摘 要：利用稀疏分量的直線聚類性，提出了欠定盲源分離中估計(jì)混合矩陣的一種方法。該方法通過(guò)構(gòu)造比率矩陣對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行分選，剔除了源信號(hào)頻譜重疊的部分，然后利用魯棒競(jìng)爭(zhēng)的聚類學(xué)習(xí)算法獲得對(duì)混合矩陣的精確估計(jì)，解決了源信號(hào)在頻域不充分稀疏的條件下準(zhǔn)確估計(jì)混合矩陣的問(wèn)題。在估計(jì)出混合矩陣的基礎(chǔ)上，利用最短路徑法分離出源信號(hào)。由仿真結(jié)果可以看出，與傳統(tǒng)的K均值估計(jì)混合矩陣的方法相比，方法具有更好的魯棒性。

關(guān)鍵詞：欠定盲源分離;稀疏分量;比率矩陣;最短路徑法

中圖分類號(hào)：TN911.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1004373X(2008)1900103

Underdetermined Blind Separation Based on Ratio Matrix Clustering

CHEN Xiaojun，ZHANG Yang，TANG Bin

(College of Electronic Engineering，University of Electronic Science Technology of China，Chengdu，610054，China)

Abstract：A method of the mixing matrix estimation in underdetermined source separation is proposed，which is based on the linear clustering of sparse component.Removing the overlapped source signals spectrum through choosing observation signals and constructing ratio matrix，the mixing matrix is estimated precisely by using Robust Competitive Agglomeration.Then，the source signals can be recovered by the shortest path method.The experiment proves that the method has better accuracy than K-means in estimating the mixing matrix.

Keywords：underdetermined source separation;sparse component;ratio matrix;shortest path method

1 引 言

目前，很多盲分離的算法都假設(shè)觀測(cè)信號(hào)的數(shù)目不少于源信號(hào)的數(shù)目。然而在實(shí)際應(yīng)用中，由于觀測(cè)條件有限，有可能會(huì)發(fā)生源信號(hào)數(shù)目多于觀測(cè)信號(hào)數(shù)目的欠定情況。國(guó)內(nèi)外針對(duì)欠定條件下盲分離算法的研究主要是集中在稀疏源上^［1-6］。這些算法一般是通過(guò)聚類的方法估計(jì)混合矩陣，然后再分離出源信號(hào)。當(dāng)源信號(hào)的稀疏性并不是很好時(shí)，可以通過(guò)FFT變換將源信號(hào)變換到頻域上進(jìn)行盲分離。但是很多信號(hào)在頻域上并不嚴(yán)格滿足稀疏特性，此時(shí)通過(guò)聚類的方法不能得到混合矩陣的精確估計(jì)。

本文針對(duì)源信號(hào)頻譜部分重疊的情況提出了一種新的估計(jì)混合矩陣的方法。利用稀疏分量的直線聚類性將構(gòu)造出的比率矩陣劃分為不同的子矩陣，并對(duì)子矩陣進(jìn)行分選；然后利用分選后的子矩陣構(gòu)成新的比率矩陣，并應(yīng)用魯棒競(jìng)爭(zhēng)聚類學(xué)習(xí)算法精確估計(jì)混合矩陣；最后利用最短路徑法對(duì)源信號(hào)進(jìn)行估計(jì)。

2 算法介紹

2.1 盲源分離模型

為了清楚地闡述盲分離算法，本文考慮一般的線性瞬時(shí)混疊模型:

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

在上述混合模型中，s(t)=(s1(t)，…，sn(t))T為源信號(hào)矢量，x(t)=(x1(t)，…，xm(t))T為觀測(cè)信號(hào)矢量，n(t)=［n1(t)，…，nm(t)］T為噪聲矢量。為了描述方便，將混合矩陣A寫作A=［a1，…，an］。當(dāng)源信號(hào)是稀疏信號(hào)時(shí)，它們的混合信號(hào)具有線性聚類特性。當(dāng)某一時(shí)刻只有一個(gè)源信號(hào)(如只有s1(t))起作用時(shí)，忽略噪聲的影響，x(t)=a1s(t)，它在m維空間中是一條直線，斜率取決于混合矩陣的列矢量a1。

2.2 混合矩陣的估計(jì)

首先，來(lái)估計(jì)混合矩陣的列向量。假設(shè)在t1，…，tL時(shí)刻只有信號(hào)s1(t)不為零，因此:

［x(t1)，…，x(tL)］=A［s(t1)，…，s(tL)］

=［a1s1(t1)，…，a1s1(tL)］

(2)

為了分析計(jì)算方便，假設(shè)只有兩個(gè)觀測(cè)信號(hào)(m=2)。此時(shí)，定義比率向量為:

