摘 要：對于由運(yùn)動學(xué)模型描述的二自由度輪式移動機(jī)器人的軌跡跟蹤問題進(jìn)行討論。采用積分Backstepping思想，通過構(gòu)造一種簡單的中間虛擬反饋?zhàn)兞客瑫r結(jié)合Lyapunov直接法設(shè)計出時變反饋控制律，并且證明其控制效果能夠達(dá)到全局漸近穩(wěn)定。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制律的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：輪式移動機(jī)器人;軌跡跟蹤;Backstepping;Lyapunov函數(shù);全局穩(wěn)定

中圖分類號：TP24文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)24-113-03

Trajectory Tracking Control of Mobile Robots Based on Backstepping

WANG Chuan1，2，WU Huaiyu1，2，WANG Fen1，2，3 ，CHENG Lei1，2

(1.Engineering Research Center of Metallurgical Automation and Measurement Technology，Ministry of Education，Wuhan，430081，China;

2.College of Information Science and Engineering，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan，430081，China;

3.College of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan，430081，China)

Abstract：The trajectory tracking control problem of the kinematic model of a two-degree-of-freedom wheeled mobile robot is discussed.Using the idea of integral Backstepping，a simple virtual feedback variable is proposed and a global asymptotically stable control law is designed via Lyapunov direct method.A simulation verifies the correctness and effectiveness of the control law.

Keywords：wheeled mobile robot;trajectory tracking;Backstepping;Lyapunov function;global stability

1 引 言

通過差動驅(qū)動(Differential Drive)的輪式移動機(jī)器人屬于典型的非完整系統(tǒng)^［1］，近年來依據(jù)非完整系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)模型和動力學(xué)模型^［2］來對它進(jìn)行有效的反饋控制一直是研究的熱點(diǎn)。由于移動機(jī)器人并不滿足Brockett光滑反饋鎮(zhèn)定必要條件^［3］，這使得它的軌跡跟蹤系統(tǒng)比一般的非線性系統(tǒng)更難控制。文獻(xiàn)［4］針對移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差模型采用泰勒線性化的思想完成了軌跡跟蹤反饋鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計，這種方法只能得到局部的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［5-7］利用積分Backstepping思想結(jié)合Lyapunov直接法設(shè)計了軌跡跟蹤控制器，并且對滿足特定條件軌跡的跟蹤可以達(dá)到全局穩(wěn)定。

根據(jù)二自由度輪式移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型，在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上利用積分Backstepping設(shè)計思想構(gòu)造出更加簡單的虛擬反饋?zhàn)兞?，同時結(jié)合Lyapunov直接法設(shè)計出時變反饋控制律，并證明其控制效果能夠達(dá)到全局漸近穩(wěn)定。仿真結(jié)果表明機(jī)器人在控制律的作用下，能夠迅速且有效地跟蹤期望軌跡。

2 軌跡跟蹤問題

研究的移動機(jī)器人擁有2個同軸的分別由獨(dú)立電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動的前輪，前輪為固定標(biāo)準(zhǔn)輪(Fixed Standard Wheel)，后輪為一個起支撐作用的全向小腳輪(Conventional Off-centered Orientable Wheel)，由文獻(xiàn)［8］可知小腳輪并不影響機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型。這種機(jī)器人的活動性程度(Degree of Mobility)δm=2，可操作度(Degree of Steerability)δs=0，機(jī)動程度(Degree of Maneuverability)δM=δm+δs=2，即可操縱的總自由度為2，它受到如下非完整約束：

sin θ－cos θ=0(1)

如圖1所示，機(jī)器人在二維全局坐標(biāo)系(XIOIYI)下的位姿用它的3個空間定位自由度組成的廣義坐標(biāo)向量p=（x，y，θ）T來表示，同時參考位姿表示為pr=(xr，yr，θr)T，其中θ以逆時針方向?yàn)檎?/p>

機(jī)器人的運(yùn)動狀態(tài)由它的線速度v及角速度ω決定，表示為向量形式q=(v，ω)T，同時參考速度表示為qr=(vr，ωr)T。機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型為^［4］：

==Jq=cos θ0

sin θ0

01q(2)

其中J為雅可比矩陣。定義機(jī)器人局部坐標(biāo)系(XRORYR)下的位姿誤差為pe=(xe，ye，θe)T，則位姿誤差方程為：

pe=xe

ye

θe=cos θsin θ0

－sin θcos θ0

001(pr－p)

