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        關注高考中的絕對值函數(shù)

        2008-01-05 06:39:16蔣科新
        中學數(shù)學研究 2008年12期
        關鍵詞:實根實數(shù)單調

        蔣科新

        江蘇省丹陽高級中學 (212300)

        函數(shù)是高中數(shù)學的主線,貫穿于各章之中,具有很強的滲透力.每年的高考對函數(shù)的考查都占有相當大的比重,并且函數(shù)知識點??汲P?,成為歷屆高考的“主旋律”.特別是向量和導數(shù)進入高中數(shù)學新教材后,對函數(shù)問題的命題空間大大的拓寬,思維量進一步加大.在近幾年的高考中,一次、二次絕對值函數(shù)屢見不鮮.這些問題靈活多變,綜合性較強,要求學生具有深厚的基礎知識和靈活運用數(shù)學知識和思想方法解決數(shù)學問題的能力.本文就近幾年高考中所涉及的絕對值函數(shù),探究其解題思路.

        一、函數(shù)y=|ax+b|的圖像與性質

        函數(shù)y=|ax+b|的圖像可以通過分段函數(shù)來畫,也可以通過圖像的變換得到.

        例1 (2007安徽)圖1中的圖像所表示的函數(shù)的解析式為().

        A.y=32|x-1|(0≤x≤2)

        B.y=32-32|x-1|(0≤x≤2)

        C.y=32-|x-1|(0≤x≤2)

        D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)

        解析:圖中的圖像所表示的函數(shù)當0≤x≤1時,它的解析式為y=3x2,當1≤x≤2時,解析式為y=-32x+3,∴解析式為y=32-32?﹟x-1|(0≤x≤2),選B.

        二、函數(shù)y=|ax2+bx+c|的圖像與性質

        函數(shù)y=|ax2+bx+c|的圖像只需把函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像x軸上方的部分保持不變,x軸下方的部分翻折到x軸上方即可.

        例2 已知函數(shù)f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),給出下列命題:①f(x)必為偶函數(shù);②當ゝ(0)=f(2)時,f(x)的圖像必關于直線x=1對稱;③若a2-b≤0,則f(x)在區(qū)間[a,+∞)上是增函數(shù);④f(x)有最大值a2-b.其中正確命題的序號是 .

        解析:①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是a=0;②當f(0)=f(2)時,|b|=|4-4a+b|,b=±(4-4a+b),a=1或b=a-2.a=1時ゝ(x)的圖像關于直線x=1對稱;b=a-2(a≠1)時f(x)的圖像不關于直線x=1對稱;③當a2-b≤0時,f(x)=|x2-2ax+b|=(x-a)2+b-a2,∴f(x)在區(qū)間[a,+∞)上是增函數(shù);④f(x)沒有最大值.

        故所有正確命題的序號是③.

        三、函數(shù)y=ax2+b|x|+c的圖像與性質

        由于函數(shù)y=ax2+b|x|+c是一個偶函數(shù),其函數(shù)的圖像關于y軸對稱.故函數(shù)y=ax2+b|x|+c的圖像,只需把函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像y軸右邊的部分保持不變,再根據對稱性,畫出它在y軸左邊的部分.

        例3 (2006湖北)關于x的方程(x2-1)2+|x2-1|+k=0,給出下列四個命題:

        ①存在實數(shù)k,使得方程恰有2個不同的實根;

        ②存在實數(shù)k,使得方程恰有4個不同的實根;

        ③存在實數(shù)k,使得方程恰有5個不同的實根;

        ④存在實數(shù)k,使得方程恰有8個不同的實根;

        其中假命題的個數(shù)是().

        A.0 B.1 C.2 D.3

        解析:令t=|x2-1|,則原方程化為:關于t的方程t2-t+k=0(*),當方程(*)無解,即△=1-4k<0,k>14時,方程(*)無解,原方程也無解.當方程(*)有解時,因為t1+t2=1,t1?t2=k,故只可能有下面幾種情況:

        (1)方程(*)的兩根是一正一負(正根大于1)即k<0時,方程(1)只有兩個根.如k=-2時,原方程恰有2個不同的實根,解為±3.

        (2)方程(*)的兩根是一正一零,即k=0時,方程(2)有三個根,方程(1)有五個根.原方程的解為±1,±2,0.

        (3)方程(*)的兩根是兩個不相等的正根(此時兩根都在0到1之間),即△=1-4k>0,

        f(0)=k>0,

        f(1)=k>0,故當0

        (4)方程(*)有兩個相等的正根,即k=14時,原方程有四個根:±62,±22.故選A.