θ1=x2(t1)x1(t1)，…，x2(tL)x1(tL)=a21a11［1，…，1］

(3)

由式(3)得到a1的估計(jì)為:

a1=a111，x2(tj)x1(tj)T，j=1，…，L

(4)

以同樣的方法在所有的觀測(cè)時(shí)刻構(gòu)造比率向量：

π=x2(1)x1(1)，…，x2(K)x1(K)

(5)

同理，可以構(gòu)造出θ2，…，θn，如果能在π中找到子向量θ1，…，θn，就能估計(jì)出列向量a1，…，an。

假設(shè)x2(k)x1(k)∈［r，R］，k=1，…，K，r為π的最小值，R為π的最大值。然后把π分為M個(gè)子區(qū)間，M為正整數(shù)。此時(shí)，θi，i=1，…，n中所有元素都屬于某一個(gè)子區(qū)間。如果某個(gè)子區(qū)間元素的個(gè)數(shù)小于J(J為正整數(shù)，需要根據(jù)實(shí)際情況預(yù)先設(shè)定)，將子區(qū)間內(nèi)所有元素刪除。將余下的元素構(gòu)成一個(gè)新的向量。然而由于源信號(hào)并不充分稀疏，因此只能剔除部分重疊的分量。

為了進(jìn)一步提高混合矩陣的精確度，對(duì)再使用魯棒競(jìng)爭(zhēng)聚類學(xué)習(xí)算法(RCA)。RCA算法是從C均值算法演化過(guò)來(lái)的，但比C均值算法更具魯棒性，而且對(duì)孤立數(shù)據(jù)點(diǎn)不敏感。設(shè)B=［β1，…，βc］，其中βi為第i個(gè)聚類中心參數(shù)。

C均值算法是最小化下列目標(biāo)函數(shù)：

JC(B，U;) = ∑Ci = 1∑Nj = 1(uij)2d2ij

(6)

使得:

∑Ci=1uij=1，j=1，…，N

(7)

在式(6)中，d2ij表示j到βi距離的平方。U=uij中的每個(gè)元素表示j與βi的關(guān)聯(lián)程度。為了減少模型參數(shù)的個(gè)數(shù)，同時(shí)更準(zhǔn)確地估計(jì)出聚類的中心，將代價(jià)函數(shù)變下式：

JR(B，U;) = ∑Ci = 1∑Nj = 1(uij)2ρi(d2ij)-

α∑Ci = 1∑Nj = 1wijuij2-

λj(∑Ci = 1uij-1)

(8)

式(8)中，ρi(·)是關(guān)于第i個(gè)聚類中心的魯棒代價(jià)函數(shù)，wij= wi(d2ij)=ρi(d2ij)d2ij為權(quán)重矢量。關(guān)于如何選取ρi，α和λj，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［7］，這里不再贅述。應(yīng)用RCA算法可以獲得n個(gè)聚類的中心，由此可以估計(jì)出混合矩陣的列向量。

2.3 源信號(hào)的估計(jì)

對(duì)于欠定盲源分離，估計(jì)出混合矩陣后，由于混合矩陣是不可逆的，因此并不能直接估計(jì)出源信號(hào)。此時(shí)可以利用源信號(hào)在變換域上的稀疏特性，采用最短路徑法^［8］對(duì)源信號(hào)進(jìn)行估計(jì)。最短路徑法從估計(jì)得到的混合矩陣中選取出逼近觀測(cè)信號(hào)角度的兩個(gè)列矢量，把分離矩陣降維后再估計(jì)源信號(hào)。

設(shè)選取的列向量為ab和aa，令A(yù)r=［ab aa］，Wr=A-1r，估計(jì)出的源信號(hào)矢量為：

str=Wrxt stj=0j≠b，at=1，…，K

(9)

2.4 盲分離算法

本文的盲分離算法可以總結(jié)為以下步驟實(shí)現(xiàn)：

(1) 對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行FFT變換，記變換后的復(fù)信號(hào)的實(shí)部為X(t)，虛部為X′(t)，t=1，…，K；

(2) 構(gòu)造出向量π=X2(1)X1(1)，…，X2(K)X1(K)，同時(shí)將矩陣中每個(gè)元素取反正切變換，得到向量；

(3) 若(t)<ζ，(ζ>0)，t=1，…，K，將(t)刪去，將余下的元素組成；

(4) 的最大值r和最小值R，將［r，R］等分成M個(gè)間隔，記每個(gè)子向量為1，…，M；

(5) 如果j j=1，…，M中某個(gè)向量元素的個(gè)數(shù)小于J，將其刪去，將剩下的向量組合為一個(gè)新的向量；

(6) 將作為輸入矢量，應(yīng)用RCA算法估計(jì)混合矩陣；

(7) 對(duì)X(t)和X′(t)應(yīng)用最短路徑法估計(jì)出源信號(hào)FFT變換后的實(shí)部和虛部，然后再進(jìn)行逆FFT變換重構(gòu)出源信號(hào)。

3 仿真結(jié)果及其分析

為了說(shuō)明算法的有效性，選取兩個(gè)LFM信號(hào)，一個(gè)FM信號(hào)做仿真實(shí)驗(yàn)。FM信號(hào)的載波頻率為1 kHz，一個(gè)LFM信號(hào)的起始頻率為1.5 kHz，截止頻率為4 kHz，另一個(gè)LFM信號(hào)起始頻率為3.5 kHz，截止頻率為5 kHz?；旌暇仃嚍?