=Tθ(pr－p)(3)

圖1 機(jī)器人運(yùn)動示意圖

其中Tθ為正交旋轉(zhuǎn)矩陣，對式(3)求時間導(dǎo)數(shù)并化簡得到如下微分方程：

e=e

e

e=ωye－v+vrcos θe

－ωxe+vrsin θe

ωr－ω(4)

根據(jù)上述運(yùn)動學(xué)方程，移動機(jī)器人軌跡跟蹤的問題轉(zhuǎn)化為設(shè)計輸入控制量q=(v，ω)T，使得它和式(4)組成的閉環(huán)系統(tǒng)位姿誤差全局一致有界，并且當(dāng)t→∞，vr和ωr不同時收斂于零時，系統(tǒng)在任意初始跟蹤誤差下有l(wèi)imt→∞［|xe(t)|+|ye(t)|+|θe(t)|］=0。

3 控制律設(shè)計

機(jī)器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 軌跡跟蹤控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

設(shè)計全局跟蹤控制律時引入積分Backstepping思想，在式(3)中，針對誤差分量xe，構(gòu)造虛擬反饋?zhàn)兞浚?/p>

e=xe－k1sin(arctan(ω))ye(5)

其中k1為大于零的常數(shù)，顯然當(dāng)ω=0時，k1sin(arctan(ω))ye=0，且k1sin(arctan(ω))關(guān)于ω的一階導(dǎo)數(shù)有界。由式(4)中e分量的方程可知，如果控制作用使得誤差分量limt→∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye，并且limt→∞θe=0，那么limt→∞e=－k1ωsin(arctan(ω))ye。同時對部分Lyapunov函數(shù)Vy=12y2e求時間導(dǎo)數(shù)，得y=yee，又因?yàn)棣豷in(arctan(ω))≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ω=0時等號成立。所以根據(jù)Barbalat引理^［9］得到，當(dāng)t→∞時，ye收斂于零，由此可以看出誤差分量ye是間接受控量。綜上所述，設(shè)計控制律的實(shí)質(zhì)就是尋求輸入控制量q=(v，ω)T使得limt→∞xe=k1sin(arctan(ω))ye，limt→∞θe=0。按照上述思路構(gòu)造Lyapunov純量函數(shù)：

V=122e+12y2e+2k3(1－cos(θe2))(6)

其中k3為大于零的常數(shù)。考慮到θe為實(shí)際角度誤差，即可以忽略角度的周期性，定義θe∈［0，2π)。很明顯，函數(shù)V≥0，當(dāng)且僅當(dāng)(e，ye，θe)T=0時，V=0。

將虛擬反饋?zhàn)兞开璭的方程(5)轉(zhuǎn)化為：

x·-e=e－k1cos(arctan(ω))11+ω2ye－

k1sin(arctan(ω))e(7)

將Lyapunov函數(shù)對時間求導(dǎo)數(shù)，并確定閉環(huán)系統(tǒng)的控制律：

=ex·-e+yee+1k3sin(θe2)e

=ee－k1cos(arctan(ω))11+ω2ye－k1·sin(arctan(ω))e〗+ye(－ωxe+vrsin θe)+1k3sin(θe2)(ωr－ω)

=e11+ω2ye－k1sin(arctan(ω))e〗+

yee+k1sin（arctan ω） ye)+vrsin θe〗+1k3sin(θe2)(ωr－ω)

=e11+ω2ye－k1sin(arctan(ω))(－ωxe+vrsin θe)〗－

k1y2eωsin(arctan(ω))+1k3sin(θe2)θe2)〗(8)

設(shè)t∈［0，+∞)，vr，ωr，r，r有界且vr，ωr不同時收斂于零，取系統(tǒng)的控制律為：

v=vrcos θe+k1sin11+ω2ye+

k2

ω=ωr+2k3yevrcos(θe2)+k4sin(θe2)

(9)

其中k2，k4為大于零的常數(shù)，且有如下方程：

=r+2k3(evr+yer)cos(θe2)－

k3vryesin(θe2)e+12k4cos(θe2)e(10)

e=－θe2)+k4sin(θe2)〗xe+vrsin θe(11)

e=－2k3yevrcos(θe2)－k4sin(θe2)(12)

將控制律式(9)代入式(8)并整理得：

=－k22e－k1y2eωsin(arctan(ω))－k4k3sin2(θe2)(13)