        四、函數(shù)=ax|x|+bx+c的圖像與性質

        例4 設函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,給出四個命題:①當c=0時,y=f(x)是奇函數(shù);②當b=0,c>0時,方程f(x)=0只有一個實根;③y=f(x)的圖像關于點(0,c)對稱;④方程f(x)=0至多有兩個實根.在上述命題中,所有正確的命題的序號是 .

        解析:①當c=0時,f(x)=x|x|+bx是奇函數(shù);②當b=0,c>0時,方程f(x)=0,即為﹛|x|+c=0,它只有一個實根x=--c;③因y=x|x|+bx的圖像關于原點對稱,故y=f(x)的圖像關于點(0,c)對稱;④當a=1,b=-1,c=0時,方程f(x)=0有三個實根x=0,x=1,x=-1.在上述命題中,所有正確的命題的序號是①,②,③.

        五、帶有兩個及以上絕對值符號的函數(shù)

        例5 (2006全國Ⅱ)函數(shù)f(x)=∑19i=1|x-﹊|的最小值為( ).

        A.190 B.171 C.90 D.45

        解析:f(x)=∑19i=1|x-i|=|x-1|+|x-2|+|x-3|+……+|x-19|表示數(shù)軸上一點到1,2,3,…,19的距離之和,可知x在1-19的最中間時f(x)取最小值.即x=10時f(x)有最小值90,故選C.

        例6 (2008江蘇)已知函數(shù)f1(x)=3﹟x-p1|,f2(x)=2?3﹟x-p2|,(x∈R,p1,p2為常數(shù)),函數(shù)f(x)定義為:對每個給定的實數(shù)x,f(x)=f1(x),若f1(x)≤f2(x),

        f2(x),若f1(x)>f2(x).

        (1)求f(x)=f1(x)對所有實數(shù)x成立的充要條件(用p1,p2表示);

        (2)設a,b是兩個實數(shù),滿足a

        解析:(1)f2(x)=3﹟x-p2|+玪og32,f(x)=ゝ1(x)對所有實數(shù)x成立趂1(x)≤f2(x)3﹟x-p1|≤3﹟x-p2|+玪og32趞x-p1|≤|x-p2|+玪og32恒成立趞x-p1|-|x-p2|≤玪og32.=∵|x-p1|-|x-p2|≤|(x-p1)-(x-﹑2)|,∴|x-p1|-|x-p2|的最大值為|p2-p1|.∴f(x)=f1(x)對所有實數(shù)x成立趞p2-﹑1|≤玪og32.

        (2)①若|p2-p1|≤玪og32,則f(x)=ゝ1(x)=3﹟x-p1|.∵a

        ∴3﹑1-a=3゜-p1,p1-a=b-p1,p1=a+b2.

        ∴f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調增區(qū)間為[a+b2,b],其長度為b-a2.

        ②若|p2-p1|>玪og32,設a

        ∵p1

        2)同理令f1(x)>ゝ2(x),得p1+p2+玪og322

        3﹛-p1,p1≤x

        3-x+p2+玪og32,p1+p2+玪og322≤x

        3﹛-p2+玪og32,p2

        ∵f(a)=3﹑1-a,f(b)=3゜-p2+玪og32,由f(a)==f(b),得p1-a=b-p2+玪og32.∴p1+p2=a+b+玪og32.則f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調增區(qū)間為[p1,p1+p2+玪og322]、[p2,b],其長度p之和為(p1+p2+玪og322-p1)+(b-p2)=b-a2.同理可證a

        點評:令g1(x)=|x-p1|,g2(x)=|x-p2|+玪og32,g(x)=

        g1(x),若g1(x)≤g2(x),

        g2(x),若g1(x)>g2(x).∴f1(x)與g1(x)的單調性相同,f2(x)與g2(x)的單調性相同,f(x)與g(x)的單調性相同.則原題中關于ゝ(x)的問題可等價簡化為關于g(x)的問題.

        由于g2(p2)=玪og32,令g1(x)=玪og32,即﹟x-p1|=玪og32,可得x=p1±玪og32.結合ゞ(x)的圖像如圖3知,需分三類討論:①p2p1+玪og32.均不難說明g(x)的單調增區(qū)間的長度為b-a2.

        在研究絕對值函數(shù)時,可利用分類討論思想去掉絕對值符號,將其轉化為分段函數(shù),逐類研究各段函數(shù)的性質,最后整合得到原函數(shù)的性質;也可以借助于數(shù)形結合思想尋找解題思路,給數(shù)學命題以直觀圖像的描述,揭示出命題的幾何特征,變抽象為形象,從而化難為易、化繁為簡,使問題得到解決.

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