A=0.148 4－0.962 50.743 00.988 90.122 10.652 2

如圖1所示，源信號(hào)的頻譜圖在一定頻率范圍內(nèi)有所重疊。應(yīng)用K均值算法^{［9，10］}估計(jì)出的混合矩陣為:

=0.345 30.988 00.653 9-0.938 5-0.154 30.802 5

由于源信號(hào)在頻域上并不是嚴(yán)格地滿足稀疏特性，因此應(yīng)用K均值的方法并不能準(zhǔn)確地估計(jì)出混合矩陣。

在應(yīng)用本文算法估計(jì)混合矩陣時(shí)，要特別注意子區(qū)間數(shù)目M和閾值J的選取。如果M選取過(guò)大，J選取過(guò)小，頻譜重疊的分量就不會(huì)被剔除，估計(jì)混合矩陣就有了很大的誤差。

恰當(dāng)選取M和J估計(jì)出的混合矩陣為:

=0.737 10.153 00.992 10.675 70.988 2－0.125 6

雖然估計(jì)出的混合矩陣的列向量和原混合矩陣相比有順序和符號(hào)上的差異性，但這并不影響源信號(hào)的估計(jì)。

圖1 源信號(hào)頻譜

最后應(yīng)用最短路徑法對(duì)源信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，源信號(hào)，觀測(cè)信號(hào)和分離出的信號(hào)如圖2所示。

圖2 源信號(hào)，觀測(cè)信號(hào)和分離信號(hào)

為了定量評(píng)價(jià)分離，采用分離信號(hào)和源信號(hào)的相似系數(shù)ξij作為分離的性能指標(biāo)：

ξij=ξ(yi，sj)

=∑Kt=1yi(t)sj(t)/∑Kt=1y2i(t)∑Kt=1s2j(t)

(10)

式(10)中：i=1，…，n;j=1，…，n。如果ξij的值等于1，說(shuō)明第i個(gè)分離輸出與第j個(gè)源信號(hào)完全相同，由于估計(jì)誤差不可避免，當(dāng)分離完成后，ξij的值接近1；ξij的值趨于零，說(shuō)明不相關(guān)；如果所有ξij的值距1較遠(yuǎn)，說(shuō)明分離未完成。一般認(rèn)為在實(shí)際信號(hào)分離過(guò)程中ξij達(dá)到0.8以上，就可以認(rèn)為達(dá)到分離目的了。

按照式(10)計(jì)算出來(lái)的源信號(hào)和分離信號(hào)的相關(guān)系數(shù)矩陣ξ為:

ξ=0.117 80.949 90.104 10.061 10.061 90.923 70.906 80.091 10.015 4

從ξ可以看出，其每行每列都有且只有一個(gè)元素接近1，其他元素都接近0，這說(shuō)明在應(yīng)用本文算法估計(jì)出的混合矩陣基礎(chǔ)上分離效果是比較理想的。

4 結(jié) 語(yǔ)

在欠定盲源分離問(wèn)題中，準(zhǔn)確估計(jì)混合矩陣是整個(gè)盲分離算法的關(guān)鍵步驟。如果混合矩陣估計(jì)不準(zhǔn)確，分離源信號(hào)根本無(wú)法進(jìn)行。本文針對(duì)源信號(hào)在頻域上不充分稀疏的情況下，給出了一種盲分離混疊矩陣的估計(jì)方法。通過(guò)精確估計(jì)混疊矩陣，從而有效地實(shí)現(xiàn)盲分離。

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作者簡(jiǎn)介 陳曉軍 男，1983年出生，山西大同人，碩士研究生。主要從事信號(hào)盲分離方向

的研究。

張 揚(yáng) 男，1963年出生，四川人，教授，主要從事衛(wèi)星通信，雷達(dá)信號(hào)處理方向的研究。

唐 斌 男，1964年出生，四川廣安人，教授。長(zhǎng)期從事電子對(duì)抗技術(shù)和系統(tǒng)、雷達(dá)抗干擾能力提高及效能評(píng)估，以及信號(hào)盲分離方向的研究。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文