因?yàn)楠衪∈［0，+∞)，vr，ωr，r，r有界，所以t∈［0，+∞)，xe，ye，θe一致有界^［5］。由于k1，k2，k3，k4均為大于零的常數(shù)，并且ωsin(arctan(ω))≥0，所以≤0?？梢钥吹絍為正定連續(xù)可微函數(shù)且有界，為半負(fù)定一致連續(xù)函數(shù)，那么根據(jù)Barbalat引理^［9］可知，t→∞時，→0，從而得到2e，y2eωsin(arctan(ω))，sin2(θe/2)分別收斂于零。進(jìn)一步，由limt→∞ 2e=0得到limt→∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye。由t→∞時，vr，ωr不同時收斂于零推得ω不收斂于零，結(jié)合limt→∞ y2eωsin(arctan(ω))=0可知，limt→∞ ye=0，同時有l(wèi)imt→∞ xe=k1sin(arctan(ω))ye，所以limt→∞xe=0。因?yàn)閘imt→∞sin2(θe/2)=0，所以可以得到limt→∞ θe=0。綜合上面的分析可以得出結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)位姿誤差全局一致有界，且有l(wèi)imt→∞［|xe(t)|+|ye(t)|+|θe(t)|］=0。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在Matlab環(huán)境下通過控制機(jī)器人對直線軌跡和圓周軌跡的跟蹤驗(yàn)證上述控制算法的有效性?？刂坡墒?9)中的參數(shù)k1，k2，k3，k4為指數(shù)衰減時間常數(shù)相關(guān)的正常數(shù)，它們共同作用決定機(jī)器人跟蹤軌跡收斂的速度與穩(wěn)定性。其中k1，k2用來調(diào)節(jié)xe，k3，k4用來調(diào)節(jié)ye及θe。

4.1 跟蹤直線

給定直線期望軌跡的參考輸入為vr=0.2 m/s，ωr=0，在全局坐標(biāo)系下的初始位姿為xr(0)=1 m，yr(0)=0，θr(0)=π/3rad。同時移動機(jī)器人在全局坐標(biāo)系下的初始位姿為x(0)=1.2 m，y(0)=－2 m，θ(0)=π/2rad。取控制參數(shù)的值k1=k2=3，k3=10，k4=3。直線跟蹤效果如圖3所示。

圖3 直線軌跡跟蹤

4.2 跟蹤圓周

給定圓周期望軌跡的參考輸入為vr=0.2 m/s，ωr=0.2 rad/s，在全局坐標(biāo)系下的初始位姿為xr(0)=1 m，yr(0)=0，θr(0)=π/2 rad。同時移動機(jī)器人在全局坐標(biāo)系下的初始位姿為x(0)=1.2 m，y(0)=－0.3 m，θ(0)=2π/3rad。取控制參數(shù)的值k1=k2=1.5，k3=25，k4=5.2。圓周跟蹤效果如圖4所示。

圖4 圓周軌跡跟蹤

從圖3和圖4的仿真結(jié)果可以看出，在本文設(shè)計的控制器作用下，機(jī)器人實(shí)際行走的軌跡迅速而且平滑地收斂于期望軌跡。

5 結(jié) 語

本文討論了受非完整約束輪式移動機(jī)器人的軌跡跟蹤問題，并且利用積分Backstepping設(shè)計方法構(gòu)造出全局軌跡跟蹤控制器。此控制器算法簡單，計算量小，可以方便地以程序的形式移植到機(jī)器人上位機(jī)的Windows系統(tǒng)平臺或者Linux系統(tǒng)平臺上，而且不用擔(dān)心執(zhí)行程序的實(shí)時性問題。對不同軌跡跟蹤的仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制器的有效性。

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作者簡介 王 川 男，1984年出生，碩士研究生。主要研究方向?yàn)槲⒐鈾C(jī)電系統(tǒng)集成與控制，機(jī)器人運(yùn)動控制。

吳懷宇 男，1961年出生，博士，教授，博導(dǎo)。主要研究方向?yàn)橹悄芸刂疲⒐鈾C(jī)電系統(tǒng)集成與控制。

王 芬 女，1980年出生，博士研究生，助教。主要研究方向?yàn)橹悄芸刂啤?/p>

程 磊 男，1976年出生，博士，講師。主要研究方向?yàn)槎鄼C(jī)器人協(xié)作。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文