摘 要：對變步長歸一化最小均方(VS-NLMS)自適應(yīng)算法進(jìn)行了討論，針對其在自適應(yīng)過程漸進(jìn)穩(wěn)態(tài)時對噪聲干擾過于敏感的不足做了改進(jìn)。同時，為了協(xié)調(diào)其低穩(wěn)態(tài)誤差與快速跟蹤性能間的矛盾，引入基于相關(guān)誤差項的變步長調(diào)整方案，同時采取了替代Sigmoid函數(shù)的箕舌線函數(shù)作為步長迭代公式，大大降低了計算復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法不僅具備優(yōu)于歸一化最小均方算法的收斂性能，同時具備了更小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)和快速靈敏的時變跟蹤能力。

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)濾波；NLMS算法；箕舌線函數(shù)；VS-NLMS算法

中圖分類號：TN713文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1004373X(2008)1902904

Modified Variable Step-size Normalized Least-mean-square

Algorithm Based on Versoria Function

HAN Yun，XIE Chuanjun，LIU Baohua，HU Ruiqing

(The Naval Fly Academy，Huludao，125001，China)

Abstract：Variable Step-size Normalized Least-Mean-Square (VS-NLMS) algorithm is discussed，it is improved that sensitive to noise disturbance when it comes into steady statement in adaptive process.Moreover，to coordinate the conflicting requirement of low misadjustment and fast tracking rate，step size of the filters is adjusted according to the square of the time-averaged estimatinon of the autocorrelation of the noise signal.Meanwhile，versoria function is used in the new algorithm instead of the Sigmoid function for the modified complexity of the calculation.Furthermore，some simulation examples in applications of noise cancellation show the validity of the new VS-NLMS algorithm compared with other modified adaptive filtering algorithms.It has smaller steady disorder and fast time variable tracking.

Keywords：adaptive filter;NLMS algorithm;versoria function;VS-NLMS algorithm

1 引 言

在眾多自適應(yīng)濾波算法中，Widrow等人提出的最小均方(Least Mean Square，LMS)算法^［1］因其具有的魯棒性、很好的跟蹤性和簡單易實現(xiàn)的特點，已經(jīng)很廣泛地應(yīng)用于干擾相消、信道均衡、系統(tǒng)識別以及陣列信號處理之中。但為了協(xié)調(diào)其在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差間的矛盾，以往的研究中提出了很多改進(jìn)算法，每種算法都有其優(yōu)勢與不足，比較有代表性的有歸一化最小均方誤差(NLMS)算法^{［2，3］}與變步長最小均方(SVS-LMS)算法^［4-6］。NLMS算法解決了輸入信號相關(guān)情況下LMS算法收斂速度慢的問題，但它受噪聲影響較大，穩(wěn)態(tài)性能有待提高；SVS-LMS算法通過調(diào)整迭代步長值使得算法在不僅有較快的收斂速度，同時具有良好的穩(wěn)態(tài)性能，但其易受輸入信號相關(guān)性的影響。

本文提出了一種全新的改進(jìn)變步長NLMS算法。該算法結(jié)合了傳統(tǒng)NLMS算法與SVS-LMS算法的優(yōu)勢，同時為克服SVS-LMS算法中步長因子需要進(jìn)行復(fù)雜的指數(shù)運算進(jìn)行迭代的缺點，引入了基于相關(guān)誤差項的箕舌線函數(shù)，改進(jìn)后的迭代方法不僅簡單易于實現(xiàn)，而且能夠有效地排除獨立噪聲項對穩(wěn)態(tài)失調(diào)的影響。另外，為進(jìn)一步降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，改進(jìn)算法引入了誤差項閾值，使其在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程后切換為簡化變步長LMS算法，排除了NLMS算法對于穩(wěn)態(tài)收斂性能的不利影響。仿真結(jié)果可以看出，新算法不僅改進(jìn)了傳統(tǒng)算法的穩(wěn)態(tài)性能，同時大大提高了算法的抗噪聲能力和用于時變系統(tǒng)時的跟蹤性能。

2 LMS算法及相關(guān)改進(jìn)算法

橫向自適應(yīng)濾波器原理圖如圖1所示。在自適應(yīng)濾波算法中，權(quán)系數(shù)調(diào)整的最簡單的方法即為基于最速下降法的LMS算法，該算法的參數(shù)表達(dá)式及權(quán)系數(shù)迭代公式如下：

e(n)=d(n)-wT(n)x(n)(1)

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)(2)

其中μ為控制收斂速度的常數(shù)，稱為步長因子；w(n)為權(quán)系數(shù)向量；x(n)為輸入信號向量；e(n)為誤差信號；d(n)為期望響應(yīng)。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理圖

LMS算法雖然簡單易行，但對于相關(guān)輸入信號的收斂速度明顯下降，這就造成當(dāng)輸入信號向量的特性值明顯發(fā)散時，算法的性能將受到嚴(yán)重的影響。另外，由于系統(tǒng)失調(diào)于輸入向量x(n)成正比，因此當(dāng)x(n)較大時，LMS濾波器也遇到了梯度噪聲被放大問題，為解決這些問題提出了NLMS算法，將權(quán)向量失調(diào)相對于輸入向量x(n)的平方歐氏范數(shù)進(jìn)行“歸一化”。其權(quán)系數(shù)向量的迭代表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

w(n+1)=w(n)+μδ+‖x(n)‖2e(k)x(k)(3)

