蔣科新

江蘇省丹陽高級中學(xué) (212300)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于各章之中，具有很強(qiáng)的滲透力.每年的高考對函數(shù)的考查都占有相當(dāng)大的比重，并且函數(shù)知識點(diǎn)?？汲Ｐ?，成為歷屆高考的“主旋律”.特別是向量和導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)新教材后，對函數(shù)問題的命題空間大大的拓寬，思維量進(jìn)一步加大.在近幾年的高考中，一次、二次絕對值函數(shù)屢見不鮮.這些問題靈活多變，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生具有深厚的基礎(chǔ)知識和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力.本文就近幾年高考中所涉及的絕對值函數(shù)，探究其解題思路.

一、函數(shù)y=|ax+b|的圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=|ax+b|的圖像可以通過分段函數(shù)來畫，也可以通過圖像的變換得到.

例1 (2007安徽)圖1中的圖像所表示的函數(shù)的解析式為().

A.y=32|x-1|(0≤x≤2)

B.y=32-32|x-1|(0≤x≤2)

C.y=32-|x-1|(0≤x≤2)

D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)

解析：圖中的圖像所表示的函數(shù)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，它的解析式為y=3x2，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，解析式為y=-32x+3,∴解析式為y=32-32?﹟x-1|(0≤x≤2)，選B.

二、函數(shù)y=|ax2+bx+c|的圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=|ax2+bx+c|的圖像只需把函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像x軸上方的部分保持不變，x軸下方的部分翻折到x軸上方即可.

例2 已知函數(shù)f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R)，給出下列命題：①f(x)必為偶函數(shù)；②當(dāng)ゝ(0)=f(2)時(shí)，f(x)的圖像必關(guān)于直線x=1對稱；③若a2-b≤0，則f(x)在區(qū)間［a,+∞)上是增函數(shù)；④f(x)有最大值a2-b.其中正確命題的序號是 .

解析：①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是a=0;②當(dāng)f(0)=f(2)時(shí)，|b|=|4-4a+b|,b=±(4-4a+b),a=1或b=a-2.a=1時(shí)ゝ(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱；b=a-2(a≠1)時(shí)f(x)的圖像不關(guān)于直線x=1對稱；③當(dāng)a2-b≤0時(shí)，f(x)=|x2-2ax+b|=(x-a)2+b-a2,∴f(x)在區(qū)間［a,+∞)上是增函數(shù)；④f(x)沒有最大值.

故所有正確命題的序號是③.

三、函數(shù)y=ax2+b|x|+c的圖像與性質(zhì)

由于函數(shù)y=ax2+b|x|+c是一個(gè)偶函數(shù)，其函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.故函數(shù)y=ax2+b|x|+c的圖像，只需把函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像y軸右邊的部分保持不變，再根據(jù)對稱性，畫出它在y軸左邊的部分.

例3 (2006湖北)關(guān)于x的方程(x2-1)2+|x2-1|+k=0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；

其中假命題的個(gè)數(shù)是().

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：令t=|x2-1|,則原方程化為：關(guān)于t的方程t2-t+k=0(*)，當(dāng)方程(*)無解，即△=1-4k<0,k>14時(shí)，方程(*)無解，原方程也無解.當(dāng)方程(*)有解時(shí)，因?yàn)閠1+t2=1,t1?t2=k,故只可能有下面幾種情況：

(1)方程(*)的兩根是一正一負(fù)(正根大于1)即k<0時(shí)，方程(1)只有兩個(gè)根.如k=-2時(shí)，原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根，解為±3.

(2)方程(*)的兩根是一正一零，即k=0時(shí)，方程(2)有三個(gè)根，方程(1)有五個(gè)根.原方程的解為±1，±2,0.

(3)方程(*)的兩根是兩個(gè)不相等的正根(此時(shí)兩根都在0到1之間)，即△=1-4k>0,

f(0)=k>0,

f(1)=k>0,故當(dāng)0

(4)方程(*)有兩個(gè)相等的正根，即k=14時(shí)，原方程有四個(gè)根：±62，±22.故選A.

四、函數(shù)=ax|x|+bx+c的圖像與性質(zhì)

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c，給出四個(gè)命題：①當(dāng)c=0時(shí)，y=f(x)是奇函數(shù)；②當(dāng)b=0，c>0時(shí)，方程f(x)=0只有一個(gè)實(shí)根；③y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,c)對稱；④方程f(x)=0至多有兩個(gè)實(shí)根.在上述命題中，所有正確的命題的序號是 .

