(m+1)zdm+Bm+1ejk(m+1)zdm

(14)

kmzωμmx(Ame－jkmzdm－Bmejkmzdm)

=k(m+1)zωμ(m+1)x(Am+1e－jk(m+1)zdm－Bm+1ejk(m+1)zdm)

(15)

方程(14)、(15)是第m個(gè)界面上的電磁場(chǎng)滿足的一般關(guān)系。n分層介質(zhì)中共有n+1個(gè)分界面和2n+2個(gè)類似的獨(dú)立方程式，可以看到從區(qū)域1到區(qū)域n中，每個(gè)區(qū)域均有兩個(gè)未知量Am和Bm，所以共有2n+2個(gè)未知量，求解2n+2個(gè)獨(dú)立方程可得:

Ame－jkmzdm=12(1+μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz)(Am+1e－jk(m+1)zdm+

μ(m+1)xkmz－μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz+μmxk(m+1)z·Bm+1ejk(m+1)zdm)

(16)

Bme－jkmzdm=12(1+μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz)(μ(m+1)xkmz－μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz+μmxk(m+1)z·

Am+1e－jk(m+1)zdm+Bm+1ejk(m+1)zdm)

(17)

以上就是用代數(shù)方法分析多分層介質(zhì)的基本思路。

2 用波阻抗方法求反射系數(shù)和透射系數(shù)

由于用代數(shù)方法求解反射系數(shù)和透射系數(shù)時(shí)計(jì)算量較大，所以可以考慮用波阻抗方法來討論，同時(shí)可以利用等效傳輸原理。

2.1 求反射系數(shù)

電磁波在x，y，z方向的分量為:

Ex=1jωεHyz(mì)=kzωε(Bejkzz－Ae－jkzz)ejkxx

(18)

Hy=(Ae－jkzz+Bejkzz)ejkxx

(19)

Ez=－1jωεHyx=－kxωε(Ae－jkzz+Bejkzz)ejkxx

(20)

設(shè)z方向波阻抗Zm:

Zm=－EmxHmy=－kmzωεBmejkmzz－Ame－jkmzzAme－jkmzz+Bmejkmzz

=kmzωε1－Γm(z)1+Γm(z) (其中Γm(z)=BmAme2jkmzz)

(21)

設(shè)特征阻抗zm=kmz/ωε，由于波阻抗在分界面兩側(cè)是連續(xù)的，并計(jì)算多層問題可得特征阻抗與波阻抗的關(guān)系為:

Zn=zn－1－jzntg knzdnzn－jzn－1tg knzdnzn

(22)

最后可得反射系數(shù):

Γn+1(dn)=zn－zn+1zn+zn+1

(23)

2.2 求透射系數(shù)

用am表示層m=1，2，…，n的上界面坐標(biāo)，則有：

Hmy=［Ame－jkmz(z－am－1)+Bmejkmz(z－am－1)］ejkxx

(24)

H(m+1)y=［A(m+1)e－jk(m+1)z(z－am)+B(m+1)ejk(m+1)z(z－am)］ejkxx

(25)

由邊界條件可知在界面兩側(cè)應(yīng)有Hy，Ex以及波阻抗連續(xù)，則有：

Hmy z = am = H(m + 1)y z = am

(26)

-Emx Hmy z = am =-E(m + 1)x H(m + 1)y z = am = Zm

(27)

將式(24)，式(25)代入式(26)得:

Ame-jkmzdm+Bmejkmzdm=Am+1+Bm+1

(28)

將式(24)，式(25)代入式(27)得:

BmAme2jkmzdm=Zm-zmZm-zm

(29)

Bm+1Am+1=Zm-zm+1Zm+zm+1

(30)

將式(29)，式(30)代入式(28)可得到透射系數(shù)τ:

τm=AmAm+1=(Zm+zm)(Zm+zm+1)ejkmzdm

(31)

由此可遞推出各層透射系數(shù)如下:

Tn=A1An+1=∏nm=1(Zm+zm)(Zm+zm+1)ejkmzdm

(32)

3 結(jié) 語

在本文的分析中并沒有限制介質(zhì)的損耗特性，也沒有考慮介質(zhì)的不均勻性、吸收及色散等，但事實(shí)上，如果介質(zhì)是有損介質(zhì)，所有結(jié)論都成立，但是相應(yīng)的波阻抗以及反射系數(shù)和透射系數(shù)是復(fù)數(shù)^［2］。這意味著反射場(chǎng)和透射場(chǎng)之間必定有一相移。同時(shí)可以看到代數(shù)方法分析多層介質(zhì)時(shí)易于理解，但是計(jì)算量較大；波阻抗法相對(duì)于代數(shù)方法計(jì)算量降低了一半，也較適合于計(jì)算機(jī)求解。

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作者簡(jiǎn)介 馬如慧 男，1982年出生，陜西橫山人，碩士。研究方向?yàn)樾盘?hào)與信息處理。

劉生春 男，教授，在讀博士。研究方向?yàn)殡姶怒h(huán)境，電磁兼容。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文