該算法無論對于相關(guān)輸入還是不相關(guān)輸入向量都有明顯優(yōu)于LMS算法的收斂速度。在克服梯度噪聲影響方面，加入了正常數(shù)δ以解決輸入向量x(n)較小時引起的數(shù)值計算問題。

變步長自適應(yīng)濾波算法中，將迭代步長常數(shù)μ調(diào)整成可變函數(shù)，文獻(xiàn)［5］提出了基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法(即SVS-LMS算法)。該算法的步長迭代表達(dá)式為：

μ(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2))(4)

其中α>0，0<β<1/λmax，λmax為輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值。該算法通過當(dāng)前的誤差情況調(diào)整收斂步長，使其有更快的收斂速度。但在實際系統(tǒng)中誤差項e(n)通常是被噪聲污染的，導(dǎo)致該算法在收斂到接近最優(yōu)權(quán)向量時仍有較大振蕩，最終造成較大失調(diào)。另外，由于步長迭代需要進(jìn)行指數(shù)運算，大大增加了算法的復(fù)雜度。

3 基于箕舌線函數(shù)的改進(jìn)VS-NLMS算法

為簡化傳統(tǒng)變步長算法的計算復(fù)雜度，本文考慮用相對更加簡單易實現(xiàn)的箕舌線函數(shù)替代原變步長算法中的Sigmoid函數(shù)作為步長迭代公式。

阿格尼絲箕舌線函數(shù)(the witch of Agnesi or Versoria，文中簡稱為箕舌線函數(shù)“Versoria”)的表達(dá)式如下：

f(x)=a3a2+x2(5)

標(biāo)準(zhǔn)箕舌線(即a=1時)函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)箕舌線函數(shù)

圖2中虛線為箕舌線函數(shù)的相伴圓x2+(f(x)-a/2)2=a2/4。該函數(shù)以x=0為對稱軸，以f(x)=0為漸進(jìn)線，其x軸負(fù)半軸曲線非常類似于Sigmoid函數(shù)，因此考慮將其與Sigmoid函數(shù)進(jìn)行擬合，并提出新的步長調(diào)整方法，以簡化傳統(tǒng)變步長算法的運算量。

對于傳統(tǒng)的變步長算法來說，常以系統(tǒng)的均方誤差最小為準(zhǔn)則調(diào)整步長μ的取值^［7］，而該準(zhǔn)則又同樣是標(biāo)準(zhǔn)NLMS算法調(diào)整權(quán)值向量的原則，但由于均方誤差量忽略了獨立噪聲項的影響而容易導(dǎo)致收斂性能的下降。因此，本文考慮將權(quán)值迭代式中的步長調(diào)整項中的固定收斂因子μ改成可變量，并使其根據(jù)當(dāng)前誤差與上一步誤差的自相關(guān)估計來控制步長更新，這樣不僅加快了原NLMS算法的收斂速度，同時也消除了不相關(guān)噪聲向量對收斂性能的不利影響。

根據(jù)以上調(diào)整原則，參照標(biāo)準(zhǔn)的箕舌線函數(shù)，將其以f(x)=0.5為對稱軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，則可以得到近似于Sigmoid函數(shù)的曲線形狀，同時引入曲線調(diào)整參數(shù)α，β控制步長的限幅等性質(zhì)^［8］，采用當(dāng)前誤差與上一時刻誤差的自相關(guān)估計控制步長大小，即可得出新的步長迭代公式為：

μ(n)=β1-1α|e(n)e(n-1)|+1(6)

將此可變步長參數(shù)代入NLMS算法的權(quán)向量迭代式，即可得到改進(jìn)后的變步長歸一化最小均方(VS-NLMS)算法。該算法不僅考慮到輸入信號相關(guān)性對權(quán)值收斂的影響，同時排除了獨立噪聲向量對收斂性能的影響，使得整個收斂過程快速且魯棒性強(qiáng)。

但由于該權(quán)值調(diào)整方案在收斂過程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時容易由于隨機(jī)噪聲而導(dǎo)致步長仍有較大幅度的變化，加大了系統(tǒng)的失調(diào)。因此考慮穩(wěn)態(tài)階段的精度問題^［9］，引入誤差項閾值e0，使得算法在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程時切換到小步長最小均方迭代過程，放棄引入誤差項以排除隨機(jī)噪聲對算法性能的影響。

改進(jìn)后的算法核心迭代表達(dá)式如下：

e(n)=d(n)-wT(n)x(n)