解析：①當(dāng)c=0時(shí)，f(x)=x|x|+bx是奇函數(shù)；②當(dāng)b=0,c>0時(shí)，方程f(x)=0，即為﹛|x|+c=0，它只有一個(gè)實(shí)根x=--c；③因y=x|x|+bx的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,c)對稱；④當(dāng)a=1,b=-1,c=0時(shí)，方程f(x)=0有三個(gè)實(shí)根x=0,x=1,x=-1.在上述命題中，所有正確的命題的序號是①，②，③.

五、帶有兩個(gè)及以上絕對值符號的函數(shù)

例5 (2006全國Ⅱ)函數(shù)f(x)=∑19i=1|x-﹊|的最小值為( ).

A.190 B.171 C.90 D.45

解析：f(x)=∑19i=1|x-i|=|x-1|+|x-2|+|x-3|+……+|x-19|表示數(shù)軸上一點(diǎn)到1，2，3，…，19的距離之和，可知x在1-19的最中間時(shí)f(x)取最小值.即x=10時(shí)f(x)有最小值90，故選C.

例6 (2008江蘇)已知函數(shù)f1(x)=3﹟x-p1|,f2(x)=2?3﹟x-p2|,(x∈R,p1,p2為常數(shù))，函數(shù)f(x)定義為：對每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x,f(x)=f1(x),若f1(x)≤f2(x),

f2(x),若f1(x)>f2(x).

(1)求f(x)=f1(x)對所有實(shí)數(shù)x成立的充要條件(用p1,p2表示)；

(2)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足a

解析：(1)f2(x)=3﹟x-p2|+玪og32,f(x)=ゝ1(x)對所有實(shí)數(shù)x成立趂1(x)≤f2(x)3﹟x-p1|≤3﹟x-p2|+玪og32趞x-p1|≤|x-p2|+玪og32恒成立趞x-p1|-|x-p2|≤玪og32.=∵|x-p1|-|x-p2|≤|(x-p1)-(x-﹑2)|,∴|x-p1|-|x-p2|的最大值為|p2-p1|.∴f(x)=f1(x)對所有實(shí)數(shù)x成立趞p2-﹑1|≤玪og32.

(2)①若|p2-p1|≤玪og32，則f(x)=ゝ1(x)=3﹟x-p1|.∵a

∴3﹑1-a=3゜-p1,p1-a=b-p1,p1=a+b2.

∴f(x)在區(qū)間［a,b］上的單調(diào)增區(qū)間為［a+b2,b］，其長度為b-a2.

②若|p2-p1|>玪og32，設(shè)a

∵p1

2)同理令f1(x)>ゝ2(x)，得p1+p2+玪og322

3﹛-p1,p1≤x

3-x+p2+玪og32,p1+p2+玪og322≤x

3﹛-p2+玪og32,p2

∵f(a)=3﹑1-a,f(b)=3゜-p2+玪og32,由f(a)==f(b)，得p1-a=b-p2+玪og32.∴p1+p2=a+b+玪og32.則f(x)在區(qū)間［a,b］上的單調(diào)增區(qū)間為［p1,p1+p2+玪og322］、［p2,b］,其長度p之和為(p1+p2+玪og322-p1)+(b-p2)=b-a2.同理可證a

點(diǎn)評：令g1(x)=|x-p1|,g2(x)=|x-p2|+玪og32,g(x)=

g1(x),若g1(x)≤g2(x),

g2(x),若g1(x)>g2(x).∴f1(x)與g1(x)的單調(diào)性相同，f2(x)與g2(x)的單調(diào)性相同，f(x)與g(x)的單調(diào)性相同.則原題中關(guān)于ゝ(x)的問題可等價(jià)簡化為關(guān)于g(x)的問題.

由于g2(p2)=玪og32，令g1(x)=玪og32，即﹟x-p1|=玪og32，可得x=p1±玪og32.結(jié)合ゞ(x)的圖像如圖3知，需分三類討論：①p2p1+玪og32.均不難說明g(x)的單調(diào)增區(qū)間的長度為b-a2.

在研究絕對值函數(shù)時(shí)，可利用分類討論思想去掉絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，逐類研究各段函數(shù)的性質(zhì)，最后整合得到原函數(shù)的性質(zhì)；也可以借助于數(shù)形結(jié)合思想尋找解題思路，給數(shù)學(xué)命題以直觀圖像的描述，揭示出命題的幾何特征，變抽象為形象，從而化難為易、化繁為簡，使問題得到解決.