μ(n)=β1-1α|e(n)e(n-1)|+1

w(n+1)=w(n)+μ(n)δ+‖x(n)‖2e(k)x(k)

|e(n)|≥e0

w(n)+2μ(n)e(k)x(k)others

4 仿真分析

為驗證算法的性能，現(xiàn)將改進(jìn)后的VS-NLMS算法與傳統(tǒng)的NLMS算法和SVS-LMS算法同時用于噪聲消除系統(tǒng)中。同時，為方便比較系統(tǒng)失調(diào)等性能參數(shù)，算法的參數(shù)均為在其他文獻(xiàn)中討論過的相對最優(yōu)參數(shù)，同時仿真結(jié)果均為500次獨立仿真試驗的集平均。

4.1 高斯白噪聲輸入時算法仿真性能分析

取未知系統(tǒng)為7階FIR模型，假設(shè)自適應(yīng)濾波器的階次與模型階次相同。輸入信號u(n)為零均值、方差為1的高斯白噪聲，主輸入端的干擾信號v(n)為與u(n)不相關(guān)的高斯白噪聲，按照文獻(xiàn)［5］取SNR=20 dB。在仿真實驗中，算法的相關(guān)參數(shù)選擇如下：

(1) 對NLMS算法，取μ1=0.1，并取合理的參數(shù)限幅。

(2) 對SVS-LMS算法，取α=10，β=0.2。

(3) 對本文提出的VS-NLMS算法，取β=0.6，α=0.08。

另外，為比較算法的跟蹤性能，令模型參數(shù)在迭代進(jìn)行至500步時同時發(fā)生變化。在上述條件下，分別對兩種算法進(jìn)行10次獨立仿真實驗，采樣點數(shù)為1 000，然后求統(tǒng)計平均，得出NLMS算法與VS-NLMS算法的學(xué)習(xí)曲線如圖3所示。其中，橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)n，縱坐標(biāo)表示均方誤差MSE的對數(shù)形式(即lg(MSE))。

圖3 獨立信號輸入時幾種算法的學(xué)習(xí)曲線比較圖

從圖3中可以看出，在收斂過程的初始階段，VS-NLMS算法的收斂速度明顯快于NLMS算法。在收斂過程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段時，VS-NLMS算法又繼承了NLMS算法低穩(wěn)態(tài)誤差的優(yōu)點，在穩(wěn)態(tài)性能上優(yōu)于NLMS算法。同時在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，VS-NLMS算法也表現(xiàn)出很好的跟蹤性能。

4.2 相關(guān)信號作為輸入時算法仿真性能分析

為驗證算法在相關(guān)輸入信號下的性能，設(shè)相關(guān)輸入信號表達(dá)式為：

x(n)=0.8x(n-1)+r(n)

其中r(n)為單位方差白色高斯噪聲，且保證r(n)與初始系統(tǒng)干擾v(n)相互獨立。其他仿真條件與參數(shù)選取均與獨立信號輸入時相同，經(jīng)過500次獨立仿真試驗后，得到幾種算法的學(xué)習(xí)曲線如圖4所示。

圖4 相關(guān)信號輸入時幾種算法的學(xué)習(xí)曲線比較圖

從圖4可以看出，在相關(guān)信號作為系統(tǒng)輸入時，改進(jìn)后的變步長歸一化最小均方算法無論在收斂速度，跟蹤性能上，還是在穩(wěn)態(tài)收斂精度上的性能均優(yōu)于NLMS算法與傳統(tǒng)的SVS-LMS算法。說明該改進(jìn)算法不僅適用于獨立信號環(huán)境，同時也可以很好地應(yīng)用于非獨立信號環(huán)境中。

4.3 非平穩(wěn)環(huán)境下的仿真性能分析

該仿真試驗給出時變系統(tǒng)模型如下，其系數(shù)采取如下隨機(jī)變化過程：

w(n+1)=w(n)+c(n)

其中，c(n)為零均值白色高斯噪聲，取方差σ2v=0.01。其他仿真條件同上，圖5給出了三種算法的學(xué)習(xí)曲線。

圖5 非平穩(wěn)環(huán)境下幾種算法的學(xué)習(xí)曲線比較圖

從圖5可以看出，三種算法在非平穩(wěn)環(huán)境下有著幾乎相同的收斂性能，但改進(jìn)后的算法與其他算法相比，仍表現(xiàn)出它在收斂初始階段與穩(wěn)態(tài)階段所兼?zhèn)涞膬?yōu)良性能，其最小的MSE已經(jīng)達(dá)到了-45 dB。

5 結(jié) 語

改進(jìn)后的VS-NLMS算法在保持傳統(tǒng)的NLMS與SVS-LMS算法性能優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，引入了基于箕舌線函數(shù)的變步長因子μ(n)，并在收斂過程中加入了誤差項閾值來改善整體算法的穩(wěn)態(tài)性能。新算法不僅有良好的收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差，同時簡化了步長迭代公式的計算復(fù)雜度，很好地協(xié)調(diào)了系統(tǒng)的抗噪聲干擾性能與快跟蹤性能間的矛盾。仿真結(jié)果驗證了算法的有效性。

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作者簡介

韓 允 男，1982年出生，遼寧鞍山人，海軍飛行學(xué)院助教。研究方向為通信對抗，自適應(yīng)通信技術(shù)。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文